高考数学习题函数导数不等式——带答案

2010 年高考解答题题型训练《函数、导数、不等式》
1.(2009 年广东卷文)(本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g (x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g (x) 在 x =-1 处取得最小值

k ? 1?

1 ?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; ? m 2 ?1 ? k ? k ?1 k ? 1? 1 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一 m

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 零点 x ?

g ( x) m-1(m ? 0 ).设函数 f ( x ) ? x
(1)若曲线 y ? f (x) 上的点 P 到点 Q(0,2)的距离的最小值为 2 ,求 m 的值 (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解 (1)设 g ? x ? ? ax 2 ? bx ? c ,则 g? ? x ? ? 2ax ? b ;

1 k ?1

2 . ( 2009 浙 江 理 ) ( 本 题 满 分 14 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x3 ? (k 2 ? k ? 1) x2 ? 5x ? 2 ,

g ( x) ? k 2 x2 ? kx ? 1 ,
其中 k ? R . (I)设函数 p( x) ? f ( x) ? g ( x) .若 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调,求 k 的取值范围; ... (II)设函数 q( x) ? ?

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行 又 g ? x ? 在 x ? ?1 取极小值,

? 2a ? 2


a ?1

? g ( x), x ? 0, ? f ( x), x ? 0.

是否存在 k ,对任意给定的非零实数 x1 ,存在惟一

?

b ? ? 1 2

b?2

的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ),使得 q?( x2 ) ? q?( x1 ) 成立?若存在,求 k 的值;若不存 在,请说明理由. 解 (I) P( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? (k ?1) x2 ? (k ? 5) ?1 ,p? ? x ? ? 3x2 ? 2(k ?1) x ? (k ? 5) , 因 因 p ( x) 在区间 (0,3) 上不单调, 所以 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有实数解, 且无重根, p? ? x ? ? 0 得 由 ....

? g ? ? ? ?a ?b ?c 1 2 ? 1 ? ? c
f ? x? ? g ? x? m ? x? ?2, x x
2 2 2

? ,? m1
设 P xo , yo

c ? m;

?

?
2

则 PQ ? x0 ? ? y0 ? 2 ? ? x0 ? ? x0 ?
2

? ?

m? m 2 2 ? ? 2 x0 ? 2 ? 2 ? 2 2m ? 2 x0 ? x0

2

k (2 x ? 1) ? ?(3x2 ? 2 x ? 5),
?k ? ? (3x 2 ? 2 x ? 5) 3? 9 10 ? ? ? ?? 2 x ? 1? ? ? ? ,令 t ? 2 x ? 1, 有 t ? ?1,7 ? ,记 2x ?1 4? 2x ?1 3 ?

?2 2 2 ? 2 ? 4 m

m??

2 ; 2
m ? 2? 0 , x

9 h(t ) ? t ? , 则 h ? t ? 在 ?1,3? 上单调递减,在 ?3, 7 ? 上单调递增,所以有 h ?t ? ??6,10? , 于是 t

(2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ? 得

? 2 x ? 1? ?

9 ? ? 6,10 ? ,得 k ? ? ?5, ?2? ,而当 k ? ?2 时有 p? ? x ? ? 0 在 ? 0,3? 上有两个相 2x ?1

?1? k ? x2 ? 2x ? m ? 0

?*?

等的实根 x ? 1 ,故舍去,所以 k ? ? ?5, ?2? ; (II)当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? f ? ? x ? ? 3x ? 2(k ? k ? 1) x ? 5 ;
2 2 2 当 x ? 0 时有 q? ? x ? ? g? ? x ? ? 2k x ? k ,因为当 k ? 0 时不合题意,因此 k ? 0 ,

m m ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2 1 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 ,若 m ? 0 , k ? 1 ? , m
当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?
?2 ? 4 ? 4m ?1 ? k ? 2 ?1 ? k ? ? 1 ? 1 ? m ?1 ? k ? k ?1

;若 m ? 0 ,

下面讨论 k ? 0 的情形,记 A ? (k , ??) ,B= ?5,??? (ⅰ )当 x1 ? 0 时, q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单 调递增,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且 A ? B ,因此有 k ? 5 , )当 x1 ? 0 (ⅱ

时, q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递减,所以要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,只能 x2 ? 0 且 A ? B ,因 此 k ? 5 ,综合(ⅰ )(ⅱ k ? 5 ; ) 当 k ? 5 时 A=B,则 ?x1 ? 0, q? ? x1 ? ? B ? A ,即 ?x2 ? 0, 使得 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,因为

? a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 6 6 ?( x ? )( x ? )?0 当? 时,△>0,得: ? ?a? 3 3 2 2 ? ?x ? a

q? ? x ? 在 ? 0,??? 上单调递增,所以 x2 的值是唯一的;
同理,?x1 ? 0 ,即存在唯一的非零实数 x2 ( x2 ? x1 ) ,要使 q? ? x2 ? ? q? ? x1 ? 成立,所以 k ? 5 满足题意. 3.(2009 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设 a 为实数,函数 (1)若 (2)求

讨论得:当 a ? (

2 6 , ) 时,解集为 (a, ??) ; 2 2

6 2 a ? 3 ? 2a 2 a ? 3 ? 2a 2 当 a ? (? ,? ) 时,解集为 (a, ] ?[ , ??) ; 2 2 3 3
当 a ? [?

f ( x) ? 2 x 2 ? ( x ? a ) | x ? a | .

a ? 3 ? 2a 2 2 2 , ] 时,解集为 [ , ??) . 2 2 3

f (0) ? 1 ,求 a 的取值范围;

4.设函数 f ( x) ? xekx (k ? 0) (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 内单调递增,求 k 的取值范围. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查 综合分析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

f ( x) 的最小值;
f ( x), x ? (a, ??) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ? 1的解集. ....

