2-1-2-2 第2课时 指数函数及其性质的应用


第2课时 指数函数及其性质的应用

自学导引 1.比较“同底数不同指数”幂( (1)构造相应指数函数 f(x)=ax(a>0 且 a≠1); (2)根据底 a 的取值判断 f(x)的单调性; (3)根据 f(x)的单调性比较 的大小. )的大小? 或 1 或 0; )的大小

想一想:如何比较“不同底数不同指数”幂( 提示 ①取中间量 C,中间量常取 ②把 ax1,bx2 与 C 进行大小比较.

题型一

利用指数函数的单调性比较大小

【例 1】 比较下列各组数的大小:
?3?- ?3?- ?1? 1.8 2.6 (1)?4? 与?4? ;(2)?3?0.3 与 ? ? ? ? ? ?

3-0.2;

[思路探索] 解答本题应注意底数是否相同,若不能化为同底, 可借助各值与“1”的大小关系来确定它们的大小.

? 3? 3 解 (1)因为 0< <1,所以函数 y=?4?x 在定义域 R 内是减函数, 4 ? ? ?3?- ? 3? - 1.8 又因为-1.8>-2.6,所以?4? <?4? 2.6. ? ? ? ? ?1? (2)因为?3?0.3=3-0.3,3>1, 所以函数 y=3x 在定义域 R 内是增函数. ? ?

又因为-0.3<-0.2,所以 3-0.3<3-0.2,
?1? 即?3?0.3<3-0.2. ? ?

?5? 5 (3)因为 0< <1, 所以函数 y=?8?x 在定义域 R 内是减函数, 又因 8 ? ?

2 为-3<0,所以 所以 >1;

?5? >?8?0=1, ? ?

(4)因为 0<0.6<1,所以函数 y=0.6x 在定义域 R 内是减函数,所
?4? 4 以 0.6 >0.6 =1,又因为3>1,所以函数 y=?3?x 在定义域 R 内 ? ?
-2

0

是增函数,所以

?4? <?3?0=1,所以 ? ?

0.6-2>

.

【变式 1】 比较大小:
?2?- ?2?- 1.2 (1)?3? 与?3? 2.2;(2)1.2-0.1 与 ? ? ? ?


1.2π;

(3)43 与 0.125 3;(4)0.80.7 与 1.20.8. 解
?2? (1)∵y=?3?x 在 ? ?

R 上为减函数,且-1.2>-2.2,

?2?- ? ? 1.2 2 -2.2 ∴?3? <?3? ; ? ? ? ?

(2)∵y=1.2x 在 R 上为增函数,且-0.1<π. ∴1.2-0.1<1.2π;

(3)∵4 =2 0.125

3

6,

-3

?1?- =?8? 3=(2-3)-3=29, ? ?

而 26<29,∴43<0.125-3; (4) ∵ y = 0.8x 在 R 上为减函数,且 0.7>0 ,∴ 0.80.7<0.80 ,即 0.80.7<1,又∵y=1.2x 在 R 上为增函数,且 0.8>0. ∴1.20.8>1.20,即 1.20.8>1,∴0.80.7<1.20.8.

题型二 【例 2】 判断 f(x)=

指数型函数的单调性 的单调性,并求其值域.

[思路探索] 先利用复合函数单调性判断 f(x)的单调性,再利用 单调性求值域. 解 令 u=x -2x,则原函数变为
2

?1? y=?3?u. ? ?

∵u=x2-2x=(x-1)2-1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递 增,
?1? 又∵y=?3?u 在(-∞,+∞)上递减, ? ?

∴y=

在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减.

∵u=x2-2x=(x-1)2-1≥-1,
?1? ∴y=?3?u,u∈[-1,+∞), ? ? ?1? ?1?- u ∴0<?3? ≤?3? 1=3,∴原函数的值域为(0,3]. ? ? ? ?

2.关于形如 y=af(x)(a>0,且 a≠1)函数的性质 (1)函数 y=af(x)与函数 y=f(x)有相同 的定义域. (2)函数 y=af(x)的值域的确定;可先确定函数 y=f(x)的 值域 , 再由指数函数的值域、单调性确定. (3)当 a>1 时,函数 y=af(x)与 y=f(x)具有相同 的单调性;当 0<a<1 时,函数 y=af(x)与函数 y=f(x)的单调性相反 .

