§8.2.2椭圆的简单几何性质(二)


§8.2.2椭圆的简单几何性质(二)

回顾椭圆的基本性质 一.椭圆中的基本元素 1.基本量: a、b、c、e 几何意义:a-长半轴、b-短半轴、c-半焦距, e-离心率; 相互关系: ? a ? b c
2 2 2

e?

c a

2.基本点:顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴

方程 图形


x a

2 2

?

y b

2 2

?1

y a
B1

2

2

?

y B2


A2
_

x b

2

2

? 1

Y
B2 X

A1

F1

0

F2

A2

x

_

F2 O F1

B1

A1

范围 对称性
1

? a ? x ? a ,? b ? y ? b

? b ? x ? b ,? a ? y ? a
关于x轴,y轴,原点对称。

关于x轴,y轴,原点 对称。
2 1 2

顶点 A ( - a , 0 ) , A ( a , 0), B (0, -b ) , B c e ? ( 0 ? e ? 1) 离心率
a

( 0, b ) A 1 ?0 , ? a ?, A 2 ( 0 , a ), B 1 ?? b ,0 ?, B 2 ?b ,0 ?
e? c a ( 0 ? e ? 1)

例1. 如图,我国发射的第一颗人造卫星的轨道,是以 地心F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A距地面 439km,远地点B距地面2384km,并且F2,A,B在同一条 直线上,地球半径为6371km,求卫星运行的轨道方程 (精确到1km). 解:如图,建立直角坐标 系,使A,B,F2在x轴上,F2 为椭圆的右焦点(F1为 左焦点).

F1 B

. .

F2
A

练习:点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x=8的 距离比是1:2,求点P的轨迹方程,并说明轨迹是什么 图形?
解:设d 是点M 直线l的距离,根据题意, 所求轨迹就是集合
? ? P ? ?M ? ?
2 2

MF d

?

1? ?

?, 2? ?

由此可得:

( x ? 2) ? y 8? x

?
x

1 2
2

将上式两边平方,并化简,得

?

y

2

? 1(a ? b ? 0).

16

12

这是椭圆的标准方程,所以点M 的轨迹是长轴、 短轴长分别为8、 3的椭圆. 4

探究:
若点M ( x, y )与定点F (c,的距离和它到定直线l : x ? 0) 的距离的比是常数 c a (a ? c ? 0),求点M 的轨迹。 a
2

c

解:设d 是点M 直线l的距离,根据题意,所求轨迹就是集合
? MF c? P ? ?M ? ?, d a? ?

y
c a

由此可得:

( x ? c) ? y
2

2

M

a

2

?

?

N

?x

c

将上式两边平方,并化简,得
(a ? c ) x ? a y ? a (a ? c ).
2 2 2 2 2 2 2 2

o

F

?

x

设a ? c ? b , 则方程可化成
2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1(a ? b ? 0).

这是椭圆的标准方程,所以点M的轨迹是长轴、短轴长

分别为2a、b的椭圆. 2

定义:
平面内与 一个定点的距 离和它到一条 c 定直线的距离的比是常数 e ? (0 ? e ? 1) a 的点的轨迹。

注:我们一般把这个定义称为椭圆的第二定义,
定点是椭圆的焦点,定直线叫做椭圆的准线。而 相应的把另一个定义称为椭圆的第一定义。

1.椭圆的第二定义:一动点到定点的距离和它到 一条定直线的距离的比是一个(0,1)内常数,那么 这个点的轨迹叫做椭圆 .其中定点叫做焦点,定直 线叫做准线,常数就是离心率.
y
N1 K1 P

y

B2
O F2

K2

N2 P

N2

A2
F2

A1

F1

A2

K2

x

B1

O

B2
N1

x

B1

A1
K1

F1

2.椭圆的准线方程
(1) 对 于 x a
2 2

?

y b

2 2

? 1,
:x ? ? a
2

相对于左焦点F1( -c,0)对应着左准线 l 1 相对于右焦点F2( c,0)对应着右准线
(2)对 于 y a
2 2

c

l2 : x ?

a

2

?

x b

2 2

c

? 1,
l1 : y ? ? a
2

相对于下焦点F1(0,-c)对应着下准线 相对于上焦点F2( 0,c)对应着上准线

c
2

l2 : y ?

a

c

准线的位置关系: x ? a ?

a

2

c

或 y ? a ?

a

2

c

焦点到准线的距离:
p ? a
2

?c?

a ?c
2

2

?

b

2

(焦 参 数 )

c

c

c

例1.求下列椭圆的准线方程:

(1) x ? 4 y ? 4
2 2

椭圆的准线方程为:
(2) x
2

x ? ?

4 3 3

?

y

2

?1
y ? ? 81 65 65

16

81

椭圆的准线方程为:

例2.椭圆

x

2

?

y

2

? 1上有一点P,它到左准线的距离

25 等于 5 2

9

,求P到右焦点的距离。

解法1:

如右图所示,设P到左、右准线的距离为d1、d 2 ,
则d1 ? d 2 ? 2a c
2

?

50 4

?

25 2

又? d1 ?

5 2

? d2 ? 10

又?

PF2 d2

4 ?e? 5

4 4 ? PF2 ? ? d2 ? ?10 ? 8 5 5

即所求点P到右焦点的距离为 8.

例2.椭圆

x

2

?

y

2

? 1上有一点P,它到左准线的距离

25 等于 5 2

9

,求P到右焦点的距离。

解法2: 由

PF1 d1

?e?

4 5

及d1 ?

5 2

得: 1 ? PF

4 5

? d1 ? 2

又? PF ? PF2 ? 2a ? 10 1

? PF2 ? 10 ? PF1 ? 8
即所求点P到右焦点的距离为 8.

例 3 . 已 知 定 点 A ( ? 2, 3 ), 点 F 为 椭 圆

x

2

?

y

2

? 1的 由 右 焦 点 ,

16 M的坐标。
解:设点M 到椭圆右准线的距离为d

12

点 M 在 椭 圆 上 移 动 , 求 | M A | ?2 | M F | 的 最 小 值 及 相 应

l '

y
?

l
M d

?由椭圆的第二定义得:
| MF | d ?e? c a ? 1 2

A?

.

O

F

.

x

?| MA | ? 2 | MF |? | MA | ? d

如图,当 MA ? l 时,| MA | ? d 最小
? (| MA | ? d ) min ? a
2

c

? x A ? 10

此时 M ( 2 3 ,

3)

例 4 . 已 知 定 点 A ( ? 2, 3 ), 点 F 为 椭 圆

x

2

?

y

2

? 1的 由 右 焦 点 ,

16 M的坐标。
解 : 设 椭 圆 的 左 焦 点 为 F1 ( ? 2, 0 )

12

点 M 在 椭 圆 上 移 动 , 求 | MA | ? | MF |的 最 小 值 及 相 应

l '

y
?

l
M

由椭圆的第一定义得:
| MF |? 8 ? | MF 1 |

A?

. F

?| MA | ? | MF |? | MA | ? | MF 1 | ? 8
?|| MA | ? | MF 1 || ? | AF 1 | ? ? | AF 1 |? | MA | ? | MF 1 |? | AF 1 |

1

O

F

.

x

? (| M A | ? | M F1 |) m in ? ? | A F1 |? ? 3
? (| MA | ? | MF |) min ? 8 ? 3

此时 M ( ? 2 , 3 )


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