上海市虹口区2016-2017学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析

2016-2017 学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题满分 30 分,共 10 题) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,2},B={x|x2=2x},则 A∩B= 2.不等式|x﹣3|≤1 的解集是 3.不等式 >4 的解集是 . . .

4.已知函数 f(x)=3x+a 的反函数 y=f﹣1(x),若函数 y=f﹣1(x)的图象经过(4, 1),则实数 a 的值为 . .

5.命题“若实数 a,b 满足 a≠4 或 b≠3,则 a+b≠7”的否命题是

6.已知条件 p:2k﹣1≤x≤﹣3k,条件 q:﹣1<x≤3,且 p 是 q 的必要条件, 则实数 k 的取值范围是 .

7.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且在区间(0,+∞)单调递增,若 f(﹣ 2)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集是 . . .

8.函数 f(x)=|x2﹣4|﹣a 恰有两个零点,则实数 a 的取值范围为 9.已知函数 f(x)= 10.设 f(x)=log2(2+|x|)﹣ 范围是 .

,若 f(f(a))=2,则实数 a 的值为

,则使得 f(x﹣1)>f(2x)成立的 x 取值

11.已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称, 令 h(x)=g(1﹣x2),则关于函数 y=h(x)的下列 4 个结论: ①函数 y=h(x)的图象关于原点对称; ②函数 y=h(x)为偶函数; ③函数 y=h(x)的最小值为 0; ④函数 y=h(x)在(0,1)上为增函数 其中,正确结论的序号为 .(将你认为正确结论的序号都填上)

二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 4 分,共 6 小题) 12.设全集 U=Z,集合 A={x|1≤x<7,x∈Z},B={x=2k﹣1,k∈Z},则 A∩(?UB) =( )

A.{1,2,3,4,5,6}

B.{1,3,5} C.{2,4,6} D.? )

13.设 x∈R,则“x<﹣2”是“x2+x≥0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

14.下列函数中,在其定义域既是奇函数又是减函数的是( A.y=|x| B.y=﹣x3 C.y=( )x D.y=



15.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=6,则 + 的最大值为( A. B. C.1 D.2



16.设集合 M=[0, ),N=[ ,1],函数 f(x)= 且 f(f(x0))∈M,则 x0 的取值范围为( A.(0, ] B.[0, ] C.( , ] ) D.( , )

.若 x0∈M

17.设 f(x)=5|x|﹣

,则使得 f(2x+1)>f(x)成立的 x 取值范围是( C.(﹣1,+∞)



A.(﹣1,﹣ ) B.(﹣3,﹣1) ∪(﹣ ,+∞)

D .(﹣∞,﹣1 )

三、解答题(本大题慢点 50 分,共 7 小题) 18.(10 分)已知集合 A={x|x2+px+1=0},B={x|x2+qx+r=0},且 A∩B={1},(?
UA)∩B={﹣2},求实数

p、q、r 的值.

19.(10 分)(1)解不等式:3≤x2﹣2x<8; (2)已知 a,b,c,d 均为实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 20.(10 分)已知函数 f(x)=log2||x|﹣1|. (1)作出函数 f(x)的大致图象; (2)指出函数 f(x)的奇偶性、单调区间及零点. 21.已知 f(x)=|x|(2﹣x) (1)作出函数 f(x)的大致图象,并指出其单调区间; (2)若函数 f(x)=c 恰有三个不同的解,试确定实数 c 的取值范围.

22.(10 分)如图,在半径为 40cm 的半圆形(O 为圆心)铝皮上截取一块矩形 材料 ABCD,其中 A,B 在直径上,点 C,D 在圆周上、 (1)设 AD=x,将矩形 ABCD 的面积 y 表示成 x 的函数,并写出其定义域; (2)怎样截取,才能使矩形材料 ABCD 的面积最大?并求出最大面积.

