重庆市渝中区巴蜀中学2015届高三上学期第一次模拟数学(文)试卷

重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学一模试卷(文科)
一.选择题 1.已知集合 A={x|x﹣1>0},B={x||x﹣1|≤2},则 A∩B=( A.{x|x≥1} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|x≤3}

) D.{x|1<x≤3}

2.一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初 级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中 抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12, 5 D.8,16,10,6 3.已知 x,y∈R,则“x?y>0”是“x>0 且 y>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( A.y=2 ﹣1 C.y=﹣(x﹣1)
2 x

)

B.y= D.y=log (x﹣1)

5.如图,若一个空间几何体的三视图中,直角三角形的直角边长均为 1,则该几何体的体 积为( )

A.

B.

C .1

D.

6.执行如图的程序框图,输出的 T=(

)

A.30

B.25

C.20

D.12

7.在等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+a3+…+a8=40,则 a4?a5 的最大值是( ) A.5 B.10 C.25 D.AB=4,50

8. 双曲线 C:

=1 (a>0, b>0) 的离心率为

, 双曲线 C 的渐近线与抛物线 y =2px )

2

(p>0)交于 A,B 两点,△ OAB(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y =8x
2

B.y =4x

2

C.y =2x

2

D.

9.已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)<f′(x) ,且 f(0) =2,则不等式 A. (﹣∞,0) 的解集为( B. (0,+∞) ) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞)

10. 如图, O 为△ ABC 的外心, AB=4, AC=2, ∠BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点, 则 的值( )

A.

B.12

C .6

D.5

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分.) 11.设复数 z 的共轭复数为 ,若(1﹣i) =__________.

12.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共 汽车的概率为__________. 13.已知 ,tan(α﹣β)= ,则 tanβ=__________.

14.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣b) =r (b>0) ,圆心在抛物线 y =4x 上,经过点 A(3,0) , 且与抛物线的准线相切,则圆 C 的方程为__________.

2

2

2

2

15. 已知函数 f (x) = 的取值范围是__________.

若 a<b<c, 且f (a) =f (b) =f (c) , 则 3ab+

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分) 16.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)记 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< 且图象上一个最低点为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的最值. .

)的周期为 π,

18.为丰富课余生活,某班开展了一次有奖知识竞赛,在竞赛后把成绩(满分为 100 分,分 数均为整数)进行统计,制成该频率分布表: 序号 组(段) 频数(人数) 频率 1 [0,60) a 0.1 2 [60,75) 15 0.3 3 [75,90) 25 b 4 [90,] c d 合计 50 1 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若得分在[90,100]之间的有机会得一等奖,已知其中男女比例为 2:3,如果一等奖 只有两名,写出所有可能的结果,并求获得一等奖的全部为女生的概率.

19.好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为 6 元,每个售价为 x(6<x<11)元,该蛋糕年销售 量为 m 万个,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销售量为 28

万个. (1)求该蛋糕年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,该蛋糕的年利润最大,并求出最大年利润. 20.已知在如图的多面体中,AE⊥底面 BEFC,AD∥EF∥BC,CF=BE=AD=EF= BC=2, AE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF; (3)求此多面体 ABCDEF 的体积.

21.已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1MN 的内切圆的面积是否存在最 大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由.

重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学一模试卷 (文科)
一.选择题 1.已知集合 A={x|x﹣1>0},B={x||x﹣1|≤2},则 A∩B=( A.{x|x≥1} B.{x|﹣1≤x≤3} C.{x|x≤3}

) D.{x|1<x≤3}

考点:交集及其运算. 专题:集合. 分析:求解一次不等式及绝对值的不等式化简集合 A,B,然后直接取交集得答案. 解答: 解:∵A={x|x﹣1>0}={x|x>1}, B={x||x﹣1|≤2}={x|﹣2≤x﹣1≤2}={x|﹣1≤x≤3},