(3)设函数 h( x) ? 解

本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运

用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分 16 分

?a ? 0 (1)若 f (0) ? 1 ,则 ?a | a |? 1 ? ? 2 ? a ? ?1 ?a ? 1
(2)当 x ? a 时, f ( x) ? 3x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2
2 ? f (a), a ? 0 ?2a , a ? 0 ? ? ?? a ? ? 2a 2 f ( ), a ? 0 ? ,a ? 0 ? 3 ? ? 3

? x? ? ?1? kx? ekx , f ' ?0? ? 1, f ?0? ? 0 ,

曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ? x . (Ⅱ)由 f
'

当 x ? a 时, f ( x) ? x ? 2ax ? a , f ( x) min
2 2

2 ? f (?a), a ? 0 ??2a , a ? 0 ? ?? ?? 2 ? 2a , a ? 0 ? f (a), a ? 0 ?

? x? ? ?1? kx? ekx ? 0 ,得 x ? ? k ? k ? 0 ? ,
? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, k?

1

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

综上 f ( x)min

??2a 2 , a ? 0 ? ? ? 2a 2 ,a ? 0 ? ? 3
2 2

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, ? k ? ? ? 1? ' ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递增, k?

(3) x ? (a, ??) 时, h( x) ? 1 得 3x ? 2ax ? a ? 1 ? 0 ,

? ? 4a ?12(a ?1) ? 12 ? 8a
2 2

2

若 k ? 0 ,则当 x ? ? ??, ?

当a ? ?

6 6 或a ? 时, ? ? 0, x ? (a, ??) ; 2 2

当 x ?? ?

? 1 ? , ??, ? 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ? x ? 单调递减, ? k ?

(Ⅲ)由(Ⅱ)知,若 k ? 0 ,则当且仅当 ? 即 k ? 1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 若 k ? 0 ,则当且仅当 ?

1 ? ?1 , k

g ?( x )
g ( x)

+ ↗

0 极大值



0 极小值

+ ↗

1 ? 1, k

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

即 k ? ?1 时,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增, 综上可知,函数 f ? x ? ? ?1,1? 内单调递增时, k 的取值范围是 ? ?1,0? ? ? 0,1? . 5.已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。
3 2

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3
?????????????12 分

6.已知函数 f ( x) ? x 2 ? a ln x 在 (1, 2] 是增函数, g ( x) ? x ? a x 在(0,1)为减函数. (I)求 f (x) 、 g (x) 的表达式; (II)求证:当 x ? 0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解; (III)当 b ? ?1 时,若 f ( x) ? 2bx ? 解:(I) f ?( x) ? 2 x ?

(I)求函数 f ( x ) 的解析式;

1 (II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得 3
极值时对应的自变量 x 的值. 【解析】(I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??①
2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ??②

1 在∈ (0,1] 内恒成立,求 b 的取值范围. x2

a 2x2 ? a ? ,依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? (1,2] 上恒成立 x x

2 即 a ? 2x 2 在 x ? (1,2] 上恒成立,∵ 2 x ? 2 ( x ? (1,2] ,∴ a ? 2 ①

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

又 g ?( x) ? 1 ? ?????????????4 分

a

2 x 依题意 g ?( x) ? 0 在 x ? (0,1) 时恒成立, 即 a ? 2 x , x ? (0,1) 恒成立
∵ ∴

?

2 x ?a 2 x

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

2 x ? 2 ( x ? (0,1) ),∴

a ? 2 ②,由①、②得

a?2

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

f ( x) ? x2 ? 2ln x, g ( x) ? x ? 2 x
2 (II)由(1)可知,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 , 即x ? 2ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 .

设 h( x) ? x 2 ? 2 ln x ? x ? 2 x ? 2 , 则h?( x) ? 2 x ?

2 1 ?1 ? x x
解得 x ? 1

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3 1 1 ②当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有两个实数根 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如 3 3
①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 下表:

令 h?( x) ? 0 ,并由 x ? 0, 得 ( x ?1)(2x x ? 2x ? x ? 2) ? 0 令 h ?( x) ? 0, 由 x ? 0, 解得0 ? x ? 1 列表分析:

x

(??, x1 )

x1

( x1 , x2 )

x2

( x2 ? ?)

x

? 0,1?

1

?1, ???

h?(x)

递减

0
0

+ 递增

(II)这一问考生不易得分,有一定的区分度。主要原因是含字母较多,不易找到突破口。此题主要 利用消元的手段,消去目标 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 中的 b ,(如果消 c 会较繁琐)再利用 x2 的范围,并借助(I)中的约束条件得 c ? [?2,0] 进而求解,有较强的技巧性。 解析 由题意有 f ? ? x2 ? ? 3x22 ? 6bx2 ? 3c ? 0 ............①

h(x)

知 h(x) 在 x ? 1 处有一个最小值 0,当 x ? 0且x ? 1 时, h(x) >0 ∴

h( x) ? 0 在(0,+?)上只有一个解

即当 x>0 时,方程 f ( x) ? g ( x) ? 2 有唯一解.
2 (III)设 ? ( x) ? x ? 2 ln x ? 2bx ?

1 x2



? ?( x) ? 2 x ? ? 2b ?

2 x

2 ?0 x3
又 b ? ?1

又 f ? x2 ? ? x23 ? 3bx22 ? 3cx2 .....................② 消去 b 可得 f ? x2 ? ? ?



