高三数学瞬时速度与瞬时加速度


复习回顾:

设曲线C 是函数y=f(x)的图 1. 曲线上一点处的切线斜率: 象 , 在 曲 线 C 上 取 一 点 P(x,y) 及 邻 近 的 一 点 Q(x +?x, f(x+ ?x)), 过P、Q两点作割线,,则割线PQ的斜率为 f ( x 0 + ?x) ? f ( x 0 ) ?klim 。?当 ? x?0 时,动点 Q 将沿曲线 PQ ? ?x ? 0 ?x 趋向于定点 P,从而割线 PQ也将随之变动而趋向于切线 PT。此时割线PQ的斜率趋向于切线PT的斜率, 当△x→0时,割线PQ的斜率 的极限,就是曲线在点P处的 切线的斜率,即
y f(x0+?x) Q Q f(x0) O P ))) ? )a x0
M

y=f(x)
Q

T

f ( x + ?x ) ? f ( x ) k ? lim ?x ? 0 ?x

x0+?x

x

练习:曲线的方程为y=x2+1 ,求曲线在点P(1,2) 处的切线方程。 解:曲线在点P(1,2) 处的切线斜率为:
f ( x0 + ?x) ? f ( x0 ) k ? lim ?x ?0 ?x (1 + ?x) 2 + 1 ? (1 + 1) ? lim ?x ?0 ?x 2?x + (?x) 2 ? lim ?x ?0 ?x ?2
8 6 4 2


2

P(1,2)

-2 O

因此,点p(1,2)切线的方程为y-2=2(x-1) 即 y=2x

问题情境1:

平均速度:物体的运动位移与所用时间 的比称为平均速度。
平均速度反映物体在某一段时间段内 运动的快慢程度。那么如何刻画物体 在某一时刻运动的快慢程度?

3.1.2瞬时速度与瞬时 加速度

问题情境2:
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中,不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。 (1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的 平均速度。
H ( 2.1) ? H ( 2) v? ? 13.59( m / s ) 2.1 ? 2
(2)计算运动员在2s到2+⊿t s(t∈[2,2+⊿t])

内的平均速度。

时间区间 [2,2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]
当△t→0时,

△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001

平均速度 -13.59 -13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049

v ? ?13.1

该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。

即t=2s时,高度对于时间的瞬时变化率。

构建数学: (瞬时速度)
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。 以t0为起始时刻,物体在?t时间内的平均速度为

+? ?tt)) ? ? ff ((tt00)) ? s ff ((tt00 + ? s ? ? ? ? v? 。?? ? v 。 ? ?tt ? tt ?
?v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值,? t 越小, ?s 近似的程度就越好。所以当?t?0时,极限 lim ?t ?0 ?t 就是物体在t0时刻的瞬时速度,即

? ? ss ? lim f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) 。 vv| t|? ? lim t0 t? t0 ? ?t ? 0 ? 0 ? ?t ?0 ?t ? tt

构建数学: (瞬时加速度)
设物体作直线运动的速度为 v=f(t) ,以 t0 为起始 时刻,物体在?t时间内的平均加速度为

?v ?s f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) a? ? ?v ? 。? ?t ?t ?t

a

可作为物体在t0时刻的加速度的近似值, ? t 越小,

近似的程度就越好。所以当?t?0时,极限
就是物体在t0时刻的瞬时加速度,即

lim
?t ? 0

?v ?t

a

t ? t0

?v ? lim ? ?t ?t ? o

? lim

?t ? 0

f (t 0 + ?t ) ? f (t 0 ) 。 ?t

例1:设一辆轿车在公路上做加速直线运动, 假设t s时的速度为v(t)=t2+3, (1)求t=3s时轿车的加速度; (2)求t=t0s时轿车的加速度。 练习P62 1、2、

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血脉,可飞天也可以海中游,在陆地上更是速度飞快,就算称是一日千万里也不为过,也因为如此想得到白龙马为坐骑的不在少数,可是白龙马 特别的稀少,加上海陆空三栖的行动地方很少有人能扑捉,这几匹白龙马是夜弑天在夜北冥说要来未央大陆的那三天时间内准备的,夜家作为朝 凰大陆唯一的上古家族,白龙马是不少的,而且还有专门为白龙马而修建的马场,白龙马数量达到上百头。夜北冥的这四匹白龙马个个实力都达 到了先天初期,要是让朝凰大陆那帮因为自己驯服了一头白龙马而骄傲自得的人知道、夜北冥让实力已经到达先天初期的白龙马拉轿子恐怕会心 痛死。夜北冥飞身进入轿子坐好,然后说道:“找到了我们就出发!”然后月如立马说道:“已经找到了,我们现在所处未央大陆的荒凉之地中, 向西行一千里路过落叶森林就到了青龙王朝的边界,抵达边界再到青龙王朝王宫只需路过四五个城池就到了!”说完就走到轿子前面坐上去当轿 夫,十二属下来到轿子旁边站定,而濯清一见这么高档的轿子、还有白龙马,恨不得好好的将白龙马全身上下摸个遍,可是还没靠近就被白龙马 身上的龙威压得不等靠近,于是撇撇嘴低着头跟个战败的公鸡似的拉着偷笑的梦瑶走入到轿子里坐在夜北冥身边。月如一牵起缰绳,白龙马就自 发的向前奔跑,接着腾空飞起,十二下属也跟着运功飞起,直到飞入云层消失不见。第012章 青龙王朝、木兮女皇青龙王朝是未央大陆四大王朝 之首,青龙王朝之下依次是白虎王朝、朱雀王朝、玄武王朝。四大王朝互相牵制、共同繁荣,这也离不开四年前那拯救了未央大陆的神灵。四年 前的未央大陆还是魔兽大肆向人类进攻,遍地都是断肢残腿的血腥场面,可是当时出现了一个身披斗篷脸戴银色半遮脸面具的神秘黑衣人。她一 出现,挥挥手就解决了正在进攻人类的上万只魔兽,当时那道黑色身影就在参与战斗的人类心中留下了不可磨灭的印象。仅仅只用了三天的时间, 那个神秘人就将所有进攻到人类世界的魔兽赶到了落叶森林,命令它们不许踏出落叶森林一步,那些魔兽怕惨了那位神秘的黑衣人,都乖乖的待 在落叶森林没有踏出过一步,除了一些被人类契约走的才有机会离开落叶森林。而那道神秘的黑衣人则被未央大陆的人民奉为神灵,还专门修建 了一座身披斗篷脸戴半遮脸面具的雕像用来纪念那位将未央大陆从战火中解救出来的神灵。而四国的国君皆将那位神秘人奉为未央大陆共同的圣 主,而与那位黑衣人真正通过话的也就只有四大国君了。漆黑的夜空中,几匹白色的长角的马拉着一顶黑色暗金极显低调奢华的轿子飞快的从空 中飞过,没有引起任何人的注意,静悄悄的落在青龙王朝王宫内。夜深了,木兮还在御书房批阅奏折,自魔兽大战结束后,人


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