黄冈中学2007年春季高二数学期末文科

湖北省黄冈中学 2007 年春季高二数学期末考试试题(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题,满分 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? x 3 ? 3x ? 1 的单调减区间为 A.(1,2) C.( ?? ,-1) B.(-1,1) D. (??, ? 1) ? (1, ? ?) ( )

2.A 一个学生通过某种英语听力测试的概率是 得通过的概率是 A.

1 ,他连续测试 2 次,那么其中恰有 1 次获 2
( )

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

3 4

3.从 6 人中选出 4 人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览,要求每个城市有一 人游览,每人只游览一个城市,且这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览,则不同的选择方案共 有 ( ) A.300 种 B.240 种 C.144 种 D.96 种 4. “p 或 q 为真命题”是“p 且 q 为真命题”的 ( ) A 充分不必要条件; B 必要不充分条件; C 充要条件; D 既不充分又不必要条件
王新敞
奎屯 新疆

5.下列命题中不正确的是(其中 l , m 表示直线, ? , ? , ? 表示平面) A. l ? m, l ? ? , m ? ? ? ? ? ? C. ? ? ? , ? // ? ? ? ? ? B. l ? m, l ? ? , m ? ? ? ? ? ?

(

)

D. l // m, l ? ? , m ? ? ? ? ? ?

6.已知(

20 2 x 6 ? ) 的展开式中,不含 x 的项是 ,那么正数 p 的值是 2 27 x p
B.2 C.3 D.4





A. 1

7. 在一次歌手大奖赛上, 七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4, 8.4, 9.4, 9.9, 9.6, 9.4, 9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为 A.9.5, 0.04 C.9.4, 0. 484 B.9.5, 0.016 D.9.4, 0.016 ( )

8. 已知 (1 ? x) ? (1 ? x) 2 ? ?? (1 ? x) n ? a0 ? a1 x ? ?? an x n ,a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? 509 ? n , 则 n 的值
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A.7

B.8

C.9

D.10
A C D E F B

9. 一个电路如图所示,A、B、C、D、E、F 为 6 个开关,其闭合 的概率都是 , 且是互相独立的,则灯亮的概率是

1 2

.(



1 A. 64
3

55 B. 64
2

1 C. 8

1 D. 16


10. 若函数 f(x)= ax ? bx ? cx ? d 的图象如图所示, 则一定有 ( A.a<0 B.a<0 C.a<0 D.a<0 b>0 c>0 d<0 b<0 c>0 d<0 b>0 c<0 d<0 b<0 c<0 d<0 y

o

x

第Ⅱ卷(非选择题,满分 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.某企业三月中旬生产 A、B、C 三种产品共 3000 件,根据分层抽样的结果,企业统计员 制作了如下的统计表格: 产品类别 产品数量(件) 样本容量 A B 1300 130 C

由于不小心,表格中 A、C 产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员只记得 A 产品的样 本容量比 C 产品的样本容量多 10,请你根据以上信息补全表格中的数据. 12.曲线 x ? 6 x ? 3 y ?1 ? 0 在点 (1, ?2) 处的切线方程为________。
3 2

13.电视台连续播放 6 个广告,其中含 4 个不同的商业广告和 2 个不同的公益广告,要求首 尾必须播放公益广告, 则共有_________________种不同的播放方式 (结果用数值表示) . 14.走廊上有一排照明灯共 10 盏,为了节约用电,要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯 不是两端的灯,且任意两盏都不相邻,就不会影响照明,那么随机关掉其中的三盏灯,影 响照明的概率是 ___________________. 15.如图,棱长为 3 的正三棱柱内接于球 O 中,则球 O 的表面积为 .

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题号 答案 题号 答案 11 12 1 2 3 4


5

卷(文)
分数___________. 6 7 8 9 10

13

14

15

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. (本题满分 12 分)已知关于 x 的不等式 (1)当 a ? 4 时,求集合 M ; (2)若 3 ? M且5 ? M ,求实数 a 的取值范围。

ax ? 5 ? 0 的解集为 M 。 x2 ? a

17. (本小题满分 12 分)我省某校要进行一次月考,一般考生必须考 5 门学科,其中语、 数、英、综合这四科是必考科目,另外一门在物理、化学、政治、历史、生物、地理、 英语Ⅱ中选择.为节省时间,决定每天上午考两门,下午考一门学科,三天半考完. (1)若语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试,则“考试日程安排表”有 多少种不同的安排方法; (2)如果各科考试顺序不受限制,求数学、化学在同一天考的概率是多少?

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18. (本小题满分 12 分)某人抛掷一枚硬币,出现正反的概率都是 使得 a n ? ?