? ( x) 在 (0,1] 上为减函数,∴ ? ( x)min ? ? (1) ? 1 ? 2b ?1 ? 0

1 3 3c x2 ? x2 . 2 2 ??1 0? f x2 ? ? ( )

所以 ? 1 ? b ? 1 为所求范围. 7.(2009 全国卷Ⅰ理)本小题满分 12 分。(注意:在试题卷上作答无效) ............. 设函数 f ? x ? ? x ? 3bx ? 3cx 在两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. ,
3 2

1 2 8.(2009 浙江文)(本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? (1 ? a) x2 ? a(a ? 2) x ? b (a, b ? R) .
又? x2 ?[1, 2] ,且 c ? [?2,0] (I)若函数 f ( x ) 的图象过原点,且在原点处的切线斜率是 ?3 ,求 a , b 的值; (II)若函数 f ( x ) 在区间 (?1,1) 上不单调,求 a 的取值范围. ... 解析 又? (Ⅰ )由题意得 f ?( x) ? 3x 2 ? 2(1 ? a) x ? a(a ? 2)

(I)求 b、c 满足的约束条件,并在下面的坐标平面内,画出满足这些条件的点 ? b, c ? 的区域; (II)证明: ?10 ? f ? x2 ? ? ?

1 2

分析(I)这一问主要考查了二次函数根的 分布及线性规划作可行域的能力。 大部分考生有思路并能够得分。

f (0) ? b ? 0 ,解得 b ? 0 , a ? ?3 或 a ? 1 f ?(0) ? ?a(a ? 2) ? ?3 ? ?
导函数 f ?(x) 在 (?1,1) 既能取到大于 0 的实数,又能取到小于 0 的实数 即函数 f ?(x) 在 (?1,1) 上存在零点,根据零点存在定理,有

(Ⅱ )函数 f (x) 在区间 (?1,1) 不单调,等价于

f ? ? x ? ? 3x2 ? 6bx ? 3c 由 题 意 知 方 程 f ? ? x ? ? 0 有两个根 x1、x2
且x1 ?[?1 0], x2 ?[1, 2]. 则有 f ? ? ?1? ? 0, ,

f ?(?1) f ?(1) ? 0 , 即: [3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)][3 ? 2(1 ? a) ? a(a ? 2)] ? 0
2 整理得: (a ? 5)(a ? 1)(a ? 1) ? 0 ,解得 ? 5 ? a ? ?1

9.(2009 北京文)(本小题共 14 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

f ? ? 0? ? 0, ? ?1? ? 0,f ? ? 2? ? 0 故有 f
右图中阴影部分 即是满足这些条件 的点 ? b, c ? 的区域。

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a , b 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值点. 解析 本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识,考查综合分 析和解决问题的能力. (Ⅰ) f
'

? x? ? 3x2 ? 3a ,

∵曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f ( x)) 处与直线 y ? 8 相切,

x f’(x) f (x)

(-∞,x1) + 增函数

x1 0 极大值

(x1,x2) - 减函数

x2 0 极小值

(x2,+∞) + 增函数

? f ' ? 2 ? ? 0 ?3 ? 4 ? a ? ? 0 ? ?a ? 4, ? ∴? ?? ?? ?8 ? 6a ? b ? 8 ?b ? 24. ? f ? 2? ? 8 ? ?
' 2 (Ⅱ)∵ f ? x ? ? 3 x ? a

?

? ? a ? 0? ,

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 当 a ? 0 时, x (-∞,x2) - 减函数 x2 0 极小值 (x2,x1) + 增函数 x1 0 极大值 (x1,+∞) - 减函数

当 a ? 0 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ? ??, ??? 上单调递增, 此时函数 f ( x ) 没有极值点. 当 a ? 0 时,由 f ' ? x ? ? 0 ? x ? ? a ,

f’(x) f (x)

? ? 当 x ? ? ? a , a ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减, 当 x ? ? a , ?? ? 时, f ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
当 x ? ??, ? a 时, f ' ? x ? ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增,
' '

所以 f (x) 在 x 1, x2 处分别取得极大值和极小值. 综上,当 a, b 满足 b ? a 时, f (x) 取得极值.
2

(2)要使 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,需使 f '( x) ? ax2 ? 2bx ? 1 ? 0 在 (0,1] 上恒成立.

∴此时 x ? ? a 是 f ( x ) 的极大值点, x ? 10.(2009 山东卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

a 是 f ( x) 的极小值点.

1 3 ax ? bx 2 ? x ? 3 ,其中 a ? 0 3

ax 1 ax 1 ? , x ? (0,1] 恒成立, 所以 b ? (? ? ) max 2 2x 2 2x 1 a( x 2 ? ) ax 1 a 1 a , ? 设 g ( x) ? ? , g '( x) ? ? ? 2 ? 2 2 2x 2 2x 2x
即b ? ? 令 g '( x) ? 0 得 x ?

(1)当 a, b 满足什么条件时, f (x) 取得极值? (2)已知 a ? 0 ,且 f (x) 在区间 (0,1] 上单调递增,试用 a 表示出 b 的取值范围.
2 解: (1)由已知得 f '( x) ? ax ? 2bx ? 1 ,令 f ' ( x) ? 0 ,得 ax ? 2bx ? 1 ? 0 ,
2

1 1 或x?? (舍去), a a

当 a ? 1 时, 0 ?

1 ax 1 1 ? 1 ,当 x ? (0, ) 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调增函数; a 2 2x a

f (x) 要取得极值,方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 必须有解,
2

当 x?(

ax 1 1 ,1] 时 g '( x) ? 0 , g ( x) ? ? ? 单调减函数, 2 2x a

所以△ ? 4b ? 4a ? 0 ,即 b ? a ,
2 2

此时方程 ax ? 2bx ? 1 ? 0 的根为
2

所以当 x ?

