2012届高考数学复习方案配套测试题8

试卷类型:A

2012 届高三原创月考试题五数 学

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考生作答时,将答案答在

答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

注意事项:

1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上

的姓名、准考证号,并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.

2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;

非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.

3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.

4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.

5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的

题号涂黑.

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1.[2011·浙江卷] 把复数 z 的共轭复数记作 z ,i 为虚数单位.若 z=1+i,则(1+z)· z

=( ) A.3-i

B.3+i

C.1+3i

D.3

2

已知集合 U=R,集合 A ? {x | y ?

1

?

1 x

},



?U

A

等于(



A {x | 0 ? x ? 1} B {x | x ? 0或x ? 1}

C {x | x ? 1}

D {x | x ? 0}

3.[2011·天津卷] 阅读右面的程序框图,运行相应的程序,则输出 i 的值 为( )

A.3

B.4

C.5

D.6

4. [2011·天津卷] 设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+y2≥4”的( )

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.即不充分也不必要条件

5. (理)[2011·浙江卷] 有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本, 若

将其随机的并排摆放到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )

A.15

B.25

C.35

D.45

?x ? y ? 3

(文)设变量

x,

y

满足约束条件

? ?

x

?

y

?

?1,

则目标函数

z

?

2x

?

3y

的最小值为(



??2x ? y ? 3

A.7

B.8

C.10

D.23

6.设

表示三条直线,

表示两个平面,则下列命题中不正确 的 是 (



A

c ?

? //

? ?

? ? ?

?

c

?

?

B

b // c ?

C

b

?

?

? ?

?

c

//

?

c ? ? ??

D

a b

//? ? ? a??

?

b

?

?

7. [2011·山东卷] 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:

广告费用 x(万元)

4

2

3

5

销售额 y(万元)

49 26 39 54

根据上表可得回归方程y^=b^x+a^中的b^为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销售

额为( )

A.63.6 万元

B.65.5 万元

C.67.7 万元

D.72.0 万元

8.[2011·山东卷] 函数 y=x2-2sinx 的图象大致是(

)

9 . [2011· 丹 东 四 校 联 考 ] 已 知 数 列 { an } 满 足 l o g3 an ? 1? l o3gan? 1 n ?( N* ,) 且

a2 ? a 4 ? a 6? 9 ,则 log1 (a5 ? a7 ? a9 ) 的值是( )
3

A. ? 1 5

B. ?5

C.5

D. 1 5

10.[2011·课标全国卷] 设函数 f(x)=sin(ω x+φ )+cos(ω x+φ )???ω >0,|φ |<π2 ???的

最小正周期为 π ,且 f(-x)=f(x),则( )

A.f(x)在???0,π2 ???单调递减 B.f(x)在???π4 ,3π4 ???单调递减 C.f(x)在???0,π2 ???单调递

增 D.f(x)在???π4 ,3π4 ???单调递增

11.将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n ,则函数 y ? 2 mx3 ? nx ?1 在?1, ???
3

上为增函数的概率是( )

A. 1 2

B. 2 3

C. 3 4

D. 5 6

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卷相应位置上) 13.(理)[2011·天津卷] 一支田径队有男运动员 48 人,女运动员 36 人,若用分层抽样的
方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为 21 的样本,则抽取男运动员的人数为 ________. (文)[2011·皖南八校二模]某班级有 50 名学生,现要采取系统抽样的方法在这 50

名学生中抽出 10 名学生,将这 50 名学生随机编号 1—50 号,并分组,第一组 1—5

号,第二组 6—10 号,……,第十组 46—50 号,若在第三组中抽得号码为 12 的学生,

则在第八组中抽得号码为

的学生.

14.某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形,侧视图是半径为 1 的半圆,

则该几何体的表面积是

.

