第2章2.2.3第一课时两条直线相交、平行、垂直


2.2.3
第一课时

两条直线的位置关系
两条直线相交、平行与重合的 条件

学习目标 1. 理解直线相交、平行、重合的概念,会利用
直线的几何特征判定直线相交、平行、重合.

2.会求两条直线的交点,会利用平行、重合研
究直线的其它问题.

课前自主学案

第一课时

课堂互动讲练

知能优化训练

课前自主学案

温故夯基 1.直线的斜截式方程:y=kx+b.
2.直线的一般式方程:Ax+By+C=0(A、B不同 时为零).

知新益能

1.两条直线相交的条件 设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0, l1 与 l2 相交的条件是 A1 B1 A1B2-A2B1≠0 ______________或 ≠ (A2B2≠0). A2 B2

2.两直线平行的条件 (1)设 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2 =0,l1 与 l2 平行的条件是 A1B2-A2B1=0 ______________且 B1C2 -C1B2≠0 或 A2C1 - A1 B1 C1 A1C2≠0,或 = ≠ (A2B2C2≠0). A2 B2 C2 (2)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线的方程可 表示为 Ax+By+D=0(C≠D) _____________________.

3.两直线重合的条件 设 l1: 1x+B1y+C1=0,2: 2x+B2y+C2=0, A l A 则 l1 与 l2 重合的条件是 A1 B1 C1 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)或 = = A2 B2 C2 (A2B2C2≠0).

4.两直线位置关系的其它判断方法 (1)解两直线方程组成的方程组,由方程组解的情 况判定两直线的位置关系,这种方法虽思路自然, 但运算较繁琐. (2)用斜率判定,l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b2. k1≠k2 l1与l2相交的条件是:____________; k1=k2且b1≠b2 l1与l2平行的条件是:_____________; k1=k2且b1=b2 l1与l2重合的条件是:________________. 但要保证两直线的斜率存在.

思考感悟
若两直线平行,它们的斜率一定相等吗?

提示:不一定.例如直线x=3和x=-2平行,
但是,两条直线斜率不存在.

课堂互动讲练

考点突破
判断直线的位置关系

根据所给直线形式,选择判断条件.

(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4), N(-1,-1); (2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2); (3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3), N(2,0); (4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5, -2),N(5,5). 【分析】 求出斜率,利用斜率判断l1 与l2 是否 平行.

例1 判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:

1-?-2? -1-4 5 【解】 (1)k1= =1,k2= = ,∵ 2-?-1? -1-3 4 k1≠k2∴l1 与 l2 不平行. 2-1 (2)k1=1,k2= =1,∵k1=k2,∴l1∥l2 或 l1 2-1 与 l2 重合.

0-1 0-3 (3)k1= =-1,k2= =-1,则有 1-0 2-?-1? k1=k2. 3-1 又 kAM= =-2≠-1, -1-0 即 A,B,M 不共线,故 l1∥l2. (4)由已知点的坐标,得 l1 与 l2 均与 x 轴垂直且 不重合,故有 l1∥l2.

【点评】

当两条直线的斜率存在且斜率相等

时,未必有两直线平行,应进一步作判断是否 有两直线重合;当两条直线的斜率均不存在时,

则两直线重合或平行.解答此类问题应考虑周
全.

跟踪训练1 试求三条直线l1:x+y+a=0,l2: x+ay+1=0,l3:ax+y+1=0构成三角形的条 件. a 1 a 1 解: 法一: 由任意两条直线相交, ≠a, ≠ , 得 1 1 1 ∴a≠± 1,且三条直线不共点. ?x+ay+1=0, 由? 得交点(-1-a,1), 此交点不 ?x+y+a=0, 在直线 ax+y+1=0 上, 2 即 a(-1-a)+1+1≠0,∴a +a-2≠0, ∴a≠-2,且 a≠1.

综上可知,a≠-2,且 a≠± 1. 法二:若三条直线能构成三角形,则三条直线两 两相交且不共点, 即任意两条直线都不平行且三 条直线不共点.若 l1、l2、l3 交于一点,则 x+y +a=0 与 x+ay+1=0 的交点 P(-a-1,1)在直 线 l3:ax+y+1=0 上, 则 a(-a-1)+1+1=0, ∴a=1 或 a=-2. 1 若 l1∥l2,则有-a=-1,∴a=1;

若 l1∥l3,则有-a=-1,∴a=1; 1 若 l2∥l3,则有-a=-a,∴a=± 1. ∴当 l1、l2、l3 构成三角形时,a≠± 且 1 a≠-2.

