数学选修2-1~2.2椭圆小结与复习_图文

复习回顾
1.椭圆定义:
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数

(大于?F1F2?)的点的轨迹叫做椭圆。

| PF1 | ? | PF2 |? 2a(2a ?| F1F2 |)
P

F1

F2

线段F1F2的长 y 叫椭圆的焦距

P ? F1
O

? F2

x

F1、F2椭圆的焦点

椭圆的标准方程 (焦点在x轴上)
x a
2 2

?

y b

2 2

?1

?a ? b ? 0?.

y
P

F2

O F1

x

椭圆的标准方程 (焦点在y轴上)
y a
2 2

?

x b

2 2

?1

?a ? b ? 0?.

椭圆的几何性质:
1.范围: |x|≤ a,|y|≤ b
设 ( x, y )是椭圆上任意一点, 必有 x
2

椭圆在四条直线
x a
2 2

x ? ? a,y ? ? b
b
2

? 1,
2

y

2

? 1, 即

? a ,y

2

?b .

2

? x ? a, y ? b

所围成的矩形内 .

x a

2 2

?

y b

2 2

?1

y

( a ? b ? 0)

B2
b a A2 F2 x

A1

F1

O

c

B1

椭圆的几何性质: 2.对称性:

关于x轴、y轴成轴对称 关于原点O成中心对称

椭圆的几何性质:x y ? ? 1 ?a ? b ? 0?. 3.顶点: a b 坐标轴与椭圆的四个交点叫做顶点.
2 2 2 2

A 1 ?? a,0 ? B 1 ?0,?b ?

A 2 ?a,0 ? B 2 ?0, b ?

椭圆的几何性质: 4.离心率:
由椭圆的焦距与长轴长 的比e ? 叫做椭圆的离心率 . ? a ? c ? 0 ? 0 ? e ? 1. (1)当e ? 1时 , c ? a, 从而b ? a ?c
2 2

2c 2a

?

c a



? 0, 椭圆越扁.

( 2)当e ? 0时 , c ? 0, 从而b ? a, 椭圆越圆.

热身练习
1.已知M(1,0) 、N(0,1), 且动点P满足PM ? PN ? 2,

以点M、N 则点P的轨迹为__________ 为焦点的椭圆 __________ ________;
提示:由MN ? 2,PM ? PN ? 2 ? MN 根据椭圆的定义则有点 的轨迹为椭圆; P
2.已知A(0,?2)、B( 2,0), 动点M满足 MA - MB ? 2a(a ? 0) 若点M的轨迹是以A、B为焦点的双曲线,则常 a的取值 数 范围为 __________ ______;

( 0, 2 )
2

提示:由AB ? 2 2,根据双曲线定义有 ? 2a ? 2 2 0 则0 ? a ?

巩固练习
3.离心率e ?
提示 : ? c a ?

3 2
3 2

, 且过点( 2,0)的椭圆标准方程为__________ ______;
?a
2

? 4b

2

x
2 2

2

? y ? 1或

2

x

2

?

y

2

?1

(1)若焦点在x轴上, 可设为 x
2

x a

?

y b

2 2

4

4

16

?1 ,又过点( , 2 0)

则所求方程为

?y

2

?1 x
2

4 ( 2)若焦点在y轴上,同理可求 ? y
2

?1

4

16

巩固练习
4.从椭圆短轴上的一个顶 点看长轴上两顶点的视 角为120?, 则椭圆的离心率为__________ 3 _____;

e?

6

提示 : 由题知

b a

?

3 3

, 则e ?

1?

b a

2 2

?

6 3

y B2
120?

e?

6 3

A1

F1 O

F2

A2 x

注:椭圆上两点距最大值为长轴长.

巩固练习
2 2

5.已知椭圆 ? 4y ? m上两点间的最大距离为 x 8,则m ? _____;

16

提示:由椭圆上两点间 的最大距离为长轴长, 则2 m ? 8 即m ? 16 2 2 x y 6.设椭圆 ? ? 1的两个焦点分别为 1、F2,直线L过F1与 F 16 12

椭圆交于A、B,则?AF2 B的周长为__________ ____;

16

提示:由a ? 4, 则AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 8 故 周长为AF1 ? AF2 ? BF1 ? BF2 ? 16

典型范例
示例1 求与椭圆 x
2

?y

2

? 1有相同的焦点,且过点 ( 2,1)的椭圆方程。 P

4

详解:由题意知 所求椭圆的焦点为 1 ( ? 3 ,0)、F2 ( 3 ,0) , F x y 则可设其方程为 ? ? 1(a ? b ? 0) 2 2 a b
2 2

又椭圆过点P( 2,1),则 由a
2

4

a ? b ? ( 3 ) , 则a
2

2

?

1

b

2 2

?1 ?3

2

2

2

? 6, b
2

x y 故所求椭圆方程为 ? ?1 6 3 方法提炼:求椭圆方程 的一般步骤为:
(1)先定位(即确定其方程的类型 ); ( 2)再定量(即确定a 与b 的值);
2 2

典型范例
示例2 已知M是椭圆 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)上一点,F1、F2 是其两焦点,

若?MF 1F2 ? ?, ?MF 2 F1 ? ? , 椭圆的离心率为 , e 求证 : e ? sin(? ? ? ) sin ? ? sin? .