23.(10 分)已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称. (1)若 f(g(x))=6﹣x2,求实数 x 的值; (2)若函数 y=g(f(x2))的定义域为[m,n](m≥0),值域为[2m,2n], 求实数 m,n 的值; (3)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 h(a). 24.已知函数 f(x)=b+logax(x>0 且 a≠1)的图象经过点(8,2)和(1,﹣1). (1)求 f(x)的解析式; (2)[f(x)]2=3f(x),求实数 x 的值; (3)令 y=g(x)=2f(x+1)﹣f(x),求 y=g(x)的最小值及其最小值时 x 的 值.

四、附加题 25.设函数 φ(x)=a2x﹣ax(a>0,a≠1). (1)求函数 φ(x)在[﹣2,2]上的最大值; (2)当 a= 时,φ(x)≤t2﹣2mt+2 对所有的 x∈[﹣2,2]及 m∈[﹣1,1]恒

成立,求实数 m 的取值范围.

2016-2017 学年上海市虹口区高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题满分 30 分,共 10 题) 1.已知集合 A={﹣2,﹣1,0,2},B={x|x2=2x},则 A∩B= 【考点】交集及其运算. 【分析】先分别求出集合 A 和 B,由此能求出 A∩B. 【解答】解:∵集合 A={﹣2,﹣1,0,2}, B={x|x2=2x}={0,2}, ∴A∩B={0,2}. 故答案为:{0,2}. 【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集性质的 合理运用. {0,2} .

2.不等式|x﹣3|≤1 的解集是 【考点】绝对值不等式的解法.

[2,4]



【分析】去掉绝对值,求出不等式的解集即可. 【解答】解:∵|x﹣3|≤1, ∴﹣1≤x﹣3≤1, 解得:2≤x≤4, 故答案为:[2,4]. 【点评】本题考查了解绝对值不等式问题,是一道基础题.

3.不等式

>4 的解集是 (2,12)



【考点】其他不等式的解法. 【分析】解不等式变形,得到 【解答】解:∵ >4, <0,解出即可.

∴ 即

>0, <0,解得:2<x<12,

故答案为:(2,12). 【点评】本题考查了解不等式问题,是一道基础题.

4.已知函数 f(x)=3x+a 的反函数 y=f﹣1(x),若函数 y=f﹣1(x)的图象经过(4, 1),则实数 a 的值为 【考点】反函数. 【分析】根据反函数的性质可知:原函数与反函数的图象关于 y=x 对称,利用对 称关系可得答案. 【解答】解:f(x)=3x+a 的反函数 y=f﹣1(x), ∵函数 y=f﹣1(x)的图象经过(4,1),原函数与反函数的图象关于 y=x 对称 ∴f(x)=3x+a 的图象经过(1,4), 即 3+a=4, 解得:a=1. 故答案为:1. 【点评】本题考查了原函数与反函数的图象的关系,其象关于 y=x 对称,即坐标 也对称,属于基础题. 1 .

5.命题“若实数 a,b 满足 a≠4 或 b≠3,则 a+b≠7”的否命题是 若实数 a,b 满足 a=4 且 b=3,则 a+b=7” .

【考点】四种命题间的逆否关系. 【分析】根据四种命题的定义,结合原命题,可得其否命题. 【解答】解:命题“若实数 a,b 满足 a≠4 或 b≠3,则 a+b≠7”的否命题是“若实 数 a,b 满足 a=4 且 b=3,则 a+b=7”, 故答案为:若实数 a,b 满足 a=4 且 b=3,则 a+b=7” 【点评】本题考查的知识点是四种命题,正确理解四种命题的定义,是解答的关 键.

6.已知条件 p:2k﹣1≤x≤﹣3k,条件 q:﹣1<x≤3,且 p 是 q 的必要条件, 则实数 k 的取值范围是 k≤﹣1 .