则 A∩B={x|1<x≤3}. 故选:D. 点评:本题考查了交集及其运算,考查了绝对值不等式的解法,是基础题. 2.一个单位有职工 800 人,期中具有高级职称的 160 人,具有中级职称的 320 人,具有初 级职称的 200 人,其余人员 120 人.为了解职工收入情况,决定采用分层抽样的方法,从中 抽取容量为 40 的样本.则从上述各层中依次抽取的人数分别是( ) A.12,24,15,9 B.9,12,12,7 C.8,15,12,5 D.8,16,10,6 考点:分层抽样方法. 分析:先求得比例,然后各层的总人数乘上这个比例,即得到样本中各层的人数. 解答: 解:因为 =6, 故选 D. 点评:本题主要考查分层抽样方法. 3.已知 x,y∈R,则“x?y>0”是“x>0 且 y>0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ) = ,故各层中依次抽取的人数分别是 =8, =16, =10,

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:简易逻辑. 分析:我们可先判断 x?y>0”时,x>0 且 y>0 是否成立,再判断 x>0 且 y>0 时,x?y>0” 是否成立,再根据充要条件的定义即可得到结论. 解答: 解:若 x?y>0”时,如 x=﹣1,y=﹣1, 则 x?y>0,即 x>0 且 y>0 不成立, 故命题:x?y>0”?命题乙:x>0 且 y>0 为假命题; 若 x>0 且 y>0 成立,则 x?y>0 一定成立, 即?x?y>0 为真命题 故命题 x>0 且 y>0 成立?命题 x?y>0 也为真命题 故“x?y>0”是“x>0 且 y>0”的必要不充分条件 故选:B 点评:本题考查的知识点是充要条件的定义,我们先判断 p?q 与 q?p 的真假,再根据充要 条件的定义给出结论是解答本题的关键. 4.下列函数中,在区间(1,+∞)上为增函数的是( A.y=2 ﹣1
2 x

)

B.y= (x﹣1)

C.y=﹣(x﹣1) D.y=log

考点:对数函数的单调性与特殊点.

专题:函数的性质及应用. 分析:逐一判断各个选项中函数的单调性,从而得出结论. 解答: 解:在区间(1,+∞)上,y=2 ﹣1 是增函数,y= 是函数,y=log (x﹣1)是减函数,
x

是减函数,y=﹣(x﹣1)

2

故只有 A 满足条件, 故选:A. 点评:本题主要考查函数的单调性的判断,属于基础题. 5.如图,若一个空间几何体的三视图中,直角三角形的直角边长均为 1,则该几何体的体 积为( )

A.

B.

C .1

D.

考点:由三视图求面积、体积. 专题:计算题. 分析:由三视图还原出实物图的结构特征及数据,由三视图可以看出此物体是一个四棱锥, 根据相关的体积公式求出其体积. 解答: 解: 由三视图知, 此几何体是一个有一个侧枝垂直于底面且底面是边长为 1 的正方 形,其高也为 1 故该几何体的体积为 =

故选 B 点评:本题考点由三视图求面积、体积,考查由三视图复原几何体的形状与数据的能力,重 点考查了三视图的作图规则与空间想像能力以及相关几何体的体积公式. 6.执行如图的程序框图,输出的 T=( )

A.30

B.25

C.20

D.12

考点:循环结构. 专题:算法和程序框图. 分析:执行程序框图,依次写出每次循环得到的 S,T,n 的值,当 S=25,T=30 时,满足条 件 T>S,输出 T 的值为 30. 解答: 解:执行程序框图,有 S=0,T=0,n=0 不满足条件 T>S,S=5,n=2,T=2 不满足条件 T>S,S=10,n=4,T=6 不满足条件 T>S,S=15,n=6,T=12 不满足条件 T>S,S=20,n=8,T=20 不满足条件 T>S,S=25,n=10,T=30 满足条件 T>S,输出 T 的值为 30. 故选:A. 点评:本题主要考查了程序框图和算法,属于基本知识的考查. 7.在等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+a3+…+a8=40,则 a4?a5 的最大值是( A.5 B.10 C.25 D.AB=4,50 )

考点:基本不等式在最值问题中的应用;等差数列的性质. 专题:计算题;等差数列与等比数列;不等式的解法及应用. 分析:利用等差数列的性质,可得 a4+a5=10,再利用基本不等式,即可求出 a4?a5 的最大值. 解答: 解:∵等差数列{an}中 an>0,且 a1+a2+a3+…+a8=40, ∴a4+a5=10, ∴10=a4+a5≥2 ∴a4?a5≤25,

∴a4?a5 的最大值是 25, 故选:C. 点评:本题考查等差数列的性质,考查基本不等式,正确运用等差数列的性质是关键.