15.[2011·课标全国卷] 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1, F2 在 x 轴上,离心率为 22.过 F1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,且△ABF2 的周长为 16,那么 C 的方程为________________.
16.[2011·福建卷] 设 V 是全体平面向量构成的集合,若映射 f:V→R 满足:对任意向量 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意 λ ∈R,均有 f(λ a+(1-λ )b)=λ f(a) +(1-λ )f(b). 则称映射 f 具有性质 P. 现给出如下映射: ①f1:V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V;②f2:V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3:V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质 P 的映射的序号为________.(写出所有具有性质 P 的映射的序号)
三、解答题(本大题共 6 小题,满分 74 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤)
17. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 △ ABC 中 , A, B,C 的 对 边 分 别 是 a,b, c , 且 满 足
(2a ? c) cos B ? bcosC .
(1)求 B ;
(2)设 m ? (sin A, cos 2A), n ? (4k,1), (k ? 1),且 m ? n 的最大值是 5,求 k 的值.
18.(本小题满分 12 分)(理)[2011·江西八校联考]设不等式 x2 ? y2 ? 4 确定的平面区域
为U , x ? y ? 1确定的平面区域为V .
(1)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”,在区域U 内任取 3 个整点,求这些整 点中恰有 2 个整点在区域V 的概率; (2)在区域U 内任取 3 个点,记这 3 个点在区域V 的个数为 X ,求 X 的分布列和数
学期望.
(文)( [2011·皖南八校二次模拟]已知向量 a ? (x, y), b ? (1, ?2) ,从 6 张大小相
同、分别标有号码 1、2、3、4、5、6 的卡片有放回地抽取两张,x、y 分别表示第一
次、第二次抽取的卡片上的号码.
(1)求满足 a ? b ? ?1的概率; (2)求满足 a ?b ? 0 的概率. 19. (本小题满分 12 分)(理)[2011·山东卷] 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 为平 行四边形,∠ACB=90°,EA⊥平面 ABCD,EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,AB=2EF. (1)若 M 是线段 AD 的中点,求证:GM∥平面 ABFE; (2)若 AC=BC=2AE,求二面角 A-BF-C 的大小.

(文)[2011·江西八校联考] 已知直角梯形 ABCD 中, AB // CD , AB ? BC, AB ? 1, BC ? 2,CD ? 1? 3, 过 A 作
AE ? CD ,垂足为 E , G、F分别 为AD、CE 的中点,现将△ ADE 沿 AE 折叠,使得 DE ? EC .
(1)求证: FG // 面BCD ; (2)设四棱锥 D-ABCE 的体积为 V,其外接球体积为V / ,求V ?V ? 的值.

D

D

E ·F C



G

F

E

C

A

B

A

B

20.(本小题满分 12 分)[2011·浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a ∈R).设数列的前 n 项和为 Sn,且a11,a12,a14成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式及 Sn; (2)记 An=S11+S12+S13+…+S1n,Bn=a11+a12+a122+…+a21n-1.当 n≥2 时,试比较 An 与 Bn
的大小.

21. (本小题满分 12 分)[2011·江苏徐州一调]据环保部门测定,某处的污染指数与附近

污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为 k (k ? 0) .现已知

相距 18 km 的 A,B 两家化工厂(污染源)的污染强度分别为 a,b ,它们连线上任意一

点 C 处的污染指数 y 等于两化工厂对该处的污染指数之和.设 AC ? x ( km ).

(1)试将 y 表示为 x 的函数;

(2)若 a ?1,且 x ? 6 时, y 取得最小值,试求 b 的值.
22.(本小题满分 14 分)[2011·辽宁卷] 如图,已知椭圆 C1 的中心在原点 O,长轴左、右 端点 M,N 在 x 轴上,椭圆 C2 的短轴为 MN,且 C1,C2 的离心率都为 e,直线 l⊥MN,l 与 C1 交于两点,与 C2 交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次为 A,B,C,D. (1)设 e=12,求|BC|与|AD|的比值;(2)当 e 变化时,是否存在直线 l,使得 BO∥AN,
并说明理由.

