100测评网高二数学练习卷椭圆的标准方程

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

典型例题一
例 1 已知椭圆 mx2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值. 分析:把椭圆的方程化为标准方程,由 c ? 2 ,根据关系 a ? b ? c 可求出 m 的值.
2 2 2

解:方程变形为

x2 y2 ? ? 1. 6 2m

因为焦点在 y 轴上,所以 2 m ? 6 ,解得 m ? 3 . 又 c ? 2 ,所以 2m ? 6 ? 2 , m ? 5 适合.故 m ? 5 .
2

典型例题二
例 2 已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3, 0? , a ? 3b ,求椭圆的标准方程. 分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数 法,求出参数 a 和 b (或 a 和 b )的值,即可求得椭圆的标准方程. 解:当焦点在 x 轴上时,设其方程为 由椭圆过点 P?3, 0? ,知
2 2

x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

9 0 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,代入得 b 2 ? 1 , a 2 ? 9 ,故椭圆的方 2 a b

程为

x2 ? y2 ? 1 . 9
y 2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0? . a 2 b2

当焦点在 y 轴上时,设其方程为 由椭圆过点 P?3, 0? ,知

9 0 ? 2 ? 1 .又 a ? 3b ,联立解得 a 2 ? 81 , b 2 ? 9 ,故椭圆 2 a b

的方程为

y2 x2 ? ?1. 81 9

典型例题三
例 3 ?ABC 的底边 BC ? 16 , AC 和 AB 两边上中线长之和为 30, 求此三角形重心 G

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 的轨迹和顶点 A 的轨迹. 分析: (1)由已知可得 GC ? GB ? 20,再利用椭圆定义求解. (2)由 G 的轨迹方程

G 、 A 坐标的关系,利用代入法求 A 的轨迹方程. 解: (1)以 BC 所在的直线为 x 轴, BC 中点为原点建立直角坐标系.设 G 点坐标为
由 GC ? GB ? 20, 知 G 点的轨迹是以 B 、C 为焦点的椭圆, 且除去轴上两点. 因 ?x,y ? ,

a ? 10 , c ? 8 ,有 b ? 6 ,故其方程为
(2)设 A?x,y ? , G?x?,y?? ,则

x2 y2 ? ? 1? y ? 0? . 100 36 x?2 y?2 ? ? 1? y? ? 0? . 100 36


x ? x? ? , ? x2 y2 ? 3 ? ? 1? y ? 0? , 由题意有 ? 代入①, 得 A 的轨迹方程为 其轨迹是椭圆 (除 900 324 ? y? ? y ? 3 ?
去 x 轴上两点) .

典型例题四
4 5 和 3

例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为

2 5 ,过 P 点作焦点所在轴的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程. 3
分析:讨论椭圆方程的类型,根据题设求出 a 和 b (或 a 和 b )的值.从而求得椭圆 方程. 解:设两焦点为 F1 、 F2 ,且 PF 1 ?
2 2

4 5 2 5 , PF2 ? . 3 3

从椭圆定义知 2a ? PF 1 ? PF 2 ? 2 5 .即 a ? 5 . 从 PF 1 ? PF 2 知 PF 2 垂直焦点所在的对称轴, 所以在 Rt?PF2 F1 中, sin ?PF 1 F2 ?

PF2

1 ? , PF1 2

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

可求出 ?PF1 F2 ?

?
6

, 2c ? PF 1 ? cos

?
6

?