8. 双曲线 C:

=1 (a>0, b>0) 的离心率为

, 双曲线 C 的渐近线与抛物线 y =2px )

2

(p>0)交于 A,B 两点,△ OAB(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y =8x
2

B.y =4x

2

C.y =2x

2

D.

考点:抛物线的标准方程;双曲线的简单性质. 专题:综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析:根据题意,设出双曲线 C 的方程,画出图形,结合图形求出抛物线上的点 A 坐标, 即可求出抛物线方程. 解答: 解:∵双曲线 C: =1(a>0,b>0)的离心率为 ,

∴双曲线 C 为等轴双曲线,即 a=b; ∴双曲线的渐近线方程为 y=±x; 又∵双曲线的渐近线与抛物线 y =2px 交于 A,B 两点; 则设点 A(x0,x0) (x0>0) , 又∵△OAB 的面积为 x0?2x0=4, ∴x0=2, 2 将(2,2)代入抛物线方程 y =2px 解得 p=1, ∴抛物线的方程为 y =2x. 故选:C. 点评:本题考查了双曲线与抛物线的定义、几何性质的应用问题,是中档题. 9.已知定义在 R 上的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f(x)<f′(x) ,且 f(0) =2,则不等式 A. (﹣∞,0) 的解集为( B. (0,+∞) ) C. (﹣∞,2) D. (2,+∞)
2 2

考点:导数的运算;其他不等式的解法. 专题:导数的综合应用;不等式的解法及应用. 分析:根据条件构造函数 g(x)= ,利用导数求函数的单调性,即可解不等式.

解答: 解:设 g(x)=



则 g′(x)= ∵f(x)<f′(x) , ∴g′(x)>0,即函数 g(x)单调递增. ∵f(0)=2, ∴g(0)= ,



则不等式

等价为



即 g(x)>g(0) , ∵函数 g(x)单调递增. ∴x>0, ∴不等式 的解集为(0,+∞) ,

故选:B. 点评:本题主要考查导数的应用,根据条件构造函数,利用函数的单调性和导数之间的关系 是解决本题的关键.

10. 如图, O 为△ ABC 的外心, AB=4, AC=2, ∠BAC 为钝角, M 是边 BC 的中点, 则 的值( )

A.

B.12

C .6

D.5

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:取 AB、AC 的中点 D、E,可知 OD⊥AB,OE⊥AC,所求 由数量积的定义结合图象可得 = , = = ,代值即可. + ,

解答: 解: (如图)取 AB、AC 的中点 D、E,可知 OD⊥AB,OE⊥AC ∵M 是边 BC 的中点,∴ ∴ = = + , = ,

由数量积的定义可得 而 同理可得 故 故选 D + = =5,

= =| =1, |,故 = =4;



点评:本题为向量数量积的运算,数形结合并熟练应用数量积的定义是解决问题的关键,属 中档题. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共计 25 分.) 11.设复数 z 的共轭复数为 ,若(1﹣i) 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出. 解答: 解: (1﹣i) =2i, ∴ = = =i﹣1, =﹣1﹣i.

∴z=﹣1﹣i. 故答案为:﹣1﹣i. 点评:本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义,属于基础题. 12.公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,则他能等到公共 汽车的概率为 .

考点:几何概型. 专题:概率与统计. 分析:由已知中公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站,某人 8:15 到达该站,我们 可以分别求出所有基本事件对应的时间总长度和事件“他能等到公共汽车”对应的时间总长 度,代入几何概型公式可得答案.