试卷类型:A

2012 届高三原创月考试题五参考答案

数学

1. 【答案】A

【解析】∵z=1+i,∴ z =1-i,∴(1+z)· z =(2+i)(1-i)=3-i.

2. 【答案】 A

? ? 【解析】求函数 y ? 1 ? 1 的定义域得 A ? x x ? 1或x ? 0 ,求出 A 的补集即可. x
3. 【答案】B 【解析】i=1 时,a=1×1+1=2; i=2 时,a=2×2+1=5; i=3 时,a=3×5+1=16; i=4 时,a=4×16+1=65>50,∴输出 i=4,故选 B.
4.【答案】A 【解析】当 x≥2 且 y≥2 时,一定有 x2+y2≥4;反过来当 x2+y2≥4,不一定有 x≥2 且 y≥2,例如 x=-4,y=0 也可以,故选 A.
5. (理)【答案】B 【解析】由古典概型的概率公式得 P=1-2A22A22A23A+55 A33A22A22=25.
(文)【答案】A
6. 【答案】D

【解析】由 a ?,b ? a可得的位置关系有:b ?,b ? ?,b与?相交不一定垂直,

所以 D 不正确.

7. 【答案】B

【解析】

x

4+2+3+5 = 4 =3.5,

y

49+26+39+54



4

=42,由于回归方程过点(

x



y ),所以 42=9.4×3.5+a^,解得a^=9.1,故回归方程为y^ =9.4x+9.1,所以当 x

=6 时,y=6×9.4+9.1=65.5.

8. 【答案】C

【解析】由 f(-x)=-f(x)知函数 f(x)为奇函数,所以排除 A;又 f′(x)=12-2cosx,

当 x 在 x 轴右侧,趋向 0 时,f′(x)<0,所以函数 f(x)在 x 轴右边接近原点处为减函

数,当 x=2π

时,f′(2π

1 )=2-2cos2π

3 =-2<0,所以

x=2π

应在函数的减区间

上,所以选 C.

9.【答案】B

【 解 析 】 由 题 可 知 数 列 { an } 为 等 比 数 列 且 公 比 q ? 3 , 因 为 a2 ? a4 ? a6 ? 9 , 故

a2 (1? q2 ? q4 ) ? 9 , 所 以 a5 ? a7 ? a9= a5 (1? q2 ? q4 ) ? a2q3 (1? q2 ? q4 ) ? 35 , 故
l o g1 a( 5? a 7? a 9=)-5.
3
10.【答案】A
【解析】原式可化简为 f(x)= 2sin???ω x+φ +π4 ???,因为 f(x)的最小正周期 T=2ωπ =
π,
所以 ω =2,所以 f(x)= 2sin???2x+φ +π4 ???, 又因为 f(-x)=f(x),所以函数 f(x)为偶函数,所以 f(x)= 2sin???2x+φ +π4 ???=± 2 cos2x, 所以 φ +π4 =π2 +kπ ,k∈Z,所以 φ =π4 +kπ ,k∈Z,
又因为|φ |<π2 ,所以 φ =π4 ,所以 f(x)= 2sin???2x+π2 ???= 2cos2x,
所以 f(x)= 2cos2x 在区间???0,π2 ???上单调递减.
11. 【答案】 D
【 解 析 】 要 使 函 数 y ? 2 m 3x ? n x?1 在 ?1, ??? 上 为 增 函 数 , 则 需 满 足
3
y? ? 2mx 2 ? n ? 0恒成立,即 n ? 2mx 2在?1,???上恒成立,? n ? 2m ,本题转化
为:将一骰子抛掷两次,所得向上的点数分别为 m 和 n ,求 n ? 2m的概率,故选 D.
12. 【答案】B
【解析】由图可知 a>0.当 m=1,n=1 时,f(x)=ax(1-x)的图象关于直线 x=12对称, 所以 A 不可能;
当 m=1,n=2 时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x), f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(3x-1)(x-1), 所以 f(x)的极大值点应为 x=13<0.5,由图可知 B 可能. 当 m=2,n=1 时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3), f′(x)=a(2x-3x2)=-ax(3x-2), 所以 f(x)的极大值点为 x=23>0.5,所以 C 不可能; 当 m=3,n=1 时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4),