已知直线位置关系求直线中的待定 系数 利用位置关系的条件建立方程.

例2

已知直线l1:ax-y+a+2=0,l2:ax+

(a2-2)y+1=0.当a为何值时,直线l1与l2:(1)相 交;(2)平行;(3)重合. 【分析】 可根据两直线平行、重合、相交所

满足的条件进行分类讨论.

【解】

(1)若 A1、A2、B1、B2 全不为 0 时, ?ax-y+a+2=0 联立方程组? , 2 ?ax+?a -2?y+1=0 A1 a B1 -1 C1 a+2 得 = =1, = 2 , = , A2 a B2 a -2 C2 1 A1 B1 由 = ,得 a=-1 或 a=1, A2 B2 A1 C1 由 = ,得 a=-1, A2 C2

所以,当 a≠± 时, 1 A1 B1 ≠ ,l 与 l2 相交; A2 B2 1 A1 B1 C1 当 a=1 时, = ≠ ,l1 与 l2 平行; A2 B2 C2 A1 B1 C1 当 a=-1 时, = = ,l1 与 l2 重合. A2 B2 C2 (2)若 A1,A2,B1,B2 中有为 0 的时, ?-y+2=0 当 a=0 时,方程组化为? ,这时 l1 与 l2 ?-2y+1=0 平行;

当 a2-2=0 即 a=± 2时, ? 2x-y+2+ 2=0 方程组化为? ? 2x+1=0
?- 2x-y+2- 2=0 或? ,此时两直线相交. ?- 2x+1=0

综上所述,当 a≠± 且 a≠0 时 l1 与 l2 相交; 1 当 a=0 或 a=1 时,l1 与 l2 平行; 当 a=-1 时,l1 与 l2 重合.

【点评】

利用两直线相交,平行,重合的条件

进行判断时要根据题目合理选择,要特别注意系 数为0和不为0,直线的斜率存在和不存在的情况,

可进行分类讨论.

跟踪训练2

已知直线l1:(m-2)x+2y+m-2=

0,l2 :2x+(m-2)y+3=0,当m为何值时,满

足下列条件
(1)l1与l2相交;

(2)l1∥l2;
(3)l1与l2重合.

解:(1)A1B2 -A2B1 =(m-2)(m-2)-2×2=(m -2)2-4≠0,得(m-2)2≠4即m-2≠±2, ∴当m≠4且m≠0时l1与l2相交. (2)由A1B2-A2B1=0得m=0或m=4, 当m=0时,两直线方程分别为-2x+2y-2= 0,2x-2y+3=0,此时l1∥l2; 当m=4时,两直线方程为2x+2y+2=0,2x+2y +3=0,此时l1∥l2. 故m=0或m=4,两直线l1∥l2. (3)由(2)知:直线l1与l2不可能重合.

求直线方程

主要利用有关直线位置关系求解.

已知A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,求 过点A和直线l平行的直线方程. 【分析】 利用直线l平行的条件,合理设直线方 程. 【解】 设所求直线方程为3x+4y+C=0, 由(2,2)在直线l上,可得3×2+4×2+C=0, ∴C=-14. ∴过点A与直线l平行的直线方程为3x+4y-14= 0. 【点评】 本题还可求出l的斜率,再利用点斜式 求直线的方程.
例3

跟踪训练3 求与直线3x+4y+1=0平行且过点 (1,2)的直线l的方程.

解:法一:设直线 l 的斜率为 k, ∵直线 l 与直线 3x+4y+1=0 平行, 3 ∴k=- . 4 又∵直线 l 过点(1,2), 3 ∴所求直线方程为 y-2=- (x-1), 4

即3x+4y-11=0.

法二:设与直线3x+4y+1=0平行的直线l的方
程为3x+4y+m=0,

∵直线l过点(1,2),
∴3×1+4×2+m=0,解得m=-11,

∴所求直线l的方程为3x+4y-11=0.

方法感悟

1.在两条直线相交、平行和重合的条件中,有一 个共同的代数式 A1B2-A2B1. 2.判定两条直线平行的方法有三种:A1B2-A2B1 =0 且 B1C2-B2C1≠0 具有一般性,对含字母系数 的两条直线平行的问题,用此式可避免讨论,非常 A1 B1 C1 方便;应用 = ≠ 或 k1=k2 且 b1≠b2 时,必须 A2 B2 C2 在 A2B2C2≠0 以及斜率存在条件下方可使用.

知能优化训练

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