1 ,构造数列 ?an ? , 2

) ?1(当第n次出现正面时 ) ?? 1(当第n次出现反面时

,记 S n ? a1 ? a2 ? ? ? ? ? an (n ? N * ) 。

(1)求 S 4 ? 2 的概率; (2)求:前两次均出现正面,且 2 ? S 6 ? 4 的概率。

19. (本小题满分 12 分)给定直线 y=a 与函数 f(x)=x3-3x. (1)若直线 y=a 与 f(x)的图象有且仅有两个交点,求实数 a 的值; (2)若直线 y=a 与 f(x)的图象有相异的三个交点,求实数 a 的取值范围

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20. (本小题满分 13 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,PD⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为正方体,PD=CD=2,E、F 分别是 AB、PB 的中点 (1)求证:EF⊥CD; (2)求 DB 与平面 DEF 所成角的大小; (3)在平面 PAD 内求一点 G,使 GF⊥平面 PCB,并证明你的结论 P
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

F D C

A

E

B

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21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d ( a, b, c, d ? R )的图象关于 原点对称,且 x ? 1 时, f ( x ) 取极小值 ? ①求 a, b, c, d 的值; ②当 x?? ?1,1? 时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你 的结论。 ③若 x1, x2 ?? ?1,1? ,求证: f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

2 . 3

4 3

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湖北省黄冈中学 2007 年春季高二数学期末考试答案(文)
参考答案 BABBB CBBBA 12. 3x ? y ? 1 ? 0

11.900,90;800,80

5 13.48 14。 6

3 ? C6 ? p ? 1? 3 ? C10 ?

? ? 15。 21? ? ?

1.B 解析: y? ? 3x2 ? 3 ? 0 ,解得-1<x<1.
1 1 1 2.A 解析: P ? C2 ( )2 ? . 2 2 3.B 解析:除甲、乙外的 4 人中选 1 人到巴黎,再从剩下的 5 人中选 3 人到其余的 3 个
1 城市,故共有 C4 A53 ? 240.

4.B 小充分大必要 5.B 6.D 解析: Tr ?1 ? (?1)r C6r 26?r P? r ?x3r ?12 ,令 3r-12=0,则 r=4,不含 x 的项
4 T5 ? (?1)4 C6 ? 2 ?P?4 ? 2

20 ,解得 P=3 或-3(舍去). 27

7.B 解析:平均值= 9.4 ?

0 ? 0 ? 0.2 ? 0 ? 0.3 ? 9.5 5

1 方差= [(9.4 ? 9.5)2 ? (9.4 ? 9.5)2 ? (9.6 ? 9.5)2 ? (9.4 ? 9.5)2 ? (9.7 ? 9.5)2 ] ? 0.016 5

8.B 解析:令 x=0,则 a0=n,而 an=1;令 x=1, 则 a0 ? a1 ? ? ? an ?1 ? an ? 2 ? 22 ? ? ? 2n ?1 ? 2n ? 2n ?1 ? 2 故 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 2n ?1 ? 2 ? n ? 1 ? 509 ? n ,∴n=8.
1 1 1 1 1 1 9.B 解析:A、B 通的概率为: ? ? ,E、F 通的概率为: ? ? . 2 2 4 2 2 4

1 1 1 55 灯亮的概率为 P ? 1 ? (1 ? )2 (1 ? )(1 ? ) ? . 4 2 2 64

10.A 解析:由 f(x)可求得 f ?( x) ? 3ax 2 ? 2bx ? c 并且由 f(x)的图象可得 f ?( x) 的图象为 ∴ a ? 0, c ? 0, ? 11.解析:
b ?0 2a

∴ a ? 0, b ? 0, c ? 0.

1300 1 ? 10 :1 ,A、B、C 三种产品的样本总容量为: 3000 ? ? 300 , 130 10

故 A、C 产品的样本总容量为 300-130=170.
1 1 12. 解析:y ? x3 ? 2x2 ? , y? 故在点 (1, -2) 处的切线方程为 y ? 2 ? ?3( x ? 1) ? 1 ? 4 ? ?3 , 3 3 x ?1 即 3x ? y ? 1 ? 0
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13.解析:共有 A22 A44 ? 48 种. 14.解析: 1 ?
3 C6 1 5 ? 1? ? . 3 6 6 C10

15.解析:设 OA=R, OO1 ? , AO1 ? 3? S 表= 4? R 2 ? 21? . 16、解: (1) a ? 4 时,不等式为

3 2

3 2 3 21 ? ? 3. 则 R2 ? ( )2 ? ( 3)2 ? , 2 3 2 4

4x ? 5 ?5 ? ? 0 ,解之,得 M ? ?? ?,?2? ? ? ,2 ? 2 x ?4 ?4 ?

? 3a ? 5 ? 9?a ? 0 ?3 ? M ? ?? (2)a ? 25 时,? ?5 ? M ? 5a ? 5 ? 0 ? 25 ? a ?
综上 ? a ? ?1, ? ? (9, 25]

5 ? ?a ? 9或a ? ? 5? 3 ? a ? ?1, ? ? ?9,25? ? ? 3? ?1 ? a ? 25 ?

? 5? ? 3?