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据集合的包含关系得到关于 k 的不等式组,解出即可. 【解答】解:∵p:2k﹣1≤x≤﹣3k,条件 q:﹣1<x≤3,且 p 是 q 的必要条件, ∴(﹣1,3]? [2k﹣1,﹣3k], ∴ ,解得:k≤﹣1,

故答案为:k≤﹣1. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题.

7.已知函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且在区间(0,+∞)单调递增,若 f(﹣ 2)=0,则不等式 xf(x)<0 的解集是 (﹣2,0)∪(0,2) 【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,在区间(0,+∞)单调递增即在 R 上单 调递增,f(﹣2)=﹣f(2)=0,即 f(2)=0,分段讨论 x 的值,可得不等式 xf (x)<0 的解集. 【解答】解:函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,在区间(0,+∞)单调递增 ∴函数 y=f(x)在 R 上单调递增,且 f(0)=0 ∵f(﹣2)=﹣f(2)=0,即 f(2)=0. ∴当 x<﹣2 时,f(x)<0, 当﹣2<x<0 时,f(x)>0, 当 0<x<2 时,f(x)<0, 当 x>2 时,f(x)>0, 那么:xf(x)<0,即 ∴得:﹣2<x<0 或 0<x<2. 故答案为(﹣2,0)∪(0,2). 【点评】本题考查了分段函数的奇偶性和单调性的运用,考查了讨论的思想.属 或 , .

于基础题.

8. f x) =|x2﹣4|﹣a 恰有两个零点, 函数 ( 则实数 a 的取值范围为 【考点】根的存在性及根的个数判断.

a=0 或 a>4



【分析】画出函数 y=|x2﹣4|,与 y=a 的图象,利用函数的两个零点,写出结果 即可. 【解答】解:函数 g(x)=|x2﹣4|的图象如图所示, ∵函数 f(x)=|x2﹣4|﹣a 恰有两个零点, ∴a=0 或 a>4. 故答案为:a=0 或 a>4.

【点评】 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中熟练掌握函数零 点与方程根之间的对应关系是解答的关键.

9.已知函数 f(x)= ,16 .

,若 f(f(a))=2,则实数 a 的值为





【考点】分段函数的应用. 【分析】f(f(a))=2,由此利用分类讨论思想能求出 a. 【解答】解:由 f(x)= ,f(f(a))=2,

当 log2a≤0 时,即 0<a≤1 时,(log2a)2+1=2, 即(log2a)2=1, 解得 a= , 当 log2a>0 时,即 a>1 时,log2(log2a)=2, 解得 a=16, 因为 a2+1>0,log2(a2+1)=2,即 a2+1=4 解得 a= (舍去),或﹣ ,

综上所述 a 的值为﹣ 故答案为:﹣

, ,16,

, ,16,

【点评】本题考查函数值的求法及应用,是中档题,解题时要认真审题,注意分 段函数的性质的合理运用.

10.设 f(x)=log2(2+|x|)﹣ 范围是 (﹣1, ) .

,则使得 f(x﹣1)>f(2x)成立的 x 取值

【考点】函数与方程的综合运用;利用导数研究函数的单调性. 【分析】判断函数的奇偶性,通过 x 大于 0,判断函数是增函数,然后转化求解 不等式的解集即可. 【解答】解:函数 f(x)=log2(2+|x|)﹣ y=log2 y=﹣ 当 x≥0 时, (2+x) , x≥0 是增函数, f (x﹣1) >f (2x) , 可得|x﹣1|>|2x|, 可得 3x2+2x﹣1<0, 解得 x∈ (﹣1, ) . 故答案为:(﹣1, ). 【点评】 本题考查函数的与方程的应用, 函数的奇偶性以及函数的单调性的应用, 考查转化思想以及计算能力. ,是偶函数, ,

=log2 都是增函数, 所以 f (x) (2+x) ﹣

11.(2016 秋?虹口区期末)已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g(x)的

图象关于直线 y=x 对称,令 h(x)=g(1﹣x2),则关于函数 y=h(x)的下列 4 个结论: ①函数 y=h(x)的图象关于原点对称; ②函数 y=h(x)为偶函数; ③函数 y=h(x)的最小值为 0; ④函数 y=h(x)在(0,1)上为增函数 其中,正确结论的序号为 ②③④ .(将你认为正确结论的序号都填上)