10 2 5 2 2 2 ,从而 b ? a ? c ? . 3 3

∴所求椭圆方程为

x2 3y2 3x 2 y 2 ? ? 1或 ? ? 1. 5 10 10 5

典型例题五
x2 y 2 ? ? 1?a ? b ? 0? ,长轴端点为 A1 , A2 ,焦点为 F1 , F2 , P a 2 b2

例 5 已知椭圆方程

是椭圆上一点, ?A1PA2 ? ? , ?F1PF2 ? ? .求: ?F1PF2 的面积(用 a 、 b 、 ? 表示) . 分析:求面积要结合余弦定理及定义求角 ? 的两邻边,从而利用 S ? ? 积. 解:如图,设 P?x,y ? ,由椭圆的对称性,不妨设 P?x,y ? , 由椭圆的对称性,不妨设 P 在第一象限.由余弦定理知:

1 ab sin C 求面 2

F1 F2 ? PF1 ? PF2 ? 2 PF PF2 cos? ? 4c2 .① 1 ·
由椭圆定义知: 则 ② -① 得
2

2

2

2

PF 1 ? PF 2 ? 2a



2b 2 PF1 ? PF2 ? . 1? c o ? s
故 S ?F1PF2 ?

1 PF1 ? PF2 sin ? 2

?

1 2b 2 sin ? 2 1 ? cos?

? b 2 tan

?
2



典型例题六
x2 ? y2 ? 1 , 2

例 6 已知椭圆

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

(1)求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在直线的方程; (2)求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程; (3)过 A?2, 1? 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程; (4)椭圆上有两点 P 、 Q ,O 为原点,且有直线 OP 、OQ 斜率满足 kOP ? kOQ ? ? 求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程. 分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法. 解:设弦两端点分别为 M ?x1,y1 ? , N ?x2,y2 ? ,线段 MN 的中点 R?x,y ? ,则

?1 1? ? 2 2?

1 , 2

? x12 ? 2 y12 ? 2, ? 2 2 ? x2 ? 2 y 2 ? 2, ? ? x1 ? x2 ? 2 x, ? y ? y ? 2 y, 2 ? 1
①-②得

① ② ③ ④

?x1 ? x2 ??x1 ? x2 ? ? 2? y1 ? y2 ?? y1 ? y2 ? ? 0 .
由题意知 x1 ? x2 ,则上式两端同除以 x1 ? x2 ,有 ?x1 ? x2 ?2? y1 ? y2 ? 将③④代入得

y1 ? y2 ? 0, x1 ? x2

x ? 2y

y1 ? y2 ? 0. x1 ? x2



(1)将 x ?

1 1 y ? y2 1 , y ? 代入⑤,得 1 ? ? ,故所求直线方程为 2 2 x1 ? x2 2

2x ? 4 y ? 3 ? 0 .
2 2 将⑥代入椭圆方程 x ? 2 y ? 2 得 6 y ? 6 y ?
2



1 1 ? 0 ,? ? 36 ? 4 ? 6 ? ? 0 符合题意, 4 4

故 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 即为所求.

(2)将

y1 ? y2 ? 2 代入⑤得所求轨迹方程为: x1 ? x2
x ? 4y ? 0 . (椭圆内部分)

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

(3)将

y1 ? y2 y ? 1 代入⑤得所求轨迹方程为 ? x1 ? x2 x ? 2
(椭圆内部分) x2 ? 2 y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 .

(4)由①+②得
2 x12 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 2, 2

?

?



将③④平方并整理得
2 x12 ? x2 ? 4 x 2 ? 2x1 x2 , 2 y12 ? y2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ,

⑧ ⑨

将⑧⑨代入⑦得

4 x 2 ? 2 x1 x2 ? 4 y 2 ? 2 y1 y2 ? 2 , 4

?

?



再将 y1 y2 ? ?

1 x1 x2 代入⑩式得 2

? 1 ? 2 x 2 ? x1 x2 ? 4 y 2 ? 2? ? x1 x2 ? ? 2 , ? 2 ?


x2 ?

y2 ?1. 1 2

此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.

典型例题七
例 7 已知动圆 P 过定点 A?? 3, 并且在定圆 B: 0? , ?x ? 3? ? y 2 ? 64的内部与其相内切,
2

求动圆圆心 P 的轨迹方程. 分析:关键是根据题意,列出点 P 满足的关系式. 解:如图所示,设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M .动点 P

0? 和定圆圆心 B?3, 0? 距离之和恰好等 到两定点, 即定点 A?? 3,
于定圆半径,即 PA ? PB ? PM ? PB ? BM ? 8 . ∴点 P 的轨迹是以 A , B 为两焦点,半长轴为 4,半短

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

轴长为 b ? 42 ? 32 ? 7 的椭圆的方程:

x2 y2 ? ?1. 16 7

说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹 的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.