1 1 )?? a. 时, g ( x) 取得最大,最大值为 g ( a a

?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a ?2b ? 4b2 ? 4a ?b ? b2 ? a , x2 ? , x1 ? ? ? 2a a 2a a
所以 f '( x) ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) 当 a ? 0 时,

所以 b ? ? a 当 0 ? a ? 1 时,

ax 1 1 ? 1 ,此时 g '( x ) ? 0 在区间 (0,1] 恒成立,所以 g ( x) ? ? ? 在区间 (0,1] 上 2 2x a

单调递增,当 x ? 1 时 g ( x) 最大,最大值为 g (1) ? ? 综上,当 a ? 1 时, b ? ? a ;

a ?1 a ?1 ,所以 b ? ? 2 2 a ?1 当 0 ? a ? 1 时, b ? ? 2

?a ? 1 ? ? f ( 2a ) ? 0, ? f (0) ? 0, ?

【命题立意】:本题为三次函数,利用求导的方法研究函数的极值、单调性和函数的最值,函数在区 间上为单调函数,则导函数在该区间上的符号确定,从而转为不等式恒成立,再转为函数研究最值.运 用函数与方程的思想,化归思想和分类讨论的思想解答问题. 11.设函数 f ( x) ?

?a ? 1, ? 4 ? 即 ?? a(a ? 3)(a ? 6) ? 0, ? 3 ?24a ? 0. ?

解得 1<a<6

故 a 的取值范围是(1,6)
12.( 2009 广 东 卷 理 ) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极小值

1 3 x ? (1 ? a) x 2 ? 4ax ? 24a ,其中常数 a>1 3

(Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)若当 x≥0 时,f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围。 解析 本题考查导数与函数的综合运用能力,涉及利用导数讨论函数的单调性,第一问关键是

m ? 1(m ? 0) .设 f ( x ) ?

g ( x) . x

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解析 (1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) 2 ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ;

通过分析导函数,从而确定函数的单调性,第二问是利用导数及函数的最值,由恒成立条件得出 不等式条件从而求出的范围。 解析 (I) f ?( x) ? x 2 ? 2(1 ? a) x ? 4a ? ( x ? 2)(x ? 2a)

又 g? ? x ? 的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1

由 a ? 1 知,当 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (??,2) 是增函数; 当 2 ? x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2,2a) 是减函数; 当 x ? 2a 时, f ?( x) ? 0 ,故 f (x ) 在区间 (2a,??) 是增函数。 综上,当 a ? 1 时, f (x ) 在区间 (??,2) 和 (2a,??) 是增函数,在区间 (2,2a) 是减函数。 (II)由(I)知,当 x ? 0 时, f (x ) 在 x ? 2a 或 x ? 0 处取得最小值。
2 ? 2 x0 ?

? g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? m ? 1 ? x 2 ? 2x ? m , f ? x ? ?

g ? x? m ? x? ?2, x x

2 2 2 2 设 P xo , yo ,则 | PQ | ? x0 ? ( y 0 ? 2) ? x0 ? ( x0 ?

?

?

m 2 ) x0

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2 0

1 f (2a ) ? (2a ) 3 ? (1 ? a)( 2a) 2 ? 4a ? 2a ? 24 a 3 4 ? ? a 3 ? 4a 2 ? 24 a 3

m2 2 当且仅当 2 x ? 2 时, | PQ | 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 x0
当 m ? 0 时, (2 2 ? 2)m ? 当 m ? 0 时, (?2 2 ? 2)m ? (2)由 y ? f ? x ? ? kx ? ?1 ? k ? x ?

2 2

解得 m ?

2 ?1

f (0) ? 24a
由假设知

解得 m ? ? 2 ? 1

m ? 2 ? 0 ( x ? 0 ),得 ?1 ? k ? x2 ? 2x ? m ? 0 x m m 当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 x ? ? ,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 2

?*?

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 若 m ? 0 , k ? 1?

所以 ? ? 81 ? 12(6 ? m) ? 0 , 得 m ? ?

3 3 ,即 m 的最大值为 ? 4 4

1 , m

(2) 因为 当 x ? 1 时, f ' ( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? 2 时, f ' ( x) ? 0 ; 所以 当 x ? 1 时, f ( x ) 取极大值 f (1) ?

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ,即 2(1 ? k )
x? 1 ? 1 ? m(1 ? k ) ; k ?1
1 , m

5 ?a; 2

当 x ? 2 时, f ( x ) 取极小值 f (2) ? 2 ? a ; 故当 f (2) ? 0 或 f (1) ? 0 时, 方程 f ( x) ? 0 仅有一个实根. 解得 a ? 2 或 a ? 14.(2009 江西卷理)(本小题满分 12 分)

5 . 2

若 m ? 0 , k ? 1?

函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ?

1 ? 1 ? m(1 ? k ) ? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) ,即 x ? ; k ?1 2(1 ? k )
k ? 1? 1 , m

ex 设函数 f ( x) ? x
(1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (1)若 k ? 0 ,求不等式 f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ? 0 的解集. 解析 (1) f ( x) ? ?
'

当 k ? 1 时,方程 ?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1 ? k ? ? 0 , 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ?

1 ? ?m k ?1

m 综上,当 k ? 1 时, 函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? ? ; 2 1 1 当 k ? 1 ? ( m ? 0 ),或 k ? 1 ? ( m ? 0 )时, m m

1 x 1 x x ?1 x e ? e ? 2 e , 由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? 1 . 2 x x x

' ' ' 因为 当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ; 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ; 当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ;

1 ? 1 ? m(1 ? k ) 函数 y ? f ? x ? ? kx 有两个零点 x ? ; k ?1
当 k ? 1?