f′(x)=a(3x2-4x3)=-ax2(4x-3), 所以 f(x)的极大值点为 x=34>0.5,所以 D 不可能,故选 B. 13. (理) 【答案】12 【解析】设抽取男运动员人数为 n,则4n8=482+136,解之得 n=12. (文)【答案】 37 【解析】组距为 5,(8-3)?5 +12=37. 14. 【答案】 2(π ? 3)
【解析】此图形的表面积分为两部分:底面积即俯视图的面积为: 2 3 ,侧面为一个完
整的圆锥的侧面,母线长为 2,底面半径为 1,所以侧面积为 2? ,两部分加起来即为
2(π ? 3) .
又△ABF2 的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=(|AF1|+ |AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a,所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2,所以椭
x2 y2 圆方程为16+ 8 =1.
16. 【答案】①③ 【解析】设 a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则 λ a+(1-λ )b=λ (x1,y1)+(1-λ )(x2,y2)=(λ x1+(1-λ )x2,λ y1+(1-λ )y2), ①f1(λ a+(1-λ )b)=λ x1+(1-λ )x2-[λ y1+(1-λ )y2] =λ (x1-y1)+(1-λ )(x2-y2)=λ f1(a)+(1-λ )f1(b), ∴映射 f1 具有性质 P; ②f2(λ a+(1-λ )b)=[λ x1+(1-λ )x2]2+[λ y1+(1-λ )y2], λ f2(a)+(1-λ )f2(b)=λ (x21 +y1 ) + (1-λ )(x22 + y2 ), ∴f2(λ a+(1-λ )b)≠λ f2(a)+(1-λ )f2(b), ∴ 映射 f2 不具有性质 P; ③f3(λ a+(1-λ )b)=λ x1+(1-λ )x2+(λ y1+(1-λ )y2)+1 =λ (x1+y1+1)+(1-λ )(x2+y2+1)=λ f3(a)+(1-λ )f3(b), ∴ 映射 f3 具有性质 P. 故具有性质 P 的映射的序号为①③.

17.解:(1) (2a ? c) cosB ? b cosC ,?(2sin A ? sin C) cosB ? sin B cosC ,

即 2sin AcosB ? sin B cosC ? sin C cosB ? sin(B ? C) .

A ? B ? C ? π,?2sin Acos B ? sin A. 0 ? A ? π,?sin A ? 0,?cos B ? 1 . . 2
0 ? B ? π,? B ? π . 3
(2) m ? n ? 4k sin A ? cos 2A ? ?2sin2 A ? 4k sin A ?1, A?(0, 2π) , 3
设 sin A ? t, 则 t ? ?0,1?. m ? n ? ?2t2 ? 4kt ?1 ? ?2(t ? k)2 ?1? 2k 2 , t ? ?0,1?.

Qk

? 1,?当 t

? 1时, m ? n 取最大值.依题意得, (m ? n)max

?

?2 ? 4k

?1,? k

?

3 2

.

18 . ( 理 ) 解 : ( 1 ) 依 题 可 知 平 面 区 域 U 的 整 点 为

?0,0?,?0,?1?,?0,?2?,??1,0?,??2,0?,??1,?1?共有 13 个,

平面区域V 的整点为 ?0,0?,?0, ?1?,??1,0? 共有 5 个,

∴P?

C52 .C18 C133

? 40 . 143

(2)依题可得:平面区域 U 的面积为: π ? 22 ? 4π ,平面区域 V 的面积为:
1?2?2 ? 2. 2
在区域U 内任取 1 个点,则该点在区域V 内的概率为 2 ? 1 , 4π 2π
易知: X 的可能取值为 0,1,2,3 ,


P( X

?