典型例题八
例 8 已知椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1 及直线 y ? x ? m . (1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2 10 ,求直线的方程. 5

分析:直线与椭圆有公共点,等价于它们的方程组成的方程组有解.因此,只须考虑方 程组消元后所得的一元二次方程的根的判别式.已知弦长,由弦长公式就可求出 m . 解: (1)把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x 2 ? y 2 ? 1 得

4x2 ? ?x ? m? ? 1 ,即 5x 2 ? 2mx? m2 ? 1 ? 0 .
2

? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0 ,
2

?

?

解得 ?

5 5 . ?m? 2 2

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得

2m m2 ? 1 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 5 5
根据弦长公式得

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? 1 ? 12 ? ? ? ? . ? ? 4? 5 5 ? 5 ?
解得 m ? 0 . 因此,所求直线的方程为 y ? x . 说明: 处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题, 采用的方法与处理直线和 圆的有所区别.这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式 ? ;解决弦长问题,一般 应用弦长公式.用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系) ,可大大简化运 算过程.

2

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

典型例题九
x2 y2 ? ? 1 的焦点为焦点,过直线 l:x ? y ? 9 ? 0 上一点 M 作椭圆,要 12 3

例 9 以椭圆

使所作椭圆的长轴最短,点 M 应在何处?并求出此时的椭圆 方程. 分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际 上就是要在已知直线上找一点, 使该点到直线同侧的两已知点 (即两焦点)的距离之和最小,而这种类型的问题在初中就已 经介绍过,只须利用对称的知识就可解决. 解:如图所示,椭圆

x2 y2 ? ? 1 的焦点为 F1 ?? 3, 0? , 12 3

F2 ?3, 0? .
点 F1 关于直线 l:x ? y ? 9 ? 0 的对称点 F 的坐标为(- 9 , 6 ) ,直线 FF2 的方程为

?x ? 2 y ? 3 ? 0 x ? 2 y ? 3 ? 0 .解方程组 ? 得交点 M 的坐标为 (-5, 4) . 此时 MF 1 ? MF 2 ?x ? y ? 9 ? 0
最小. 所求椭圆的长轴

2a ? MF1 ? MF2 ? FF2 ? 6 5 ,
∴ a ? 3 5 ,又 c ? 3 ,
2 2 2 ∴b ? a ?c ? 3 5

? ? ?3
2

2

? 36 .

因此,所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1. 45 36

说明:解决本题的关键是利用椭圆的定义,将问题转化为在已知直线上求一点,使该点 到直线同侧两已知点的距离之和最小.

典型例题十
x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

例 10 已知方程

分析:根据椭圆方程的特征求解.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

?k ? 5 ? 0, ? 解:由 ?3 ? k ? 0, 得 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . ?k ? 5 ? 3 ? k , ?
∴满足条件的 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 ,且 k ? 4 . 说明: 本题易出现如下错解: 由?

?k ? 5 ? 0, 得3 ? k ? 5, 故 k 的取值范围是 3 ? k ? 5 . 出 ?3 ? k ? 0,

错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 a ? b ? 0 这个条件,当 a ? b 时,并不表示椭圆.

典型例题十一
例 11 已知 x 2 sin ? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆,求 ? 的取值 范围. 分析: 依据已知条件确定 ? 的三角函数的大小关系. 再根据三角函数的单调性, 求出 ? 的取值范围. 解:方程可化为

x2 y2 ? ? 1. 1 1 sin ? cos?