【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】由已知求出 h(x)= 可得答案. 【解答】解:∵函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直线 y=x 对称, ∴g(x)= , , ,分析函数的奇偶性,单调性,最值,

∴h(x)=g(1﹣x2)= 故 h(﹣x)=h(x),

即函数为偶函数,函数图象关于 y 轴对称, 故①错误;②正确; 当 x=0 时,函数取最小值 0,故③正确; 当 x∈(0,1)时,内外函数均为减函数,故函数 y=h(x)在(0,1)上为增函 数,故④正确; 故答案为:②③④ 【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了函数的奇偶性,单调性, 最值,难度中档.

二、选择题(本大题满分 20 分,每小题 4 分,共 6 小题) 12.设全集 U=Z,集合 A={x|1≤x<7,x∈Z},B={x=2k﹣1,k∈Z},则 A∩(?UB) =( )

A.{1,2,3,4,5,6}

B.{1,3,5} C.{2,4,6} D.?

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解答】解:全集 U=Z,集合 A={x|1≤x<7,x∈Z}={1,2,3,4,5,6} B={x=2k﹣1,k∈Z}, ∴?uB={x=2k,k∈Z}, ∴A∩(?uB)={2,4,6}, 故选:C. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的 关键.

13.设 x∈R,则“x<﹣2”是“x2+x≥0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件



【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】解不等式,根据集合的包含关系判断充分必要性即可. 【解答】解:由“x2+x≥0”,解得:x>0 或 x<﹣1, 故 x<﹣2”是“x>0 或 x<﹣1“的充分不必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查集合的包含关系,是一道基础题.

14.下列函数中,在其定义域既是奇函数又是减函数的是( A.y=|x| B.y=﹣x3 C.y=( )x D.y=



【考点】奇偶性与单调性的综合. 【分析】根据奇函数和减函数的定义判断即可. 【解答】解:对于 A:y=f(x)=|x|,则 f(﹣x)=|﹣x|=|x|是偶函数. 对于 B:y=f(x)=﹣x3,则 f(﹣x)=x3=﹣f(x)是奇函数,根据幂函数的性质 可知,是减函数. 对于 C: ,根据指数函数的性质可知,是减函数.不是奇函数.

对于 D:

定义为(﹣∞,0)∪(0,+∞),在其定义域内不连续,承载断

点,∴在(﹣∞,0)和在(0,+∞)是减函数. 故选 B. 【点评】本题考查了函数的性质之奇函数和减函数的定义的运用.比较基础.

15.设 x,y∈R,a>1,b>1,若 ax=by=3,a+b=6,则 + 的最大值为( A. B. C.1 D.2



【考点】基本不等式. 【分析】根据对数的运算性质和基本不等式即可求出. 【解答】解:设 x,y∈R,a>1,b>1,ax=by=3,a+b=6, ∴x=loga3,y=logb3, ∴ + =log3a+log3b=log3ab≤log3( 故选:D 【点评】本题考查了不等式的基本性质和对数的运算性质,属于基础题. )=2,当且仅当 a=b=3 时取等号,

16.设集合 M=[0, ),N=[ ,1],函数 f(x)= 且 f(f(x0))∈M,则 x0 的取值范围为( A.(0, ] B.[0, ] C.( , ] ) D.( , )

.若 x0∈M

【考点】分段函数的应用. 【分析】根据分段函数的解析即可求出 x0 的范围. 【解答】解:∵0≤x0< , ∴f(x0))∈[ ,1]? N, ∴f(f(x0))=2(1﹣f(x0))=2[1﹣(x0+ )]=2( ﹣x0), ∵f(f(x0))∈M, ∴0≤2( ﹣x0)< ,

∴ <x0≤ ∵0≤x0< , ∴ <x0< 故选:D 【点评】本题考查 了集合的含义及表示、函数的单调性、最值、以及分段函数 的性质,属于中档题.