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规律方法

1.关于指数型函数 y=af(x)(a>0, 且 a≠1)的单调性由

两点决定,一是底数 a>1 还是 0<a<1;二是 f(x)的单调性,它 由两个函数 y=au,u=f(x)复合而成. 2.求复合函数的单调区间,首先求出函数的定义域,然后把函 数分解成 y=f(u),u=φ(x),通过考查 f(u)和 φ(x)的单调性,求 出 y=f[φ(x)]的单调性.

【变式 2】 求函数 y= 解 设
?1? 1 t ? ? y= 2 ,t ( x) = . x-1 ? ?

的单调区间.

∵x∈(-∞,1)或 x∈(1,+∞), ∴t(x)在(-∞,1)及(1,+∞)上为减函数, 又
?1? y=?2?t 为减函数, ? ?

∴y=

在(-∞,1)与(1,+∞)上为增函数,

∴增区间为(-∞,1),(1,+∞).

题型三

指数函数的最值问题

【例 3】 (12 分)(1)函数 f(x)=ax(a>0,且 a≠1)在区间[1,2]上的 a 最大值比最小值大2,求 a 的值; (2)如果函数 y=a2x+2ax-1(a>0 且 a≠1)在[-1,1]上有最大值 14,试求 a 的值. 审题指导 对指数函数的底数 a 分类讨论, 利用函数单调性求最 值.

[规范解答] (1)①若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增, 最大值为 a2,最小值为 a. a 3 ∴a -a=2,即 a=2或 a=0(舍去).(3 分)
2

②若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减, 最大值为 a,最小值为 a2. a 1 ∴a-a =2,即 a=2或 a=0(舍去),
2

1 3 综上所述,所求 a 的值为2或2.(6 分)

(2)设 t=ax,则原函数可化为 y=(t+1)2-2, 对称轴为 t=-1. ①若 a>1,∵x∈[-1,1], 1 ∵t=a 在[-1,1]上递增,∴0<a≤t≤a;
x

∴y=(t+1) -2 当

2

?1 ? t∈?a,a?时递增. ? ?

故当 t=a 时,ymax=a2+2a-1. 由 a2+2a-1=14, 解得 a=3 或 a=-5(舍去,∵a>1).(9 分)

②若 0<a<1,t=a

x

? 1? 在[-1,1]上递减,t∈?a,a?, ? ?

ymax=a-2+2a-1-1=14, 1 1 解得 a=3或 a=-5(舍去). 1 综上,可得 a=3或 3.(12 分)

【题后反思】 指数函数 y=ax(a>1)为单调增函数,在闭区间[s, t]上存在最大、最小值,当 x=s 时,函数有最小值 as;当 x=t 时,函数有最大值 at.指数函数 y=ax(0<a<1)为单调减函数,在 闭区间[s,t]上存在最大、最小值,当 x=s 时,函数有最大值 as;当 x=t 时,函数有最小值 at.

【变式 3】 (1)函数 f(x)=ax(a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值 与最小值之和为 6,求 a 的值; (2)0≤x≤2,求函数 y= 解 -3· 2x+5 的最大值和最小值.

(1)∵f(x)=ax 在[1,2]上是单调函数,

∴f(x)在 1 或 2 时取得最值. ∴a+a2=6,解得 a=2 或 a=-3,∵a>0,∴a=2.

1 2x 1 2x x (2)y=2· 2 -3· 2 +5=2(2 -6· 2x)+5 1 x 1 2 = (2 -3) + . 2 2 1 ∵x∈[0,2],1≤2 ≤4,∴当 2 =3 时,y 最小值=2,
x x

5 当 2 =1 时,y 最大值=2.
x

误区警示 因忽略换元后新变量的取值范围而出错 【示例】 求函数 y=9x+2· 3x-2 的值域. [错解] 设 3x=t,则 9x=t2,∴y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∴ymin=-3,从而 y=9x+2· 3x-2 的值域为[-3,+∞). 若 y=-3,则 9x+2· 3x=-1,显然不成立.错因在 于没有注意 t=3x>0 这一隐含条件,在利用换元法时,一定要 注意换元后新变量的取值范围.

[正解] 设 3x=t(t>0),则 y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∵当 t=0 时,y=-2,∴y=9x+2· 3x-2 的值域为(-2,+∞). 指数函数 y=ax(a>0, 且 a≠1)的值域是(0, +∞), 在 利用换元法解题时,若假设 t=ax,则 t>0,一定要注意换元后 新变量的范围.


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