广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试文科数学试卷(5)

广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(5)

文科数学试卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 ? ? ?3, 4,5? , ? ? ?1,2,5? ,则集合 ?1, 2? 可以表 示为(
??? A.

) D. ?痧 U? ? ? ? U ? ? ) D.?1

B. C. ? ? ??U ? ? ??U?? ? ? ? ? 2、已知向量 a ? ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为(
1 A. 5
1 B.

C.?

1 5

3、 若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示 (如 图) , 其中茎为十位数, 叶为个位数, 则这组数据的中位数是 ( A.91 B.91.5 C.92 ) D.92.5

? 1 ? b?R ) 4、 已知 i 为虚数单位, 复数 z ? a ? bi (a, 的虚部 b 记作 ?m ? z ? , 则 ?m ? ?? ? 1? i ?
( A.? )
1 2 1 2

B.?1

C.

D.1

5、设抛物线 C : y 2 ? 4x 上一点 ? 到 y 轴的距离为 4 ,则点 ? 到抛物线 C 的焦点的距 离是( A. 4 ) B. 5 C. 6 D. 7

sin ? 6、已知 ??? C 的三边 a , b , c 所对的角分别为 ? , ? , C ,且 ? a cos ? 的值是( )
A.

sin b

? 2 ,则

3 2

1 B. 2

C. ?

3 2

? D.

1 2

7、已知数列 ?an ? 为等比数列,若 a4 ? a6 ? 10 ,则 a7 ? a1 ? 2a3 ? ? a3a9 的值是( A.10 B.20 C.100



D.200

?x ? y ? 4 ? 0 ? 8、若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ?2 x ? y ? 8 ? 0 ,则实数 m 的取值范 ?x ? m ?

围是(

) B .

A . ? ?1, ???

? ?1, ???

C. ? ??, ?1?

D. ? ??, ?1?
2 3 ,则该锥体的俯视图可以是 3

9、已知某锥体的正视图和侧视图如图,其体积为 ( )

A.

B.

C.

D. )

10、已知圆 ? 的圆心为坐标原点,半径为 1 ,直线 l : y ? kx ? t ( k 为常数, t ? 0 )
? 两点, 与圆 ? 相交于 ? , 记 ???? 的面积为 S , 则函数 S ? f ? t ? 的奇偶性是 (

A.偶函数 C.既不是偶函数也不是奇函数 (一)必做题(11~13 题) 11、函数 f ? x ? ? ln ? x ? 2? 的定义域是

B.奇函数 D.奇偶性与 k 的取值有关

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. )



12 、 已 知 e 为 自 然 对 数 的 底 数 , 则 曲 线 y ? 2e x 在 点 ?1, 2 e? 处 的 切 线 斜 率 是 . 13 、已知函数 f ? x ? ?
1 ,点 ? 为坐标原点,点 ?n ? n, f ? n?? ( n ? ?? ) ,向量 x ?1 ????? ? ? cos ?2015 cos ?1 cos ? 2 的值 ? ? ??? ? i ? ? 0,1? , ?n 是 向 量 ??n 与 i 的 夹 角 , 则 sin ?1 sin ? 2 sin ? 2015





(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 x?y 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程

? x ? cos ? ? sin ? ?x ? 2 ? t 分别为 ? ( ? 为参数)和 ? ( t 为参数) .以原点 ? 为极点, x ? y ? cos ? ? sin ? ?y ? t
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的极 坐标是 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图, ? C 是圆 ? 的一条弦,延 长 ? C 至点 ? ,使得 ?C ? 2C? ? 2 ,过 ? 作圆 ? 的切线, ? 为 切点, ???C 的平分线 ?D 交 ? C 于点 D ,则 D ? 的长为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤. )
? ?? 16、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? ? sin ??x ? ? ?( ? ? 0 ,? ? 0 , ? ? ? 0, ? ) ? 2? 的部分图象如图所示,其中点 ? 是图象的一个最高点. ?1? 求函数 f ? x ? 的解析式;

? 2 ? 已知 ? ? ? ?

5 ? , ? ? 且 sin ? ? ,求 13 ?2 ?