17.(2016 秋?虹口区期末)设 f(x)=5|x|﹣ 成立的 x 取值范围是( )

,则使得 f(2x+1)>f(x)

A.(﹣1,﹣ ) B.(﹣3,﹣1) ∪(﹣ ,+∞) 【考点】函数单调性的性质.

C.(﹣1,+∞)

D .(﹣∞,﹣1 )

【分析】判断函数 f(x)的单调性和奇偶性,利用函数 f(x)的单调性和奇偶性 求解. 【解答】解:函数 f(x)=5|x|﹣ 则 f(﹣x)=5|﹣x|﹣ ∵y1=5|x|是增函数,y2=﹣ 故函数 f(x)是增函数. 那么:f(2x+1)>f(x)等价于:|2x+1|>|x|, 解得:x<﹣1 或 使得 f(2x+1)>f(x)成立的 x 取值范围是(﹣∞,﹣1)∪( 故选 D. 【点评】本题考查了利用函数 f(x)的单调性和奇偶性求解不等式的问题.属于 基础题. ,+∞). =5|x|﹣ , =f(x)为偶函数,

也是增函数,

三、解答题(本大题慢点 50 分,共 7 小题) 18. B={x|x2+qx+r=0}, (10 分) (2016 秋?虹口区期末) 已知集合 A={x|x2+px+1=0}, 且 A∩B={1},(?UA)∩B={﹣2},求实数 p、q、r 的值. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】根据 A∩B={1}求出 p 的值以及 1+q+r=0①,再根据(?UA)∩B={﹣2} 得出 4﹣2q+r=0②, 由①②组成方程组求出 q、r 的值. 【解答】解:集合 A={x|x2+px+1=0},B={x|x2+qx+r=0},且 A∩B={1}, ∴1+p+1=0,解得 p=﹣2; 又 1+q+r=0,① (?UA)∩B={﹣2}, ∴4﹣2q+r=0,② 由①②组成方程组解得 q=1,r=﹣2; ∴实数 p=﹣2,q=1,r=﹣2. 【点评】本题考查了集合的定义与应用问题,是基础题目.

19.(10 分)(2016 秋?虹口区期末)(1)解不等式:3≤x2﹣2x<8; (2)已知 a,b,c,d 均为实数,求证:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 【考点】不等式的证明. 【分析】(1)直接利用二次不等式化简求解即可. (2)利用作差法化简,证明即可. 【解答】解:(1)不等式:3≤x2﹣2x<8, 即: ,解得: ,即 x∈(﹣2,﹣1]∪[3,4).

(2)证明:∵(a2+b2)(c2+d2)﹣(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2﹣a2c2﹣2abcd﹣b2d2 =a2d2+b2c2﹣2abcd =(ad﹣bc)2≥0 ∴(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2.

【点评】本题考查二次不等式组的解法,作差法证明不等式的方法,考查转化思 想以及计算能力.

20.(10 分)(2016 秋?虹口区期末)已知函数 f(x)=log2||x|﹣1|. (1)作出函数 f(x)的大致图象; (2)指出函数 f(x)的奇偶性、单调区间及零点. 【考点】函数的图象;根的存在性及根的个数判断. 【分析】(1)求出函数的定义域,化简函数的解析式,然后作出函数 f(x)的 大致图象; (2)利用函数的图象,指出函数 f(x)的奇偶性、单调区间及零点. 【解答】解:函数 f(x)=log2||x|﹣1|的定义域为:{x|x≠±1,x∈R}.