解答: 解:∵公共汽车在 8:00 到 8:20 内随机地到达某站, 故所有基本事件对应的时间总长度 LΩ=20 某人 8:15 到达该站, 记“他能等到公共汽车”为事件 A 则 LA=5 故 P(A)= 故答案为 . 点评:本题考查的知识点是几何概型,几何概型分长度类,面积类,角度类,体积类,解答 的关键是根据已知计算出所有基本事件对应的几何量和满足条件的基本事件对应的几何量 13.已知 ,tan(α﹣β)= ,则 tanβ= . ;

考点:两角和与差的正切函数. 专题:三角函数的求值. 分析:利用二倍角的余弦函数化简已知条件,然后利用两角和与差的三角函数求解即可. 解答: 解: ,

可得

,解得 tanα=1.

tanβ=tan[α﹣(α﹣β)]=

=

= .

故答案为: . 点评:本题考查两角和与差的正切函数,二倍角的余弦函数的应用,考查计算能力. 14.已知圆 C: (x﹣a) +(y﹣b) =r (b>0) ,圆心在抛物线 y =4x 上,经过点 A(3,0) , 2 2 且与抛物线的准线相切,则圆 C 的方程为(x﹣2) +(y﹣2 ) =9. 考点:抛物线的简单性质. 专题:直线与圆;圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析:由已知结合抛物线的性质,可得 C 到抛物线 y =4x 准线的距离等于 C 到点 A(3,0) 2 的距离,即 C 到抛物线 y =4x 焦点 F(1,0)的距离等于 C 到点 A(3,0)的距离,故 C 点在 FA 的垂直平方线 x=2 上,进而可得圆心坐标和半径,求得答案. 2 2 2 2 解答: 解:∵圆 C: (x﹣a) +(y﹣b) =r (b>0)与抛物线 y =4x 的准线相切,经过点 A(3,0) , 2 ∴C 到抛物线 y =4x 准线的距离等于 C 到点 A(3,0)的距离, 2 即 C 到抛物线 y =4x 焦点 F(1,0)的距离等于 C 到点 A(3,0)的距离, ∴C 点在 FA 的垂直平方线 x=2 上,
2 2 2 2

故圆 C 的半径为 3, 又∵C 在抛物线 y =4x 上,b>0 ∴b=2 , 2 2 故圆 C 的方程为: (x﹣2) +(y﹣2 ) =9, 2 2 故答案为: (x﹣2) +(y﹣2 ) =9 点评:本题考查的知识点是抛物线的性质,圆的标准方程,是抛物线与圆的综合应用,难度 中档.
2

15. 已知函数 f (x) = 的取值范围是(13,15) .

若 a<b<c, 且f (a) =f (b) =f (c) , 则 3ab+

考点:对数函数图象与性质的综合应用. 专题:函数的性质及应用. 分析:画出图象得出当 f(a)=f(b)=f(c) ,a<b<c 时,0<a<1<b<c<12,ab=1,化 简 3ab+ =3+c,即可求解范围.

解答: 解:函数 f(x)=



f(a)=f(b)=f(c) ,a<b<c, ∴0<a<1<b<c<12,ab=1, ∴3ab+ =3+c,

13<3+c<15, 故答案为: (13,15) 点评:本题考查了函数的性质,运用图象得出 a,b,c 的范围,关键是得出 ab=1,代数式 的化简,不等式的运用,属于中档题.

三、解答题(本大题共 6 小题,共计 75 分) 16.已知{an}是公差不为零的等差数列,a1=1,且 a1,a3,a9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}的通项; (Ⅱ)记 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

考点:等比数列的性质;等差数列的通项公式;数列的求和. 专题:计算题. 分析: (I)设公差为 d,由题意可得 数列{an}的通项. (II)化简 ,故数列{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列,由等比数列 ,求出 d 的值,即得

的前 n 项和公式求得结果 解答: 解: (I)设公差为 d,由题意可得 即 d ﹣d=0,解得 d=1 或 d=0(舍去) 所以 an=1+(n﹣1)=n. (II)∵ ,故 数列{bn}是以 2 为首项,以 2 为公比的等比数列.
2



∴数列{bn}的前 n 项和



点评:本题主要考查等比数列的定义和性质,等差数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公 式,属于中档题. 17.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) ,x∈R(其中 A>0,ω>0,0<φ< 且图象上一个最低点为 (Ⅰ)求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 ,求 f(x)的最值. .

