三角函数求值问题_图文


三角函数的求值
三角函数的求值问题常见类型: (1) “给角求值”; (2) “给值求值”; (3) “给值求角”.

一、给角求值问题

“给角求值” :在不查表前提下,求三角函数值, 其一般方法是: (1)非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数; (2)将非特殊角的三角函数消去.

3 练习: ? 2 sin300°的值为______.
3 sin300°=sin(360° )=-sin60°=-60° 2



给角求值

3 【例 1】计算 tan12° +tan18° + tan12° tan18° 的值. 3 【分析】发现 12° +18° =30° 从而出现特殊角.

tan120 ? tan180 tan( 0 ? 180 ) ? 12 1 ? tan120 ? tan180
3 解:原式=tan(12° +18° )(1-tan12° tan18° )+ tan12°tan18° · 3 3 3 = (1-tan12° tan18° )+ tan12°tan18° · 3 3
3 3 3 = - tan12° tan18° + tan12° tan18° 3 3 3

3 = . 3

【点评】 对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊 角,基本思路有: (1)化为特殊角的三角函数值; (2)化为正、负相消的项,消去求值; (3)化分子,分母出现公约数进行约分求值.

二、给值求值问题 给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的 三角函数式的值,解题关键在于“变角”及活用公式.
练习:
2 已知 tanα=2,tan(α-β)=- ,那么 tanβ= 5

12 。

分析:β=α- (α-β)
2 解: tan ? ? 2, tan(? ? ?) ? ? ? 5 ? 2? 2??? ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 5 ? ? 12 ? tan ? ? tan[? ? (? ? ?)] ? ? 1 ? tan ? ? tan ? ? ? ? ? ? 2? 1? 2? ? ? ? ? 5?



给值求值

3 5 π 3 π 3 例 2 若 sin( π+α)= ,cos( -β)= ,且 0<α< <β< π,求 cos(α+β)的值 4 13 4 5 4 4 π 3 3 3 π π 解:因为 0<α< <β< π,所以 π< π+α<π,- < -β<0. 4 4 4 4 2 4
3 5 π 3 又 sin( π+α)= ,cos( -β)= , 4 13 4 5 3 12 π 4 所以 cos( π+α)=- ,sin( -β)=- , 4 13 4 5 π 所以 cos(α+β)=sin[2+(α+β)] 3 π =sin[(4π+α)-(4-β)] 3 π 3 π =sin(4π+α)cos(4-β)-cos(4π+α)sin(4-β) 33 =-65.

【点评】 对于给值求值问题,即由给出的某些角的三 角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变 角”使“所求角”变为“已知角”;若角所在象限没有确 定,则应分类讨论,应注意公式的灵活应用,如 β=α-(α α+β α+β α-β -β),α+β= ×2,α= + 等. 2 2 2

三、给值求角问题 实质上可转化为给值求值问题,即先求出该 角的某一三角函数的值,然后讨论角的范围,判断 该角的大小.



给值求角

1 13 π 例 3.已知 cosα= ,cos(α-β)= ,且 0<β<α< ,求 β 的值; 7 14 2 【分析】 分析已知式和待求式中角的关系,不难发现
β=α-(α-β),因此应用两角差公式求解.
π π 解:(1)由 0<β<α< 得 0<α-β< . 2 2 13 1 又 cos(α-β)= ,cosα= , 14 7 所以 sin(α-β)= 1-cos2?α-β? 3 3 = . 14 sinα= 4 3 . 7

则 cosβ=cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β), 1 13 4 3 3 3 1 = × + × = . 7 14 7 14 2 π π 而 β∈(0, ),则 β= . 2 3

【点评】 给值求角问题,一般都需先求出待求角的 某一个三角函数值, 再根据角的范围确定角的值; 一般地, π π 若 α∈(- , ),则求 sinα 或 tanα;若 α∈(0,π),则求 2 2 cosα 或 tanα,避免增角.



给值求角

1 13 π 例 2.已知 cosα=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,求 β 的值; 变式: 0 ? ? ? ? ? ?
π π 解:由 0<β<α< 得 0<α-β< . 2 2 13 1 又 cos(α-β)= ,cosα= , 14 7 所以 sin(α-β)= 1-cos2?α-β? 3 3 = . 14 4 3 sinα= . 7

?

?

则 cosβ =cos[α-(α-β)] =cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β), 1 13 4 3 3 3 = × + × 7 14 7 14 1 = . 2 π π 而 β∈(0, ),则 β= . 2 3

?

1 π π 练习:已知 tanα= ,tanβ=-2,其中 0<α< , <β<π. 3 2 2 求:(1)tan(α-β);(2)α+β 的值.
1 +2 tanα-tanβ 3 解:(1)tan(α-β)= = =7. 1 1+tanαtanβ 1+ · ?-2? 3 1 -2 tanα+tanβ 3 (2)tan(α+β)= = =-1, 1 1-tanαtanβ 1- · ?-2? 3 π π π 3 又 0<α< , <β<π,所以 <α+β< π, 2 2 2 2 3 所以 α+β= π. 4

1.对于 “给角求值”问题:在不查表前提下,求三角 函数值,其一般方法是: (1)非特殊角三角函数化为特殊角的三角函数; (2)将非特殊角的三角函数消去.

2.对于“给值求值”问题,即由给出的某些角的三角 函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于 “变角”使“所求角”变为“已知角”;若角所在 象限没有确定,则应分类讨论.

2.角的变换常见途径有:? ? (? ? ? ) ? ?, ? (? ? ? ) ? (? ? ? ), 2?

? ? 2 ? 等.对公式会“正用”“逆用”“变形用”.
2

?

3.“给值求角”问题,一般都需先求出待求角的某一个三 角函数值,再根据角的范围确定角的值;一般地,若 α∈ π π (- , ),则求 sinα 或 tanα;若 α∈(0,π),则求 cosα 2 2 或 tanα,避免增角.

作业:
? 《同步训练》P276 第20讲
4 4 ? 3? cos( ? ? ? ) ? ? , cos( ? ? ? ) ? , 且? ? ? ? ( , ? ), ? ? ? ? ( ,2? ), 已知 5 5 2 2

求 cos2? , cos2?的值。


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