(0,1] 所以 f ( x ) 的单调增区间是: [1, ??) ; 单调减区间是: (??, 0), .
(2)由

1 1 ? ?m . 时,函数 y ? f ? x ? ? kx 有一零点 x ? m k ?1 9 2 x ? 6x ? a . 2

f ' ( x) ? k (1 ? x) f ( x) ?

x ? 1 ? kx ? kx 2 x ( x ? 1)( ?kx ? 1) x e ?0, e ? x2 x2

13.( 2009 江西卷文)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ?
3

得: ( x ? 1)(kx ? 1) ? 0 . 故:当 0 ? k ? 1 时, 解集是: {x 1 ? x ? } ; 当 k ? 1 时,解集是: ? ; 当 k ? 1 时, 解集是: {x

1 k

(1)对于任意实数 x , f ?( x) ? m 恒成立,求 m 的最大值; (2)若方程 f ( x) ? 0 有且仅有一个实根,求 a 的取值范围. 解析 (1) f ( x) ? 3x ? 9x ? 6 ? 3( x ?1)( x ? 2) ,
' 2 ' 2

1 ? x ? 1} . k

15.(2009 天津卷文)(本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ?

1 3 x ? x 2 ? (m 2 ? 1) x, ( x ? R, )其中 m ? 0 3

因为 x ? (??, ??) , f ( x) ? m , 即 3x ? 9 x ? (6 ? m) ? 0 恒成立,

1 1 处的切线斜率 (Ⅰ)当 m ? 1时, 曲线 y ? f ( x)在点(,f( ))
(Ⅱ)求函数的单调区间与极值;

(Ⅲ)已知函数 f (x) 有三个互不相同的零点 0, x1 , x 2 ,且 x1 ? x 2 。若对任意的

若 x1 ? 1 ? x 2 , 则f (1) ? ? (1 ? x1 )(1 ? x 2 ) ? 0 ,而 f ( x1 ) ? 0 ,不合题意 若 1 ? x1 ? x2 , 则对任意的 x ? [ x1 , x2 ] 有 x ? x1 ? 0, x ? x2 ? 0,

1 3

x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立,求 m 的取值范围。
答案 (1)1(2) f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。函数

2 1 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = m 3 ? m 2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 3 2 / 2 ' 解析 解析 当 m ? 1时, f ( x) ? x ? x , f ( x) ? x ? 2 x, 故f (1) ? 1 3
所以曲线 y ? f ( x)在点(,f( )) 1 1 处的切线斜率为 1. (2)解析

1 x( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0 又 f ( x1 ) ? 0 ,所以函数 f (x) 在 x ? [ x1 , x2 ] 的最小值为 3 1 2 0,于是对任意的 x ? [ x1 , x2 ] , f ( x) ? f (1) 恒成立的充要条件是 f (1) ? m ? ? 0 ,解得 3
则 f ( x) ?? ?

?

3 3 ?m? 3 3 1 3 ) 2 3

综上,m 的取值范围是 ( ,

f ' ( x) ? ? x 2 ? 2x ? m 2 ? 1,令 f ' ( x) ? 0 ,得到 x ? 1 ? m, x ? 1 ? m

因为 m ? 0, 所以 ? m ? 1 ? m 1 当 x 变化时, f ( x), f ' ( x) 的变化情况如下表:

【考点定位】本小题主要考查导数的几何意义,导数的运算,以及函数与方程的根的关系解不 等式等基础知识,考查综合分析问题和解决问题的能力。 16.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。 (I)求函数 f ( x ) 的解析式;

x
f ' ( x)
f (x)

(??,1 ? m)
+

1? m
0 极小值

(1 ? m,1 ? m)
-

1? m
0 极大值

(1 ? m,??)
(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? +

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得 3

极值时对应的自变量 x 的值. 解析 (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??①

f (x) 在 (??,1 ? m) 和 (1 ? m,??) 内减函数,在 (1 ? m,1 ? m) 内增函数。
2 3 1 m ? m2 ? 3 3 2 3 1 2 函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极小值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) = ? m ? m ? 3 3 1 2 1 2 (3)解析 由题设, f ( x) ? x(? x ? x ? m ? 1) ? ? x( x ? x1 )( x ? x 2 ) 3 3 1 2 2 所 以 方 程 ? x ? x ? m ? 1 =0 由 两 个 相 异 的 实 根 x1 , x 2 , 故 x1 ? x2 ? 3 , 且 3 4 1 1 ? ? 1 ? (m 2 ? 1) ? 0 ,解得 m ? ? (舍),m ? 3 2 2 3 因为 x1 ? x 2 , 所以2 x 2 ? x1 ? x 2 ? 3, 故x 2 ? ? 1 2
函数 f (x) 在 x ? 1 ? m 处取得极大值 f (1 ? m) ,且 f (1 ? m) =

2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ??②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

?????????????4 分

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 .

①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ?

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3

? f ? x2 ? ? x22 ? aln ?1? x2 ? ? x22 ? (2x22 +2x2 )ln ?1? x2 ?
设 h ? x ? ? x ? (2 x ? 2 x)ln ?1 ? x ? ( x ? ? ) ,
2 2

②当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有两个实数根

1 2

1 1 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况如下表: 3 3

则 h? ? x ? ? 2x ? 2(2x ?1)ln ?1 ? x ? ? 2x ? ?2(2x ?1)ln ?1 ? x ?

x
g ?( x )
g ( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

⑴当 x ? (?