?

?? ? f ? ?. ?2?

17、 (本小题满分 12 分)已知某中学高三文科班学生共 有 800 人参加了数学与地理的水平测试,现学校决定利 002 , 800 用随机数表法从中抽取 100 人进行成绩抽样统计. 先将 800 人按 001 , ??? , 进行编号; ?1? 如果从第 9 行第 6 列的数开始向右读,请你依次写出最先检测的 3 个人的编号; (下面摘取了第 7 行至第 9 行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 56 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 ? 2 ? 抽取出 100 人的数学与地理的水平测试成绩如下表: 成绩分为优秀、良好、及格三个等级,横向, 纵向分别表示地理成绩与数学成绩,例如: 表中数学成绩为良好的共有 20 ? 18 ? 4 ? 42 人. 若在该样本中, 数学成绩优秀率是 30 %, b 求 a , 的值; ? 3? 在地理成绩为及格的学生中,已知 a ? 10 , b ? 8 ,求数学成绩为优秀的人数比 及格的人数少的概率. 18、 (本小题满分 14 分) 如图, 三棱柱 ??C ? ?1?1C1 中, 侧棱垂直底面,?C ? ?C , D 是棱 ??1 的中点, ??1 ? 2?C ? 2?C ? 2a ( a ? 0 ) .

?1? 证明: C1D ? 平面 ? DC ; ? 2 ? 求三棱锥 C ? ?C1D 的体积.

19、 (本小题满分 14 分)已知正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,
1 2 Sn 是 与 ? an ? 1? 的等比中项. 4 ?1? 求证:数列 ?an ? 是等差数列;

,求数列 ?bn ? 的通项公式; ? 2 ? 若 b1 ? a1 ,且 bn ? 2bn?1 ? 3 ( n ? 2 )
an ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 ?n . bn ? 3

? 3? 在 ? 2 ? 的条件下,若 cn ?

20、 (本小题满分 14 分)已知椭圆 C1 :
x2 y2 ? ? 1有共同焦点. b2 b2 ? 1 ?1? 求椭圆 C1 的标准方程;

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 的离心率为 e ? ,且与双曲线 2 a b 2

C2 :

? 2 ? 在椭圆 C1 落在第一象限的图象上任取一点作 C1 的切线 l ,求 l 与坐标轴围成的
三角形的面积的最小值; ? 3? 设椭圆 C1 的左、右顶点分别为 ? , ? ,过椭圆 C1 上的一点 D 作 x 轴的垂线交 x ??? ? ??? ? ???? ??? ? ?D ? ?? . 轴于点 ? , 若 C 点满足 ?? ? ?C , 连结 ? C 交 D ? 于点 ? , 求证: ?D// ?C ,

21、 (本小题满分14分)已知函数 f ? x ? ? ?x3 ? ax2 ? 4 ( a ? R ) , f ? ? x? 是 f ? x ? 的 导函数. ?1? 当 a ? 2 时,对于任意的 m ???1,1? , n ???1,1? ,求 f ? m? ? f ? ? n? 的最小值;

? 2 ? 若存在 x0 ? ? 0, ??? ,使 f ? x0 ? ? 0 ,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 B 6 D 7 C 8 A 9 C 10 A

二、填空题(本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. ) (一)必做题(11~13 题)
2015 2016 (二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) ?? ? 14、 ? 2, ? 15、 3 4? ? 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. )

11、 ? 2, ?? ?

12、 2e

13、

16、解: ?1? 由函数最大值为 2 ,得 A=2…………1 分

? ? 由图可得周期 T ? 4[ ? (? )] ? ? …………2 分 12 6 2? ? ? ,得 ? ? 2 …………3 分 由 ?

又? ?

?
12

? ? ? 2 k? ?

?

得? ?

?
3

, k ? Z ,及 ? ? (0, ) …………4 分 2 2

?

…………5 分

? f ( x) ? 2sin(2 x ? ) …………6 分 3

?

? 2? 由 ? ? ? ?
?

5 12 ? , ? ? ,且 sin ? ? ,得 cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? …………8 分 13 13 ?2 ?

?