)的周期为 π,

考点:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)由最低点求出 A,利用周期求出 ω,图象上一个最低点为 入函数解析式求出 φ,然后求 f(x)的解析式; (Ⅱ)当 , ,然后求出求 f(x)的最值. 由 .代

解答: 解: (Ⅰ)由最低点为

由点 所以 又 (Ⅱ)因为 所以当 当

在图象上得 故 ,所以 ,可得 时,即 x=0 时,f(x)取得最小值 1; ,即 时,f(x)取得最大值 ; 所以



点评:本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其 解析式,考查计算能力,是基础题. 18.为丰富课余生活,某班开展了一次有奖知识竞赛,在竞赛后把成绩(满分为 100 分,分 数均为整数)进行统计,制成该频率分布表: 序号 组(段) 频数(人数) 频率 1 [0,60) a 0.1 2 [60,75) 15 0.3 3 [75,90) 25 b 4 [90,] c d 合计 50 1 (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若得分在[90,100]之间的有机会得一等奖,已知其中男女比例为 2:3,如果一等奖 只有两名,写出所有可能的结果,并求获得一等奖的全部为女生的概率. 考点:列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题:概率与统计. 分析: (1)根据频率分布表,求出样本容量,再计算 a、b、c 与 d 的值; (2)用列举法求出从男生 2 人,女生 3 人中任取 2 人的基本事件数与 2 人全是女生的事件 数,计算概率即可. 解答: 解: (1)根据频率分布表,得; 成绩在[60,75)的频数是 15,频率是 0.3,∴样本容量是 ∴成绩在[0,60)的频数是 a=50×0.1=5, 成绩在[75,90)的频率是 b= =0.5, =50;

成绩在[90,100]的频数是 c=50﹣5﹣15﹣25=5,频率为 d=0.1; (2)成绩在[90,100]的频数是 5,男生 2 人,记为 A1,A2,女生 3 人,记为 B1,B2,B3, 任取 2 人,所有情况如下: (A1,A2) (A1,B1) (A1,B2) (A1,B3) (A2,B1) (A2,B2) (A2,B3) (B1,B2) (B1, B3) (B2,B3) 共 10 种情况,全是女生的有 3 种情况,

∴概率为 P(全是女生)=



点评:本题考查了频率分布表的应用问题,也考查了用列举法求基本事件数的应用问题,解 题时应用频率= 来解答,是基础题.

19.好利来蛋糕店某种蛋糕每个成本为 6 元,每个售价为 x(6<x<11)元,该蛋糕年销售 量为 m 万个,若已知 与 成正比,且售价为 10 元时,年销售量为 28

万个. (1)求该蛋糕年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求售价为多少时,该蛋糕的年利润最大,并求出最大年利润. 考点:函数最值的应用. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)利用 与 成正比,且售价为 10 元时,年销售量为 28 万个,

求出 k 的值,从而可得 m,即可求该蛋糕年销售利润 y 关于售价 x 的函数关系式; (2)求导数,确定函数的单调性,即可求得结论. 解答: 解: (1)设 =k ,

由 x=10 时,m=28,解得:k=2, ∴
2


3 2

∴y=m(x﹣6)=(﹣2x +21x+18) (x﹣6)=﹣2x +33x ﹣108x﹣108(6<x<11) (2)y′=﹣6x +66x﹣108=﹣6(x﹣2) (x﹣9) , y′>0,6<x<9;y′<0,9<x<11; ∴x=9 元时,年利润最大,最大为 135 万元. 点评: 本题考查利用函数知识解决实际问题, 考查导数知识的运用, 确定函数解析式是关键.
2

20.已知在如图的多面体中,AE⊥底面 BEFC,AD∥EF∥BC,CF=BE=AD=EF= BC=2, AE=2,G 是 BC 的中点. (1)求证:AB∥平面 DEG; (2)求证:EG⊥平面 BDF; (3)求此多面体 ABCDEF 的体积.