4 17、解: (1)语、数、英、综合四门学科安排在上午第一场考试共有: A4 种排法,

7 其它七科共有 A7 种排法,

7 由 A4 ? A7 = 120960 ,得
4

“考试日程安排表”有 120960 种不同的安排方法.
2 9 (2)数学、化学安排第四天上午考共有: A2 ? A9 种方法, 1 2 9 安排前三天同一天考共有: C3 ? A3 ? A9 种方法
2 9 1 9 A2 ? A9 ? C3 ? A32 ? A9 2 ? 3 ? 3 ? 2 2 ? ? 11 11? 10 11 A11

∴所求的概率 P ?

18、解: (1) S 4 ? 2 ,需 4 次中有 3 次正面 1 次反面,设其概率为 P 1 则 P ? C4 ( ) ? 1
3 3

1 2

1 1 1 ? 4( ) 4 ? 2 2 4

(2)6 次中前两次均出现正面,要使 2 ? S 6 ? 4 ,则后 4 次中有 2 次正面、2 次反面或 3 次正面、1 次反面。设其概率为 P2 。

P2 ?

1 1 2 1 2 1 2 1 1 3 1 3 1 5 ? C4 ( ) ( ) ? ? C4 ( ) ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 32

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y 19、解: f ?( x) ? 3x2 ? 3 ? 3( x ? 1)( x ? 1) 令 f ?( x) ? 0 得 x1=1,x2=-1 当 x 变化时 f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: x (-∞,-1) + ↗ -1 0 极大值 2 (-1,1) - ↘ 1 0 极小值-2 2 1 -1 0 -2 (1,+∞) + ↗ F x

f ?( x)
f (x)

作 f (x)的草图如右 (1)当 y=a 经过极值点时有且仅有两个交点,此时 a=±2. (2)要使 y=a 与 f (x)有三个不同的交点,由上图知 a∈(-2,2) . 本小题主要考查导数概念及几何意义和用导数求函数的最值问题. 20、解:以 DA、DC、DP 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(如图) , 则 D(0,0,0) 、A(2,0,0) 、 B(2,2,0) 、C(0,2,0) 、 E(2,1,0) 、F(1,1,1) 、 P(0,0,2) ??? ???? ? (1) EF ? DC ? (?1,0,1) ? (0,2,0) ? 0 ∴EF⊥DC

? (2)设平面 DEF 的法向量为 n ? ( x, y, z)

? ???? ?n ? DF ? 0 ?( x, y, z ) ? (1,1,1) ? 0 ? 由 ? ? ???? ,得? ?( x, y, z ) ? (2,1,0) ? 0 ?n ? DE ? 0 ?
?( x ? y ? z ) ? 0 取x ? 1, 则y ? ?2, z ? 1 即? ?2 x ? y ? 0

? ∴ n ? (1, ?2,1)

??? ? ? ??? ? ? BD ? n 2 3 ??? ? ? ? cos ? BD, n ?? ? 6 | BD || n | 2 2 ? 6

∴ DB 与平面 DEF 所成角大小为

?
2

? ar cos

3 3 (即 arcsin ) 6 6

(3)设 G(x,0,z) ,则 G∈平面 PAD

??? ? FG ? ( x ? 1, ?1, z ? 1)

??? ??? ? ? FG ? CB ? ( x ? 1, ?1, z ? 1) ? (2,0,0) ? 2( x ? 1) ? 0, x ? 1
? ? ?? ? ? ?? F G? C P ( x 1 , ?1 , z? 1 )? ( 0? 2 , ? ) ? 2z 2 ( ? 1 ) ?0 , ? ? , 2 ? z 0

∴G 点坐标为(1,0,0) ,
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即 G 点为 AD 的中点 21、解:①? 函数 f ( x ) 的图象关于原点对称

? 对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x) ? ?ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d ? ?ax3 ? 2bx2 ? cx ? 4d
即 bx2 ? 2d ? 0 恒成立

? b ? 0, d ? 0

? f ( x) ? ax3 ? cx, f ?( x) ? 3ax2 ? c
? x ? 1 时, f ( x) 取极小值 ?

2 2 ,? 3a ? c ? 0 且 a ? c ? 3 3

1 ? a ? , c ? ?1 3
②当 x?? ?1,1? 时,图象上不存在这样的两点使结论成立。 假设图象上存在两点 A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ) ,使得过此两点处的切线互相垂直,则由
2 f ?( x) ? x2 ?1 知两点处的切线斜率分别为 K1 ? x12 ?1, K2 ? x2 ?1 2 2 且 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? ?1

(*)

2 ? x1 , x2 ?[-1,1]?( x12 ?1)( x2 ?1) ? 0 与(*)矛盾

③? f ?( x) ? x2 ?1

令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?1 ,? x ? (??, ?1) ,

, x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0

x ? (?1,1) 时 f ?( x) ? 0
2 3

? f ?( x ) 在[-1,1]上是减函数,且 f max ( x) ? f (?1) ?
f min ( x) ? f (1) ? ? 2 3

? 在[-1,1]上 f ( x) ?

2 3 2 2 4 ? ? 3 3 3

? x1, x2 ???1,1? 时, f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?

高二数学期末(文)

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