? f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2(sin ? cos ? cos ? sin ) …………10 分 2 2 3 3 3

?

?

?

?

?

5 ? 12 3 …………12 分 13

17、解: ?1? 依题意,最先检测的 3 个人的编号依次为 234 , 297 , 560 ………3 分
7?9?a ? 0.3 ,得 a ? 14 100 ∵ 7 ? 9 ? a ? 20 ? 18 ? 4 ? 5 ? 6 ? b ? 100 ∴ b ? 17

? 2? 由

…………5 分 …………7 分

? 3? 由题意,知 a ? b ? 31 ,且 a ? 10 , b ? 8
∴满足条件的 (a, b) 有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16) , (16,15) , (17,14) , (18,13) , (19,12) , (20,11) , (21,10) , (22,9) , (23,8)共 14 组,且每组出现的可能性相同. ……9 分 其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有: (10,21) , (11,20) , (12,19) , (13,18) , (14,17) , (15,16)共 6 组 …………11 分 6 3 ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为 ? ………12 分 14 7 18、 ?1? 证明:依题意,BC⊥CC1,BC⊥AC,AC∩CC1=C 所以 BC⊥平面 ACC1A 1……3 分 C1D ? 平面 ACC1A 1 所以 BC⊥C1D……4 分 A1C1=A1D=AD=AC ? 所以 ?A1 DC1 ? ?ADC ? ……5 分 4 ? 所以 ?C1 DC ? ,C1D⊥DC……6 分 2 因为 BD∩CD=C 所以 C1D⊥平面 BDC……7 分 ? 2 ? 解:三棱锥 C-BC1D 即三棱锥 C1-BCD 由 ?1? 知 BC⊥CD……8 分

1 2 2 ? BC ? CD ? a ……10 分 2 2 由 ?1? 知,C1D 是三棱锥 C1-BCD 底面 BDC 上的高

所以△BCD 的面积 S ?

1 1 Sh ? ? S ? C1 D ……12 分 3 3 1 2 2 1 ? ? a ? 2a ? a 3 ……14 分 3 2 3 1 1 19、 ?1? 证明: ( S n ) 2 ? (an ? 1) 2 即 S n ? (an ? 1) 2 …………1 分 4 4 1 当 n ? 1 时, a1 ? (a1 ? 1) 2 ,∴ a1 ? 1 …………2 分 4 1 当 n ? 2 时, S n ?1 ? (an ?1 ? 1) 2 4 1 2 2 ∴ an ? S n ? S n ?1 ? (an ? an ?1 ? 2an ? 2an ?1 ) 4

其体积 V ?

即 (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ? 2) ? 0 ∵ an ? 0 ∴ an ? an ?1 ? 2

…………4 分

∴数列 {an } 是等差数列

…………5 分 …………6 分 …………7 分

? 2 ? 解:由 bn ? 2bn?1 ? 3 得 bn ? 3 ? 2(bn?1 ? 3)
∴数列 {bn ? 3} 是以 2 为公比的等比数列 ∴ bn ? 3 ? (b1 ? 3)2n ?1 ? (a1 ? 3)2n ?1 ? 2n ?1 ∴ bn ? 2n ?1 ? 3

…………8 分 …………9 分

? 3? cn ?
∴ Tn ?

an 2n ? 1 ? n ?1 bn ? 3 2

1 3 5 2n ? 1 ①…………10 分 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 1 3 5 2n ? 1 两边同乘以 得 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ? 2 ②…………11 分 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2n ? 1 ①-②得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 …………12 分 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2n ? 1 Tn ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2n ? 1 3 2n ? 3 ? ? (1 ? n ?1 ) ? n ?1 ? ? n ?1 …………14 分 2 2 2 2 2

c2 3 3 c 3 20、 ?1? 解:由 e ? 可得: ? 即 2 ? a 4 2 a 2 ? a 2 ? b2 3 ? ? a 2 ? 4b 2 ①………………………2 分 2 a 4

又? c 2 ? 2b 2 ? 1 即? a 2 ? b 2 ? 2b 2 ? 1 ②联立①②解得: a 2 ? 4, b 2 ? 1

x2 ? 椭圆 C1 的方程为: ? y 2 ? 1 ……………………3 分 4

? 2 ? 解:? 与椭圆 C1 相切于第一象限内的一点,? 直线的斜率必存在且为负
设直线的方程为: y ? kx ? m (k ? 0)
? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 消去 y 整理可得: 2 ? ? y ?1 ?4
? 2 1? 2 2 ? k ? ? x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0 ③,………………4 分 4? ?