1 1 , 0) 时, h? ? x ? ? 0,?h( x) 在 [? , 0) 单调递增; 2 2

⑵当 x ? (0, ??) 时, h? ? x ? ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 单调递减。

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

1 1 1 ? 2 ln 2 ?当x ? (? , 0)时, h ? x ? ? h(? ) ? 2 2 4 1 ? 2 In2 故 f ? x2 ? ? h( x2 ) ? . 4
18。(2009 湖南卷文)(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx 的导函数的图象关于直线 x=2 对称. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)若 f ( x ) 在 x ? t 处取得最小值,记此极小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的定义域和值域。
2 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x ? 2bx ? c .因为函数 f ?( x ) 的图象关于直线 x=2 对称,

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3

?????????????12 分 17.(2009 全国卷Ⅱ理)(本小题满分 12 分) 设函数 f ? x ? ? x ? aIn ?1 ? x ? 有两个极值点 x1、x2 ,且 x1 ? x2
2

(I)求 a 的取值范围,并讨论 f ? x ? 的单调性; (II)证明: f ? x2 ? ?

1 ? 2 In2 4

所以 ?

2b ? 2 ,于是 b ? ?6. 6
3 2 2 2

解: (I) f ? ? x ? ? 2 x ?
2

a 2x2 ? 2x ? a ? ( x ? ?1) 1? x 1? x
1 。 由题意知 x1、x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个均大于 ?1 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x) ? x ? 6x ? cx , f ?( x) ? 3x ?12x ? c ? 3( x ? 2) ? c ?12 . (ⅰ)当 c ? 12 时, f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 无极值。 (ii)当 c<12 时, f ?( x) ? 0 有两个互异实根 x1 , x2 .不妨设 x1 < x2 ,则 x1 <2< x2 . 当 x< x1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 (??, x1 ) 内为增函数; 当 x1 <x< x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x1 , x2 ) 内为减函数; 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 在区间 ( x2 , ??) 内为增函数. 所以 f ( x ) 在 x ? x1 处取极大值,在 x ? x2 处取极小值. 因此,当且仅当 c ? 12 时,函数 f ( x ) 在 x ? x2 处存在唯一极小值,所以 t ? x2 ? 2 .

令 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? a , 其对称轴为 x ? ?

?? ? 4 ? 8a ? 0 1 的不相等的实根,其充要条件为 ? ,得 0 ? a ? 2 ? g (?1) ? a ? 0
⑴当 x ? (?1, x1 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 (?1, x1 ) 内为增函数; ⑵当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x1 , x2 ) 内为减函数; ⑶当 x ? ( x2, ? ?) 时, f ? ? x ? ? 0,? f ( x) 在 ( x2, ? ?) 内为增函数; (II)由(I) g (0) ? a ? 0,??

1 ? x2 ? 0 , a ? ?(2x22 +2x2 ) 2

于是 g (t ) 的定义域为 (2, ??) .由 f ?(t ) ? 3t 2 ?12t ? c ? 0 得 c ? ?3t ? 12t .
2

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (2)证明:若 a ? 5 ,则对任意 x 1 ,x 2 ? (0, ??) ,x 1 ? x 2 ,有 解析 (1) f ( x ) 的定义域为 (0, ??) 。

于是 g (t ) ? f (t ) ? t3 ? 6t2 ? ct ? ?2t3 ? 6t2 , t ? (2, ??). 当 t ? 2 时, g ?(t ) ? ?6t 2 ? 12t ? 6t (2 ? t ) ? 0, 所以函数 g (t ) 在区间 (2, ??) 内是减函数,故 g (t ) 的值域为 (??,8). 19.(2009 辽宁卷文)(本小题满分 12 分) 设 f ( x) ? ex (ax2 ? x ? 1) ,且曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线与 x 轴平行。 (2)求 a 的值,并讨论 f(x)的单调性; (1)证明:当 ? ? [0, 解析

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 。 x1 ? x2

f ' ( x) ? x ? a ?

a ? 1 x 2 ? ax ? a ? 1 ( x ? 1)( x ? 1 ? a) ? ? 2分 x x x

(i)若 a ? 1 ? 1 即 a ? 2 ,则

?
2

]时, cos ? ) ? f(sin? ) ? 2 f(

( x ? 1) 2 f ( x) ? x
'

(Ⅰ) f '( x) ? e x (ax2 ? x ? 1 ? 2ax ? 1) .有条件知, ?? ?2 分 于是

故 f ( x ) 在 (0, ??) 单调增加。 (ii)若 a ? 1 ? 1 ,而 a ? 1 ,故 1 ? a ? 2 ,则当 x ? (a ? 1,1) 时, f ' ( x) ? 0 ; 当 x ? (0, a ? 1) 及 x ? (1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 故 f ( x ) 在 (a ? 1,1) 单调减少,在 (0, a ? 1), (1, ??) 单调增加。 (iii)若 a ? 1 ? 1 ,即 a ? 2 ,同理可得 f ( x ) 在 (1, a ? 1) 单调减少,在 (0,1), (a ? 1, ??) 单调增加. ???6 分 (II)考虑函数 g ( x) ? f ( x) ? x

f '(1) ? 0 , 故 a ? 3 ? 2a ? 0 ? a ? ?1.
. f '(x )? ex ( x2 ? x ? 2) ?ex x ? 2)(? 1) ? ? ( x 故当 x ? (??, ?2) ? (1, ??) 时, f '( x) <0; 当 x ? (?2,1) 时, f '( x) >0. 从而 f ( x ) 在 (??, ?2) , (1, ??) 单调减少,在 (?2,1) 单调增加.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x ) 在 [0,1] 单调增加,故 f ( x ) 在 [0,1] 的最大值为 f (1) ? e , 最小值为 f (0) ? 1 . 从而对任意 x1 , x2 ? [0,1] ,有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? e ?1 ? 2 . 而当 ? ? [0, 从而 ???10 分

?