函 数 f ( x ) =log2||x| ﹣ 1|=

, x=0 时 f ( x ) =0 ,

函数的图象如图: (2)函数是偶函数,单调增区间(﹣1,0),(1,+∞);单调减区间为:(﹣ ∞,﹣1),(0,1); 零点为:0,﹣2,2. 【点评】 本题考查函数的图象的画法,函数的奇偶性以及函数的单调性零点的求 法,考查计算能力.

21.(2016 秋?虹口区期末)已知 f(x)=|x|(2﹣x)

(1)作出函数 f(x)的大致图象,并指出其单调区间; (2)若函数 f(x)=c 恰有三个不同的解,试确定实数 c 的取值范围. 【考点】函数的图象;根的存在性及根的个数判断. 【分析】(1)化简函数的表达式,然后画出函数的图象,写出单调区间即可. (2)利用函数的图象,推出实数 c 的取值范围. 【解答】解:( 1 ) f ( x) =|x| (2 ﹣ x ) = ,函数的图象如图:

函数的单调增区间(0,1),单调减区间(﹣∞,0),(1,+∞). (2)函数 f(x)=c 恰有三个不同的解,函数在 x=1 时取得极大值:1, 实数 c 的取值范围(0,1). 【点评】本题考查分段函数的应用,函数的图象以及函数的零点个数的判断,考 查数形结合以及计算能力.

22.(10 分)(2016 秋?虹口区期末)如图,在半径为 40cm 的半圆形(O 为圆 心)铝皮上截取一块矩形材料 ABCD,其中 A,B 在直径上,点 C,D 在圆周上、 (1)设 AD=x,将矩形 ABCD 的面积 y 表示成 x 的函数,并写出其定义域; (2)怎样截取,才能使矩形材料 ABCD 的面积最大?并求出最大面积.

【考点】数列的应用.

【分析】(1)OA=2 ∈(0,40).

=2

,可得 y=f(x)=2x

,x

(2)平方利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:(1)AB=2OA=2 ∴y=f(x)=2x =2 ,

,x∈(0,40). =16002,即 y≤1600,当且仅当

(2)y2=4x2(1600﹣x2)≤4× x=20 时取等号.

∴截取 AD=20

时,才能使矩形材料 ABCD 的面积最大,最大面积为 1600.

【点评】本题考查了函数的性质、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质,考 查了推理能力与计算能力,属于中档题.

23. (10 分) (2016 秋?虹口区期末)已知函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g (x)的图象关于直线 y=x 对称. (1)若 f(g(x))=6﹣x2,求实数 x 的值; (2)若函数 y=g(f(x2))的定义域为[m,n](m≥0),值域为[2m,2n], 求实数 m,n 的值; (3)当 x∈[﹣1,1]时,求函数 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 的最小值 h(a). 【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】(1)根据函数的对称性即可求出 g(x),即可得到 f(g(x))=x,解 得即可. (2)先求出函数的解析式,得到 ,解得 m=0,n=2,

(3)由 x∈[﹣1,1]可得 t∈[ ,2],结合二次函数的图象和性质,对 a 进行分 类讨论,即可得到函数 y=f2(x)﹣2af(x)+3 的最小值 h(a)的表达式. 【解答】解:(1)∵函数 f(x)=( )x 的图象与函数 y=g(x)的图象关于直 线 y=x 对称,

∴g(x)=



∵f(g(x))=6﹣x2, ∴ =6﹣x2=x,

即 x2+x﹣6=0, 解得 x=2 或 x=﹣3(舍去), 故 x=2, (2)y=g(f(x2))= =x2,

∵定义域为[m,n](m≥0),值域为[2m,2n], , 解得 m=0,n=2, (3)令 t=( )x, ∵x∈[﹣1,1], ∴t∈[ ,2], 则 y=[f(x)]2﹣2af(x)+3 等价为 y=m(t)=t2﹣2at+3, 对称轴为 t=a, 当 a< 时,函数的最小值为 h(a)=m( )= ﹣a;

当 ≤a≤2 时,函数的最小值为 h(a)=m(a)=3﹣a2; 当 a>2 时,函数的最小值为 h(a)=m(2)=7﹣4a;

故 h(a)=

【点评】本题考查的知识点是指数函数的图象和性质,二次函数的图象和性质, 分段函数,是函数图象和性质的综合应用,难度中档.