0)

?

C30

?

? ??

1 2?

?0 ??

? ???1 ?

1 2π

?3 ??

?

?

2π ?1?3
8π3

,P(

X

? 1)

? C13

?

? ??

1 2π

?1 ??

?

???1

?

1 ?2 2π ??

?

3?2π ?1?2
8π3



P( X

?

2)

?

C32

?

? ??

1

2
?

2π ??

? ???1 ?

1 2π

1
? ? ?

?

3

?

2π ? 8π3

1?

,P(

X

? 3)

?

C33

?

? ??

1

3
?

2π ??

? ???1 ?

1

0
?

2π ??

?

1 8π3



∴ X 的分布列为:

X

0

1

2

3

P

?2π ?1?3 3?2π ?1?2 3?2π ?1?

1

8π3

8π3

8π3

8π 3

X

的数学期望

EX

?

0?

?2π ?1?3
8π3

?1?

3?2π ?1?2
8π3

? 2?

3?2π ?1?
8π3

? 3?

1 8π3

=

3 2π



(或者: X ~ B(3, 1 ) ,故 EX ? np=3? 1 ? 3 )



2π 2π

(文)解:(1)设(x,y)表示一个基本事件,则两次抽取卡片的所有基本事件有(1,1)、

(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、(2,2)、 …、(6,5)、(6,6),共 36

个.

用 A 表示事件“ a b ? ?1”,即 x ? 2y ? ?1,则A包含的基本事件有(1,1)、

P(A) ? 3 ? 1

(3,2)、(5,3),共 3 个,

36 12 .

(2)a ? b ? 0即x ? 2 y ? 0, 在(1)中的 36 个基本事件中,满足 x ? 2 y ? 0 的事件有(3,
1)、(4,1)、(5、1)、(6,1)、(5,2)、(6、2)共 6 个,所以 P(B)= 6 ? 1 . 36 6
19.(理)解:(1)证法一: 因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以△ABC∽△EFG,∠EGF=90°. 由于 AB=2EF,因此 BC=2FG,连接 AF, 由于 FG∥BC,FG=12BC,在平行四边形 ABCD 中,M 是线段 AD 的中点, 则 AM∥BC 且 AM=12BC,因此 FG∥AM 且 FG=AM,所以四边形 AFGM 为平行四边形,因此
GM∥FA, 又 FA? 平面 ABFE,GM?平面 ABFE,所以 GM∥平面 ABFE. 证法二: 因为 EF∥AB,FG∥BC,EG∥AC,∠ACB=90°,所以△ABC∽△EFG,∠EGF=90°. 由于 AB=2EF,所以 BC=2FG, 取 BC 的中点 N,连接 GN,

图1 因此四边形 BNGF 为平行四边形,所以 GN∥FB. 在平行四边形 ABCD 中,M 是线段 AD 的中点,连接 MN.则 MN∥AB. 因为 MN∩GN=N,所以平面 GMN∥平面 ABFE, 又 GM? 平面 GMN,所以 GM∥平面 ABFE. (2)解法一: 因为∠ACB=90°,所以∠CAD=90°,又 EA⊥平面 ABCD,所以 AC、AD、AE 两两垂直.

图2 分别以 AC、AD、AE 所在直线为 x 轴,y 轴和 z 轴,建立如图 2 所示的空间直角坐标系, 不妨设 AC=BC=2AE=2,则由题意得 A(0,0,0),B(2,-2,0),C(2,0,0),E(0,0,1), 所以→AB=(2,-2,0),→BC=(0,2,0), 又 EF=12AB,所以 F(1,-1,1),B→F=(-1,1,1).

设平面

BFC

的法向量为

m=(x1,y1,z1),则

m·→BC=0,m·→BF=0,所以???y1=0, ??x1=z1,

取 z1=1 得 x1=1.所以 m=(1,0,1).