根据题意可得方程③只有一实根, 1 2 ? ? ? ? 2km ? ? 4(k 2 ? )(m 2 ? 1) ? 0 整理可得: m 2 ? 4k 2 ? 1 ④………………6 分 4
? m ? ? 直线与两坐标轴的交点分别为 ? ? , 0 ? , ? 0, m ? 且 k ? 0 ………………7 分 ? k ?

1 m2 ⑤,………………8 分 ? 与坐标轴围成的三角形的面积 S ? ? 2 ?k
④代入⑤可得: S ? ? ?2k ? ?
1 1 ? 2 (当且仅当 k ? ? 时取等号)…………9 分 ?2k 2

? 3? 证明:由 ?1? 得 A(?2, 0), B(2, 0) ,设 D( x0 , y0 ) ? E ( x0 , 0) ,
???? ???? ??? ? ??? ? ? AB ? BC ,? 可设 C (2, y1 ) ,? AD ? ( x0 ? 2, y0 ), OC ? (2, y1 )

???? ???? 2 y0 由 AD / / OC 可得: ( x0 ? 2) y1 ? 2 y0 即 y1 ? …………11 分 x0 ? 2
? 直线 AC 的方程为:

y0 y x?2 整理得: y ? ? ? x ? 2? 2 y0 2( x0 ? 2) 4 x0 ? 2

点 P 在 DE 上,令 x ? x0 代入直线 AC 的方程可得: y ?

y0 ,…………13 分 2

y ? ? 即点 P 的坐标为 ? x0 , 0 ? ? P 为 DE 的中点? PD ? PE …………14 分 2? ?

21、解: ?1? 由题意知 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4, f ' ( x) ? ?3 x 2 ? 4 x.
4 令 f ' ( x) ? 0, 得x ? 0或 . …………2 分 3

当 x 在[-1,1]上变化时, f ' ( x), f ( x) 随 x 的变化情况如下表: x
f ' ( x)

-1 -7 -1

(-1,0) 单调递减

0 0 -4

(0,1) + 单调递增

1 1 -3 …………4 分

f ( x)

? 对于m ? [?1,1], f (m) 的最小值为 f (0) ? ?4,
? f ' ( x) ? ?3 x 2 ? 4 x 的对称轴为 x ?
2 且抛物线开口向下, 3,

? 对于n ? [?1,1], f ' (n) 的最小值为 f ' (?1) ? ?7.
? f (m) ? f ' (n) 的最小值为-11.

…………5 分 …………6 分

? 2 ? ? f ' ( x) ? ?3x( x ?

2a ) 3

①若 a ? 0, 当x ? 0时, f ' ( x) ? 0 ,? f ( x)在?0,?? ? 上单调递减, 又 f (0) ? ?4, 则当x ? 0时, f ( x) ? ?4.

?当a ? 0时, 不存在x0 ? 0, 使f ( x0 ) ? 0.
②若 a ? 0, 则当0 ? x ?
2a 2a 时, f ' ( x) ? 0, 当 x ? 时, f ' ( x) ? 0. 3 3

…………9 分

? 2? ? 2a ? 从而 f ( x)在? 0, ? 上单调递增,在 ? ,?? ? 上单调递减, ? 3? ?3 ?

?当x ? (0,??)时,f ( x) max ? f (

2a 8a 3 4a 3 )?? ? ?4 3 27 9

…………12 分

根据题意,

4a 3 ? 4 ? 0, 即a 3 ? 27, 解得a ? 3. 27

综上, a 的取值范围是 (3,??). (或由 x0 ? 0, f ( x0 ) ? 0, 得a ?

…………14 分

4 x0
2

? x0 ,用两种方法可解)


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