2016届人教版新课标高三数学(文)一轮复习课件 §7.1不等式的概念和性质、基本不等式(数理化网)_图文

栏目索引 课标版 § 7.1 文数 不等式的概念和性质、基本不等式 栏目索引 知识梳理 1.不等式的定义 在客观世界中,量与量之间的不等关系是普遍存在的,我们用数学符 号>、<、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系, 含有这些不等号的式子,叫做不等式. 栏目索引 2.比较两个实数的大小 两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的,有a-b>0?a>b;a-b=0?a a a a =b;a-b<0?a<b.另外,若b>0,则有? >1?a>b;? =1?a=b;? <1?a<b. b b b 3.不等式的性质 (1)a>b?b<a. (2)a>b,b>c?a>c. (3)a>b?a+c>b+c. 推论1 a+b>c?a>c-b. 栏目索引 推论2 a>b,c>d?a+c>b+d. c>0 ?ac>bc;a>b,② c<0 ?ac<bc. (4)a>b,① 推论1 推论2 推论3 a>b>0,c>d>0?ac>bd; n n a>b>0?? b(n∈N,且n≥2). a >? a>b>0?an>bn(n∈N,且n≥2). 4.基本不等式 a ? b ≥③ ? ? ab 2 (a,b∈R+). 5.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥④ 2ab (a,b∈R); 栏目索引 (2)? +? ≥⑤ a b b a 2 (a,b同号且不为零); ? a?b? ? ? ? 2 ? 2 (3)ab≤⑥ ? ≤⑦ ? a 2 ? b2 2 (a,b∈R); 2 ? a ? a 2 ? b2 (4)? ≥⑧ 2 ? a?b 2 ≥⑨ ? ab ≥ 1 1 (a,b∈R+). b 6.利用基本不等式求最值 (1)若k为常数,a、b∈R+,则a· b=k,当且仅当a=b时,a+b有最小值⑩ ; 2? k 栏目索引 (2)若p为常数,a、b∈R+,则a+b=p,当且仅当a=b时,a· b有最大值? 7.证明基础 (1)不等式的定义:a-b>0?a>b; ?. p2 4 (2)不等式的性质; (3)基本不等式: (i)(a-b)2≥0; (ii)几个常用的不等式: 1 ≥2(a>0),等号在a=1时成立; a+? a 2 2(? )≥(a1+a2)2(a1,a2∈R),等号在a1=a2时成立. a12 +? a2 栏目索引 1.已知a,b,c,d∈R,则“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的? ( A.充分不必要条件 C.充要条件 ? 答案 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B 若a>b且c>d,则有a+c>b+d.反之不成立,故选B. 栏目索引 2.若角α,β满足-? <α<β<? ,则2α-β的取值范围是? ( 2 2 ? ? ) A.(-π,0) ? 3? ? ? C.? ?? , ? 2 2 ? ? ? B.(-π,π) ? 3? 3? ? D.? ?? , ? ? 2 2 ? 答案 C 角α,β满足-? <α<β<? ,则-π<α-β<0,-?<2α-β<? ,故2α-β的取 2 2 2 ? ? 3? 2 ? ? 3? ? ? 值范围是? ? ? , ? ,故选C. 2 2 ? ? 栏目索引 3.设x>0,则y=3-3x-? 的最大值是? ( A.3 ? 1 x ) B.3-3?2 C.3-2?3 1 ? ? D.-1 1? ? 3 x ? ? ≤3-2? 3 ,当且仅当3x=? 3x ? =3-2? 答案 C ∵y=3-3x-? =3, ?? x x x x 1 1 即x=?时取“=”.故选C. 3 3 栏目索引 4.设x、y∈R+,且xy-(x+y)=1,则? ( A.x+y≥2(?2 +1) 2 C.x+y≤(? 2 +1) ) B.xy≤?2 +1 D.xy≥2(?2 +1) ? 答案 A ? x? y? 由xy-(x+y)=1得 ? ? -(x+y)≥1,解得x+y≥2(? 2+1),故选A. ? 2 ? ? 2 栏目索引 5.若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则? +? 的最小值是? ( A.4 B.2 ) C.? 1 2 1 1 a b D.? 1 1 a b 1 4 答案 A 由题意知直线过圆(x+1)2+(y-2)2=4的圆心,所以a+b=1,则? +? =? +? +1≥4.故选A. ? ? ? (a+b)=1+? a b a b ? ?1 ? 1? b a 栏目索引 典例题组 比较两个数(式)的大小 3 5 典例1 已知等比数列{an}中,a1>0,q>0,前n项和为Sn,试比较? 与? 的大小. S a3 S a5 ? 解析 S3 S3 S 5 S5 当q=1时,? a3 =3,? a3 <? a5 =5,所以? a5 ; 当q>0且q≠1时, S3 S5 a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 5 ) q 2 (1 ? q 3 ) ? (1 ? q 5 ) ? -? = 2 - 4 =? 4 q (1 ? q ) a3 a5 a1q (1 ? q ) a1q (1 ? q ) S3 S 5 ?q ? 1 S3 S 5 =?4 <0,所以? <? .综上可知,? <? . q a3 a5 a a3 5 ? ? 栏目索引 比较两数(式)大小的三种常用方法: (1)作差法: 一般步骤:①作差;②变形;③定号;④结论.其中关键是变形,常采用配方、因 式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为 正数时,有时也可以先平方再作差. (2)作商法: 一般步骤:①作商;②变形;③判断商与1的大小;④结论. (3)特值法: 若是选择题、填空题,可以用特值法比较大小;若是

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