1 1 ? ? 0. cos ? sin ? ? 3 因此 sin ? ? 0 且 tan ? ? ?1 从而 ? ? ( , ? ) . 2 4
因为焦点在 y 轴上,所以 ? 说明:

1 1 ? 0,? ? 0 ,这是容易忽视的地方. sin ? cos ? 1 1 2 2 (2)由焦点在 y 轴上,知 a ? ? ,b ? . cos ? sin ? (3)求 ? 的取值范围时,应注意题目中的条件 0 ? ? ? ? .
(1)由椭圆的标准方程知

典型例题十二
例 2 求中心在原点,对称轴为坐标轴,且经过 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点的椭圆 方程. 分析:由题设条件焦点在哪个轴上不明确,椭圆标准方程有两种情形,为了计算简便起
2 2 见,可设其方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ),且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上,直

接可求出方程.
2 2 解:设所求椭圆方程为 mx ? ny ? 1 ( m ? 0 , n ? 0 ).

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 由 A( 3 , ? 2) 和 B(?2 3 , 1) 两点在椭圆上可得
2 2 ? ?m ? ( 3 ) ? n ? (?2) ? 1, ?3m ? 4n ? 1, 即? ? 2 2 ? m ? ( ? 2 3 ) ? n ? 1 ? 1 , ?12m ? n ? 1, ? 1 1 所以 m ? ,n ? . 15 5

故所求的椭圆方程为

x2 y2 ? ?1. 15 5

说明:此类题目中已存在直角坐标系,所以就不用建立直角坐标系了,但是这种题目一 定要注意已知点和已知轨迹在坐标系中的位置关系.求椭圆的标准方程,一般是先定位(焦 点位置) ,再定量( a , b 的值) ,若椭圆的焦点位置确定,椭圆方程唯一;若椭圆的焦点位 置不确定,既可能在 x 轴,又可能在 y 轴上,那么就分两种情况进行讨论.方法是待定系数 法求椭圆的标准方程, 求解时是分为根据椭圆的焦点在 x 轴上或 y 轴上确定方程的形式、 根 据题设条件列出关于待定系数 a , b 的方程组、解方程组求出 a , b 的值三个步骤,从而得 到椭圆的标准方程. 对此题而言, 根据题目的要求不能判断出所求的椭圆焦点所在的坐标轴, 那么就分情况讨论,这种方法解此题较繁.另一种方法直接设出椭圆的方程,而不强调焦点 在哪一个坐标轴上,即不强调 x 和 y 2 的系数哪一个大,通过解题,解得几种情况就是几种 情况.在求椭圆方程确定焦点在哪一坐标轴上的时候,可以根据焦点坐标,也可以根据准线 方程.若不能确定焦点在哪一个坐标轴上,就用上述两种方法.
2

典型例题十三
例 13 已知长轴为 12,短轴长为 6,焦点在 x 轴上的椭圆,过它对的左焦点 F1 作倾斜解 为

? 的直线交椭圆于 A , B 两点,求弦 AB 的长. 3
分析:此类题目是求弦长问题,这种题目方法很多,可以利用弦长公式

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] 求得,也可以利用椭圆定义及余弦定
理,还可以利用焦点半径来求. 解:(法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.

AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2
? (1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] .
因为 a ? 6 , b ? 3 ,所以 c ? 3 3 . 又因为焦点在 x 轴上, 所以椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,左焦点 F (?3 3 , 0) ,从而直线方程为 36 9

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

y ? 3x ? 9 .
由直线方程与椭圆方程联立得

13x2 ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 .
设 x1 , x2 为方程两根, 所以 x1 ? x2 ? ?

36 ? 8 72 3 , x1 x2 ? ,k ? 3, 13 13
2

从而 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ?

(1 ? k 2 )[( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ] ?

48 . 13

(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解. 由题意可知椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 ,设 AF 1 ? m , BF 1 ? n ,则 36 9

AF2 ? 12 ? m , BF2 ? 12 ? n .
在 ?AF 1F2 中, AF2
2 2 2

? AF1 ? F1 F2 ? 2 AF1 F1 F2 cos 1 ; 2

2

2

?
3



即 (12 ? m) ? m ? 36 ? 3 ? 2 ? m ? 6 3 ? 所以 m ?

6 6 .同理在 ?BF ,所以 1F2 中,用余弦定理得 n ? 4? 3 4? 3
48 . 13
2

AB ? m ? n ?