设平面 ABF 的法向量为 n=(x2,y2,z2),则 n·→AB=0,n·→BF=0,

所以?????xz22==y02,, 取 y2=1,得 x2=1,则 n=(1,1,0),所以 cos〈m,n〉=|mm·||nn|=12.

因此二面角 A-BF-C 的大小为 60°.

解法二:

由题意知,平面 ABFE⊥平面 ABCD,取 AB 的中点 H,连接 CH.

图3 因为 AC=BC,所以 CH⊥AB, 则 CH⊥平面 ABFE,过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R,连接 CR,则 CR⊥BF, 所以∠HRC 为二面角 A-BF-C 的平面角. 由题意,不妨设 AC=BC=2AE=2.在直角梯形 ABFE 中,连接 FH,则 FH⊥AB,又 AB=2 2, 所以 HF=AE=1,BH= 2,因此在 Rt△BHF 中,HR= 36,由于 CH=12AB= 2, 所以在 Rt△CHR 中,tan∠HRC= 2= 3.因此二面角 A-BF-C 的大小为 60°.
6 3
( 文 ) 解 : ( 1 ) 证 明 : 取 AB 中 点 H , 连 结
GH , FH ,?GH BD, FH BC,?GH 面BCD, FH 面BCD ,
?面FHG 面BCD,?GF 面BCD.

? ? (2)V = 1 ? 2?1? 3= 2 3.又外接球半径R ? 1 12 ? 22 ?

2
3 ? 2,

3

3

2

?V ?= 4 π 2 2= 8 2 π,?V ?V ? ? 6 .

3

3



20. 解: (1)设等差数列{an}的公差为 d,由???a12???2=a11·a14,

得(a1+d)2=a1(a1+3d).因为 d≠0,所以 d=a1=a,所以 an=na,Sn=an

n+ 2

.

(2)因为S1n=2a???1n-n+1 1???,所以 An=S11+S12+S13+…+S1n=2a???1-n+1 1???. 因为 a2n-1=2n-1a,所以 Bn=a11+a12+a122+…+a21n-1=1a·1-1-???1221???n2a???1-21n???.



n≥2

时,2n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn>n+1,即

1

1

1-n+1<1-2n,

所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn.

21.解:(1)设点 C 受 A 污染源污染程度为 ka ,点 C 受 B 污染源污染程度为 kb ,其

x2

(18 ? x)2

中 k 为比例系数,且 k ? 0 .

从而点 C 处污染指数 y ? ka ? kb . x2 (18 ? x)2

(2)因为 a

? 1 ,所以,y

?

k x2

?

kb (18 ? x)2

,y'

?

?2 k[ x3

?

2b (18 ? x)3

]

,令

y'

?

0 ,得

x

? 18 1? 3

b



又此时 x ? 6 ,解得 b ? 8 ,经验证符合题意.

所以,污染源 B 的污染强度 b 的值为 8.

22.解:(1)因为 C1,C2 的离心率相同,故依题意可设 C1:xa22+yb22=1,C2:ba2y4 2+xa22=1,(a

>b>0).

设直线 l:x=t(|t|<a),分别与 C1,C2 的方程联立,求得 A???t,ab a2-t2???,B???t,ba a2-t2???.

当 e=12时,b= 23a,分别用 yA,yB 表示 A,B 的纵坐标,可知|BC|∶|AD|=22||yyBA||=ba22=

34.

(2)t=0 时的 l 不符合题意,t≠0 时,BO∥AN 当且仅当 BO 的斜率 kBO 与 AN 的斜率 kAN

相等,即

b a

a2-t2

a b

a2-t2

t = t-a ,

解得 t=-a2a-b2b2=-1-e2e2·a.

因为|t|<a,又 0<e<1,所以1-e2e2<1,解得 22<e<1.

所以当 0<e≤ 22时,不存在直线 l,使得 BO∥AN;

当 22<e<1 时,存在直线 l,使得 BO∥AN.


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