方法提炼:本题从椭圆 的离心率定义出发,明 确点M在椭圆上,

围绕?MF 1F2 进行分析,以培养学生 分析问题和解决问题的 能力。

y
M
?
?

F1 O

F2

x

典型范例
且?PF1F2 ? 15?, ?PF2 F1 ? 75?, (1)求椭圆的离心率; ( 2)若?PF1F2的周长为 ? 4 6 , 求此椭圆的标准方程; 12

示例3 已知椭圆的中心在原点 ,两焦点F1、F2 在x轴上,P为椭圆上一点,

详解: )由?PF1 F2 ? 15?,?PF2 F1 ? 75?,则?F1 PF2 ? 90? (1 在?PF1 F 2 中,由正弦定理得 F1 F2 sin90? 即2c ? ? PF1 sin 75? 2a sin15? ? sin 75? ? PF2 sin15? ? PF1 ? PF2 sin15? ? sin 75? 1 sin15? ? sin 75? ? 1 2 sin 60? ? 6 3

?e ?

cos 15?

详解: ) ? ?PF1F2的周长为 ? 4 6, (2 12 ? PF1 ? PF2 ? F1F2 ? 12 ? 4 6
即2a ? 2c ? 12 ? 4 6 , a ? c ? 6 ? 2 6且
2

c a

?

6 3

,解得a ? 6, c ? 2 6 x
2

由a ? 6, c ? 2 6 , 得b ? 12 ,则所求椭圆标准方程 为

?

y

2

?1

36

12

强化巩固
Ex1.求下列椭圆的离心率: (1)从焦点看短轴两端点的视角为60°; (2)从短轴的一个端点看两焦点视角为直角。

y
e? 3 2

F1

O

F2

x

y B
F1 O

e ?

2 2

F2

x

强化巩固
Ex2 已知椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)

F1,F2是它的焦点,AB是过F1的弦,则

4a 三角形ABF2的周长是__________;

y A
F1 O F2 x

B

强化巩固
Ex3 已知椭圆中心在原点,它在x轴上 的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂 直,且此焦点和长轴上较近端点的距离 是 10 ? 5 ,求此椭圆的标准方程。
x
2

?

y

2

? 1

10

5

y B2
F1 O

F2 B1

x

强化巩固
E 4.若椭圆的焦点到椭圆上 x 的点最远距离为 2, 3 1 e? 最近距离为 2 , 则其离心率为__________ ___; 2
提示:由a ? c ? 3 2 , a ? c ? 故e ? 1 2 2 则a ? 2 2 , c ? 2

能力提升
E 1.已知椭圆 x x
2

?

y

2

45

20

? 1的两个焦点为 1、F2 , P为椭圆上一点 F ,

若?PF1F2为直角三角形 , 求 ?PF1F2的面积;

详解:由椭圆方程知焦 点坐标为F1 ( ?5,0)、F2 (5,0). (1)若直角顶点在焦点, 不妨设为F2 , 则点P坐标为(5, y p ) 由 25 45 ? S ?PF ? yp
2

20
1F 2

? 1, 得 y p ? ? 1 2 F1F2 ? PF2 ?

4 5 3 1 2 ? 10 ? 4 5 3 ? 20 5 3

?

y P
F1 O

F2

x

y P
F1 O

F2

x

( 2)若直角顶点在 点,设点P坐标为( x 0 , y 0 ), P 由PF1 ? PF2,则有PF1 ? PF2 ? 0即x 0 ? y 0 又 x0
2 2 2

? 25

?

y0

2

45 ? S ?PF
1F 2

20 ? 1 2

? 1, 可解得y 0 ? ?4. F1 F2 ? y 0 ? 1 2 ? 10 ? 4 ? 20.

能力提升
CA、AB 成等差数列,且公差为 负值,试求顶点 的轨迹。 B

E .已知?ABC的两顶点的坐标分别为?1,0)和(1,0), 三边长BC、 x2 (
2 2

x y 答案:其轨迹方程为 ? ? 1( ?2 ? x ? 0) 4 3 即表示左半椭圆且去掉 顶点( ?2,0), (0,? 3 ).

E 3.已知中心在原点的椭圆 x 经过点( 2,1), 试求其长轴长的取值范 . 围

答案: 5 ,??) (2

能力提升
Ex 4.设点A是椭圆 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)长轴上的一个顶点 ,

若椭圆上存在点 , 使AP ? OP , 求椭圆离心率 的取值范围 P e .
详解:不妨设 为右顶点(a,0),P点坐标为 x 0 , y 0 ) A ( ? AP ? OP ,? AP ? OP ? 0, 即x 0 ( x 0 ? a ) ? y 0 ? 0.
2

又?

x0 a

2

2

?

y0 b

2

2

? 1,? y 0 ?
2 2 2 2

2

b a

2 2

(a ? x 0 )

2

2

即x 0 ? ax 0 ?

2

b a

(a ? x 0 ) ? 0

Ex 4.设点A是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0)长轴上的一个顶点 ,

若椭圆上存在点 , 使AP ? OP , 求椭圆离心率 的取值范围 P e .

详解:由题意知 0 ? ? a,? (a ? b )x 0 ? ab , 即x 0 ? x

2

2

2

ab c

2

2

? ?a ? x 0 ? a ?
2 2 2

ab c

2

2

? a即b ? c , a ? c ? c 2 2

2

2

2

2

2

? a ? 2c 即e ?

1 2

?

?e?1


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