(法 3)利用焦半径求解. 先根据直线与椭圆联立的方程 13x ? 72 3x ? 36? 8 ? 0 求出方程的两根 x1 , x2 ,它 们分别是 A , B 的横坐标. 再根据焦半径 AF 1 ? a ? ex 1 , BF 1 ? a ? ex2 ,从而求出 AB ? AF 1 ? BF 1 . 说明:对于直线与椭圆的位置关系有相交、相切、相离,判断直线与椭圆的位置关系, 可以利用直线方程与椭圆方程联立,看联立后方程解的个数: ? ? 0 ,无解则相离; ? ? 0 , 一解则相切; ? ? 0 ,两解则相交.直线与椭圆相交就有直线与椭圆相交弦问题,直线与椭 圆的两交点之间的线段叫做直线与椭圆相交弦.

典型例题十四
例 14 已知圆 x 2 ? y 2 ? 1 , 从这个圆上任意一点 P 向 y 轴作垂线段, 求线段中点 M 的 轨迹. 分析:本题是已知一些轨迹,求动点轨迹问题.这种题目一般利用中间变量(相关点)求

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 轨迹方程或轨迹. 解:设点 M 的坐标为 ( x , y ) ,点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) , 则x ?

x0 , y ? y0 . 2

因为 P( x0 , y0 ) 在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上, 所以 x0 2 ? y0 2 ? 1 . 将 x0 ? 2 x , y 0 ? y 代入方程 x0 2 ? y0 2 ? 1 得

4 x 2 ? y 2 ? 1.
所以点 M 的轨迹是一个椭圆 4 x 2 ? y 2 ? 1. 说明:此题是利用相关点法求轨迹方程的方法,这种方法具体做法如下:首先设动点的 坐标为 ( x , y ) ,设已知轨迹上的点的坐标为 ( x0 , y0 ) ,然后根据题目要求,使 x , y 与 x0 , 从而由这些等式关系求出 x0 和 y0 代入已知的轨迹方程, 就可以求出关于 y0 建立等式关系,

x , y 的方程,化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最基本的方法,必须掌
握. 这种题目还要注意题目的问法,是求“轨迹”还是求“轨迹方程” .若求轨迹方程,只 要求出关于 x , y 的关系化简即可;若求轨迹,当求出轨迹方程后,还要说明由这种方程所 确定的轨迹是什么.这在审题时要注意.

典型例题十五
x2 y2 ? ? 1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2, N 为 MF1 的中点,则 ON 例 15 椭圆 25 9
( O 为坐标原点)的值为( A.4 B.2 ) C.8 D.

3 2

解: 如图所示, 设椭圆的另一个焦点为 F2 , 由椭圆第一定义得 MF 1 ? MF 2 ? 2a ? 10 , 所 以 MF2 ? 10 ? MF 1 F2 的 中 位 线 , 所 以 1 ? 10 ? 2 ? 8 , 又 因 为 ON 为 ?MF

ON ?

1 MF2 ? 4 ,故答案为 A. 2

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

说明: (1)椭圆定义: 平面内与两定点的距离之和等于常数 (大于 F1 F2 ) 的点的轨迹叫做椭圆. (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义,即 MF 1 ? MF 2 ? 2a ,利用这个等式可以解 决椭圆上的点与焦点的有关距离.

典型例题十六
x2 4 y2 ? 1 ,试确定 m 的取值范围,使得对于直线 l:y ? 4 x ? m , 3

例 16 已知椭圆 C: ?

椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称. 分析:若设椭圆上 A , B 两点关于直线 l 对称,则已知条件等价于:(1)直线 AB ? l ; (2)弦 AB 的中点 M 在 l 上.利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围. 解: ( 法 1) 设椭圆上 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 两点关于直线 l 对称,直线 AB 与 l 交于

M ( x0 , y0 ) 点.
∵ l 的斜率 kl ? 4 , ∴设直线 AB 的方程为 y ? ?