考点:棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;直线与平面垂直的性质. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (1)根据线面平行的判定定理即可证明 AB∥平面 DEG; (2)根据线面垂直的判定定理即可证明 EG⊥平面 BDF; (3)根据多面体的体积公式利用割补法即可求此多面体 ABCDEF 的体积. 解答: 证明: (1)∵AD∥EF∥BC, ∴AD∥BC. 又∵BC=2AD,G 是 BC 的中点, ∴AD∥BG,且 AD=BG, ∴四边形 ADGB 是平行四边形, ∴AB∥DG. ∵AB?平面 DEG,DG?平面 DEG, ∴AB∥平面 DEG. (2)连结 GF,四边形 ADFE 是矩形, ∵DF∥AE,AE⊥底面 BEFC, ∴DF⊥平面 BCFE,EG?平面 BCFE, ∴DF⊥EG, ∵EF∥BG,EF=BG,EF=BE, ∴四边形 BGFE 为菱形,∴BF⊥EG, 又 BF∩DF=F,BF?平面 BFD,DF?平面 BFD, ∴EG⊥平面 BDF; (3)VABCDEF=VB﹣AEFD+VD﹣BCF,作 BH⊥EF 于 H, ∵平面 AEFD⊥平面 BEFC, ∴BH⊥平面 AEFD,EG∥CF, ∴CF⊥平面 BDF, , , , ∴ .

点评:本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定,以及空间多面体的体积的计算,要 求熟练掌握相应的判定定理. 21.已知椭圆的焦点坐标为 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 P、 Q 两点,且|PQ|=3. (1)求椭圆的方程; (2)过 F2 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,则△ F1MN 的内切圆的面积是否存在最 大值?若存在求出这个最大值及此时的直线方程;若不存在,请说明理由. 考点:直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题:综合题;圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)设椭圆方程,由焦点坐标可得 c=1,由|PQ|=3,可得 可求椭圆方程; (2) 设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 不妨 y1>0, y2<0, 设△ F1MN 的内切圆的径 R, 则△ F1MN 的周长=4a=8, (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R,因此 最大,R 就最大.设 =3,又 a ﹣b =1,由此
2 2

直线 l 的方程为 x=my+1,与椭圆方程联立,从而可表示△ F1MN 的面积,利用换元法,借 助于导数,即可求得结论. 解答: 解: (1)设椭圆方程为 =1(a>b>0) ,由焦点坐标可得 c=1…

由|PQ|=3,可得
2 2

=3,… ,…

又 a ﹣b =1,解得 a=2,b= 故椭圆方程为 =1…

(2)设 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ,不妨 y1>0,y2<0,设△ F1MN 的内切圆的径 R, 则△ F1MN 的周长=4a=8, 因此 最大,R 就最大,… (|MN|+|F1M|+|F1N|)R=4R

由题知,直线 l 的斜率不为零,可设直线 l 的方程为 x=my+1,



得(3m +4)y +6my﹣9=0,…

2

2









=

,…

令 t= 则

,则 t≥1, ,…

令 f(t)=3t+ ,则 f′(t)=3﹣



当 t≥1 时,f′(t)≥0,f(t)在[1,+∞)上单调递增,有 f(t)≥f(1)=4,S△ F1MN≤3, 即当 t=1,m=0 时,S△ F1MN≤3, S△ F1MN=4R,∴Rmax= ,这时所求内切圆面积的最大值为 故直线 l:x=1,△ F1MN 内切圆面积的最大值为 π… π.

点评:本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三角形面积的计算,考 查学生分析解决问题的能力,分析得出 最大,R 就最大是关键.


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