24.(2016 秋?虹口区期末)已知函数 f(x)=b+logax(x>0 且 a≠1)的图象经 过点(8,2)和(1,﹣1). (1)求 f(x)的解析式; (2)[f(x)]2=3f(x),求实数 x 的值; (3)令 y=g(x)=2f(x+1)﹣f(x),求 y=g(x)的最小值及其最小值时 x 的 值. 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】(1)由已知得 b+loga8=2,b+loga1=﹣1,从而求解析式即可; (2)[f(x)]2=3f(x),即 f(x)=0 或 3,即可求实数 x 的值; (3)化简 g(x)=2[log2(x+1)﹣1]﹣(log2x﹣1)=log2(x+ +2)﹣1,从而利 用基本不等式求最值. 【解答】解:(1)由已知得,b+loga8=2,b+loga1=﹣1,(a>0 且 a≠1), 解得 a=2,b=﹣1; 故 f(x)=log2x﹣1(x>0); (2)[f(x)]2=3f(x),即 f(x)=0 或 3, ∴log2x﹣1=0 或 3, ∴x=2 或 16; (3)g(x)=2f(x+1)﹣f(x) =2[log2(x+1)﹣1]﹣(log2x﹣1)=log2(x+ +2)﹣1≥1, 当且仅当 x= ,即 x=1 时,等号成立). 于是,当 x=1 时,g(x)取得最小值 1. 【点评】 本题考查了对数的运算及对数函数的应用,同时考查了基本不等式的应 用.

四、附加题 25.(2016 秋?虹口区期末)设函数 φ(x)=a2x﹣ax(a>0,a≠1). (1)求函数 φ(x)在[﹣2,2]上的最大值; (2)当 a= 时,φ(x)≤t2﹣2mt+2 对所有的 x∈[﹣2,2]及 m∈[﹣1,1]恒

成立,求实数 m 的取值范围. 【考点】函数恒成立问题;二次函数的性质. 【分析】(1)利用指数函数的单调性,分 a>1 与 0<a<1 两种情况讨论,即可 求得函数 φ(x)在[﹣2,2]上的最大值; (2)当 a= 时,φ(x)≤t2﹣2mt+2 对所有的 x∈[﹣2,2]及 m∈[﹣1,1]恒

成立?? m∈[﹣1,1],t2﹣2mt+2≥φmax(x)=2 恒成立,构造函数 g(m)=﹣ 2tm+t2,则 ,解之即可得到实数 m 的取值范围.

【解答】解:(1)∵φ(x)=a2x﹣ax=(ax﹣ )2﹣ (a>0,a≠1),x∈[﹣2, 2], ∴当 a>1 时,φmax(x)=φ(2)=a4﹣a2; 当 0<a<1 时,φmax(x)=φ(﹣2)=a﹣4﹣a﹣2; ∴φmax(x)= (2)当 a= 时,φ(x)=2x﹣( . )x, )4﹣( )2=4﹣2=2,

由(1)知,φmax(x)=φ(2)=(

∴φ(x)≤t2﹣2mt+2 对所有的 x∈[﹣2,2]及 m∈[﹣1,1]恒成立 ?? m∈[﹣1,1],t2﹣2mt+2≥φmax(x)=2 恒成立,即? m∈[﹣1,1],t2﹣2mt ≥0 恒成立, 令 g(m)=﹣2tm+t2,则 或 t=0. ∴实数 m 的取值范围为:(﹣∞,2]∪{0}∪[2,+∞). 【点评】 本题考查函数恒成立问题,突出考查指数函数与二次函数的单调性与最 值,考查等价转化思想与运算求解能力,属于难题. ,即 ,解得:t≥2 或 t≤﹣2,


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