1 x ? n. 4

1 ? y ? ? x ? n, ? ? 4 由方程组 ? 2 消去 y 得 2 ? x ? y ? 1, ? 3 ?4
13x 2 ? 8nx ? 16n 2 ? 48 ? 0
∴ x1 ? x2 ? ①

8n . 13 x ? x2 4 n 1 12 n ? 于是 x0 ? 1 , y0 ? ? x0 ? n ? , 2 13 4 13 4n 12 n , ). 即点 M 的坐标为 ( 13 13

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. ∵点 M 在直线 y ? 4 x ? m 上,∴ n ? 4 ? 解得 n ? ?

4n ? m. 13

13 m. 4
2


2

将式②代入式①得 13x ? 26mx ? 169m ? 48 ? 0



∵ A , B 是椭圆上的两点,∴ ? ? (26m)2 ? 4 ?13(169m2 ? 48) ? 0 . 解得 ?

2 13 2 13 . ?m? 13 13

13 4 13 m ,∴ x0 ? (? m) ? ?m , 4 13 4 1 13 1 13 y0 ? ? x0 ? m ? ? ? (?m) ? m ? ?3m ,即 M 点坐标为 (?m , ? 3m) . 4 4 4 4 ∵ A , B 为椭圆上的两点,∴ M 点在椭圆的内部,
(法 2)同解法 1 得出 n ? ? ∴

(?m) 2 (?3m) 2 ? ?1. 4 3

解得 ?

2 13 2 13 . ?m? 13 13

(法 3)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是椭圆上关于 l 对称的两点,直线 AB 与 l 的交点 M 的 坐标为 ( x0 , y0 ) . ∵ A , B 在椭圆上,∴

x1 y x y ? 1 ? 1, 2 ? 2 ? 1 . 4 3 4 3

2

2

2

2

两式相减得 3( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 , 即 3 ? 2 x0 ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 y0 ( y1 ? y2 ) ? 0 . ∴

3x y1 ? y2 ? ? 0 ( x1 ? x2 ) . x1 ? x2 4 y0 3x0 ? 4 ? ?1 , 4 y0

又∵直线 AB ? l ,∴ k AB ? kl ? ?1 ,∴ ? 即 y0 ? 3x0

① ②

又 M 点在直线 l 上,∴ y0 ? 4x0 ? m 由①,②得 M 点的坐标为 (?m , ? 3m) .

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩. 以下同解法 2. 说明:涉及椭圆上两点 A , B 关于直线 l 恒对称,求有关参数的取值范围问题,可以采 用以下方法列参数满足的不等式: (1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点,通过直线方程与椭圆方程组成的方程组,消元 后得到的一元二次方程的判别式 ? ? 0 ,建立参数方程. (2)利用弦 AB 的中点 M ( x0 , y0 ) 在椭圆内部,x0 ,y0 满足不等式

x0 y 将 x0 , ? 0 ? 1, a b

2

2

y0 利用参数表示,建立参数不等式.

典型例题十七
例 17 在面积为 1 的 ?PMN 中, tan M ? 以 M 、 N 为焦点且过 P 点的椭圆方程.

1 , tan N ? ?2 ,建立适当的坐标系,求出 2

分析: 本题考查用待定系数法求椭圆方程及适当坐标系的建立. 通过适当坐标系的建立, 选择相应椭圆方程,再待定系数.适当坐标系的建立能达到简化问题的目的. 解:以 MN 的中点为原点, MN 所在直线为 x 轴建立直角坐标系,设 P( x , y) .

? y ? x ? c ? ?2, ? 1 ? y ? , 则? ?x ?c 2 ?cy ? 1. ? ?

5 ? x? ? 3c ? ∴? ? y ? 4 c且c ? 3 ? 3 2 ?

4 ? 25 ? 2 ? 1, ? 2 15 2 ? 5 2 ?12a 3b ?a ? , , ) ,∴ ? 即 P( 得? 4 2 3 3 ?a 2 ? b 2 ? 3 , ?b 2 ? 3. ? ? 4 ?