1 2 x ? ax ? (a ? 1) ln x ? x 2

则 g ?( x) ? x ? (a ? 1) ?

a ?1 a ?1 ? 2 xg ? (a ? 1) ? 1 ? ( a ? 1 ? 1) 2 x x

?
2

] 时, cos? ,sin ? ? [0,1] .
???12 分

由于 1<a<5,故 g ?( x) ? 0 ,即 g(x)在(4, +∞)单调增加,从而当 x1 ? x2 ? 0 时有 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 0 , 即

f (cos? ) ? f (sin ? ) ? 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? 0 , 故

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ?1 , 当 0 ? x1 ? x2 时 , 有 x1 ? x2

20.(2009 辽宁卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=

1 2 x -ax+(a-1) ln x , a ? 1 。 2

f ( 1 x? ) f( x ) 2 ? x1 ? x2

? 2f ( x ) 1 f ( x ) ? ?1·········12 分 ?x2 x1

21.(2009 宁夏海南卷理)(本小题满分 12 分)

已知函数 f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? ax ? b)e? x (1)如 a ? b ? ?3 ,求 f ( x ) 的单调区间; (1)若 f ( x ) 在 (??, ? ), (2, ? ) 单调增加,在 (? , 2), ( ? , ??) 单调减少,证明

于是 ? ? ? ? 6. 22.(2009 陕西卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3ax ?1, a ? 0

? ? ? <6.
(21)解析 (Ⅰ)当 a ? b ? ?3 时, f ( x) ? ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ,故

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y=my 与 y ?
值范围。 解析 (1) f ' ( x) ? 3x2 ? 3a ? 3( x2 ? a),

f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取

f '( x) ? ?( x3 ? 3x2 ? 3x ? 3)e? x ? (3x2 ? 6x ? 3)e? x
当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ' ( x) ? 0,

? ?e? x ( x?3 ? 9x) ? ? x( x ? 3)( x ? 3)e
?x

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ??) 当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ? 由 f ' ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

当 x ? ?3或 0 ? x ? 3时,f '( x) ? 0; 当 ?3 ? x ? 0或x ? 3时,f '( x) ? 0. 从而 f ( x)在(??, ?3),(0,3)单调增加,在(? 3, 0),(3, ?) ? 单调减少. (Ⅱ) f '( x) ? ?( x ? 3x ? ax ? b)e
3 2 3 ?x

a;

a,

当 a ? 0 时, f ( x ) 的单调增区间为 (??, ? a ),( a , ??) ; f ( x ) 的单调减区间为 (? a , a ) 。 (2)因为 f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值,

? (3x ? 6x ? a)e ? ?e [ x ? (a ? 6) x ? b ? a].
2 3

?x

?x

所以 f (?1) ? 3? (?1) ? 3a ? 0,? a ? 1.
' 2

由条件得: f '(2) ? 0,即2 ? 2(a ? 6) ? b ? a ? 0, 故b ? 4 ? a, 从而 所以 f ( x) ? x ? 3x ?1, f ( x) ? 3x ? 3,
3 ' 2

f '( x) ? ?e? x [ x3 ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a].
因为 f '(? ) ? f '( ? ) ? 0, 所以 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。
'

由(1)中 f ( x ) 的单调性可知, f ( x ) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 ,

x ? (a ? 6) x ? 4 ? 2a ? ( x ? 2)( x ? ? )( x ? ? )
3

在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点, f (?3) ? ?19 ? ?3 ,f (3) ? 17 ? 1 , 又 结合 f ( x ) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。

? ( x ? 2)( x ? (? ? ? ) x ? ?? ).
2

将右边展开,与左边比较系数得, ? ? ? ? ?2, ?? ? a ? 2. 故

? ? ? ? ( ? ? ? ) ? 4?? ? 12 ? 4a .
2

23.(2009 陕西卷理)(本小题满分 12 分)

又 (? ? 2)(? ? 2) ? 0,即?? ? 2(? ? ? ) ? 4 ? 0. 由此可得 a ? ?6.

已知函数 f ( x) ? ln(ax ? 1) ?

1? x , x ? 0 ,其中 a ? 0 1? x

(II)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 极值时对应的自变量 x 的值. 解析

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得 3

? ? ? 若 f ( x) 在 x=1 处取得极值,求 a 的值; ? ?? ? 求 f ( x) 的单调区间;
(Ⅲ)若 f ( x ) 的最小值为 1,求 a 的取值范围。

(I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ??①

又 f ?( x) ? 3x2 ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ??② 联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 .

解(Ⅰ) f '( x) ?

a 2 ax ? a ? 2 ? ? , 2 ax ? 1 (1 ? x) (ax ? 1)(1 ? x)2
2

所以函数的解析式为 f ( x) ? x3 ? 2 x2 ? x ? 2 (II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

?????????????4 分

∵ f ( x ) 在 x=1 处取得极值,∴ f '(1) ? 0,即a? 2 ? a ? 2 ? 0, 解得 a ? 1. 1

1 mx 3

ax 2 ? a ? 2 (Ⅱ) f '( x) ? , (ax ? 1)(1 ? x)2
∵ x ? 0, a ? 0, ∴ ax ? 1 ? 0.

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 a ? 2 时,在区间 (0, ??)上,f '( x) ? 0, ∴ f ( x ) 的单调增区间为 (0, ??). ②当 0 ? a ? 2 时, 由 f '( x) ? 0解得x ?

2?a 2?a ,由f '( x) ? 0解得x ? , a a 2-a 2-a ), 单调增区间为( , ?). ? a a

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3 1 1 ②当 m ? 1 时, g ?( x ) ? 0 有两个实数根 x1 ? (2 ? 1 ? m ), x2 ? (2 ? 1 ? m ), g ?( x), g ( x) 情况 3 3
①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ? 如下表:

x
g ?( x )
g ( x)

∴ f ( x)的单调减区间为(0,

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )


x2
0 极小值

( x2 ? ?)
+ ↗

(Ⅲ)当 a ? 2 时,由(Ⅱ)①知, f ( x)的最小值为f (0) ? 1; 当 0 ? a ? 2 时,由(Ⅱ)②知, f ( x ) 在 x ?