4x2 y 2 ? ?1. ∴所求椭圆方程为 15 3
说明:适当坐标系的建立是处理好椭圆应用问题的关键.建立适当坐标系,需对题设所 给图形进行观察、分析,做好数与形的结合,本题也可以以 MN 的中点为原点, MN 所在 直线为 y 轴建立直角坐标系,再求椭圆方程.

欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

典型例题十八
x2 y2 ? ? 1 所截得的线段的中点, 求直线 l 的方程. 36 9

例 18 已知 P(4 , 2) 是直线 l 被椭圆

分析: 本题考查直线与椭圆的位置关系问题. 通常将直线方程与椭圆方程联立消去 y (或

x ),得到关于 x (或 y )的一元二次方程,再由根与系数的关系,直接求出 x1 ? x2 , x1 x2 (或
并不需要求出直线与椭圆的交点坐标, 这种 “设而不求” y1 ? y2 , y1 y2 )的值代入计算即得. 的方法,在解析几何中是经常采用的.本题涉及到直线被椭圆截得弦的中点问题,也可采用 点差法或中点坐标公式,运算会更为简便. 解: 方法一:设所求直线方程为 y ? 2 ? k ( x ? 4) . 代入椭圆方程,整理得

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8k (4k ? 2) x ? 4(4k ? 2)2 ? 36 ? 0



设 直 线 与 椭 圆 的 交 点 为 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 x1 、 x2 是 ① 的 两 根 , ∴

x1 ? x2 ?

8k (4k ? 2) 4k 2 ? 1

∵ P(4 , 2) 为 AB 中点,∴ 4 ?

x1 ? x2 4k (4k ? 2) 1 ? ,k ? ? . 2 2 4k ? 1 2

∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 方 法 二 : 设 直 线 与 椭 圆 交 点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . ∵ P(4 , 2) 为 AB 中 点 , ∴

x1 ? x2 ? 8 , y1 ? y2 ? 4 .又∵ A , B 在椭圆上,∴ x1 ? 4 y1 ? 36, x2 ? 4 y2 ? 36 两
式相减得 ( x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 ) ? 0 , 即 ( x1 ? x2 )(x1 ? x2 ) ? 4( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 0 . ∴
2 2 2 2

2

2

2

2

y1 ? y2 ? ( x1 ? x2 ) 1 ? ?? . x1 ? x2 4( y1 ? y2 ) 2

∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 方法三:设所求直线与椭圆的一个交点为 A( x , y) ,另一个交点 B(8 ? x , 4 ? y) . ∵ A 、 B 在椭圆上,∴ x ? 4 y ? 36
2 2



欢迎登录 100 测评网 www.100ceping.com 进行学习检测,有效提高学习成绩.

(8 ? x)2 ? 4(4 ? y)2 ? 36



从而 A , B 在方程①-②的图形 x ? 2 y ? 8 ? 0 上,而过 A 、 B 的直线只有一条, ∴所求直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 . 说明:直线与圆锥曲线的位置关系是高考重点考查的解析几何问题, “设而不求”的方 法 是 处 理 此 类 问 题 的 有 效 方 法 . 若 已 知 焦 点 是 (3 3 , 0) 、 (?3 3 , 0) 的 椭 圆 截 直 线

x ? 2 y ? 8 ? 0 所得弦中点的横坐标是 4,则如何求椭圆方程?

本卷由《100 测评网》整理上传,专注于中小学生学业检测、练习与提升.


相关文档

100测评网高二数学练习卷组合
100测评网高二数学练习卷直线的方程
100测评网高二数学练习卷圆的方程
100测评网高二数学练习卷曲线和方程
100测评网高二数学练习卷双曲线及标准方程
100测评网高二数学练习卷互斥事件
100测评网高二数学练习卷抛物线及标准方程
100测评网高二数学练习卷圆锥曲线练习卷
100测评网高二数学上学期练习题直线和圆的方程复习(1)
100测评网高二数学上学期练习题直线和圆的方程复习(二)
电脑版