2?a 2?a 处取得最小值 f ( ) ? f (0) ? 1, a a

所以在 m ? (??,1) 时,函数 g ( x) 有极值; 当x?

综上可知,若 f ( x ) 得最小值为 1,则 a 的取值范围是 [2, ??). 24.(2009 四川卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 2bx ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 。
3 2

1 1 (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极大值;当 x ? (2 ? 1 ? m ) 时, g ( x) 有极小值; 3 3
?????????????12 分

25.(2009 宁夏海南卷文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 9a x ? a .
3 2 2 3

(I)求函数 f ( x ) 的解析式;

(1) 设 a ? 1 ,求函数 f ? x ? 的极值;

(2) 若 a ?

1 ' ,且当 x ??1, 4a? 时, f ( x ) ? 12a 恒成立,试确定 a 的取值范围. 4

所以使 | f ' ( x) |? 12a( x ?[1, 4a]) 恒成立的 a 的取值范围是 ( , ]. 26.(2009 天津卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 2a2 ? 3a)e x ( x ? R), 其中 a ? R (1)当 a ? 0 时,求曲线 y ? f ( x)在点(1, f (1)) 处的切线的斜率; (2)当 a ?

1 4 4 5

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 (21)解析 (Ⅰ)当 a=1 时,对函数 f ( x ) 求导数,得

2 时,求函数 f ( x ) 的单调区间与极值。 3

f ' ( x) ? 3x2 ? 6x ? 9.
令 f ' ( x) ? 0, 解得x1 ? ?1, x2 ? 3. 列表讨论 f ( x), f ' ( x) 的变化情况:

本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识, 考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分 12 分。 (I)解析

当a ? 0时,f ( x) ? x 2 e x ,f ' ( x) ? ( x 2 ? 2x)e x,故f ' (1) ? 3e.

所以曲线y ? f ( x)在点(1, f (1))处的切线的斜率为 e. 3
(-1,3) — 3 0 极小值 -26

x
f ' ( x)

(??, ?1)
+

?1
0 极大值 6

(3, ??)
+

(II) 解:f ' ( x) ? x 2 ? (a ? 2) x ? 2a 2 ? 4a e x .

?

?

令f ' ( x) ? 0,解得 x ? ?2a,或 x ? a ? 2.由a ?
以下分两种情况讨论。 (1) 若a >

2 知, 2a ? a ? 2. ? 3

f ( x)

?

?

?

所以, f ( x ) 的极大值是 f (?1) ? 6 ,极小值是 f (3) ? ?26. (Ⅱ) f ( x) ? 3x ? 6ax ? 9a 的图像是一条开口向上的抛物线,关于 x=a 对称.
' 2 2

2 ,则 ? 2a < a ? 2 .当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
? 2a

x

?? ?, 2a? ?
+ ↗

?? 2a,a ? 2?
— ↘

a?2

?a ? 2, ?? ?
+ ↗



1 ? a ? 1, 则f ' ( x)在[1,4a]上是增函数,从而 4

0 极 大值

0 极 小值

f ' ( x)在[1,4a]上的最小值是 f ' (1) ? 3 ? 6a ? 9a2 , 最大值是 f ' (4a) ? 15a2 .
由 | f ( x) |? 12a, 得 ?12a ? 3x ? 6ax ? 9a ? 12a, 于是有
' 2 2

所以f ( x)在(??, 2a), ? 2, ?)内是增函数,在 ?2a,a ? 2)内是减函数 ? (a ? ( .

函数f ( x)在x ? ?2a处取得极大值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f 函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极小值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f
(2) 若a <

f (1) ? 3 ? 6a ? 9a ? ?12a, 且f (4a) ? 15a ? 12a.
' 2 ' 2

1 4 ' 由 f (1) ? ?12a得 ? ? a ? 1,由f (4a ) ? 12a得0 ? a ? . 3 5 1 1 4 1 4 所以 a ? ( ,1] ? [? ,1] ? [0, ], 即a ? ( , ]. 4 3 5 4 5
'

2 ,则 ? 2a > a ? 2 ,当 x 变化时, f ' ( x),f ( x) 的变化情况如下表: 3
a?2

x

?? ?,a ? 2?
+ ↗

?a ? 2, 2a ? ?
— ↘

? 2a

?? 2a, ?? ?
+ ↗

若 a>1,则 | f (a) |? 12a ? 12a.故当x ?[1, 4a]时 | f ( x) |? 12a 不恒成立.
' 2 '

0 极 大值

0 极 小值

所以f ( x)在(??,a ? 2), 2a, ?)内是增函数,在 a ? 2, 2a)内是减函数。 (? ? ( ?

② 当 0 ? m ? 1 时, h?( x) ? 0 有两个实根 x1 ? ?1 ? m, x2 ? ?1 ? m 当 x 变化时, h?( x) 、 h( x) 的变化情况如下表所示:

函数f ( x)在x ? a ? 2处取得极大值 (a ? 2),且f (a ? 2) ? (4 ? 3a)e a?2 . f 函数f ( x)在x ? ?2a处取得极小值 (?2a),且f (?2a) ? 3ae?2a . f
27.(2009 四川卷理)(本小题满分 12 分) 已知 a ? 0, 且a ? 1 函数 f ( x) ? loga (1 ? a x ) 。 (I)求函数 f ( x ) 的定义域,并判断 f ( x ) 的单调性; (II)当 a ? e ( e 为自然对数的底数)时,设 h( x) ? (1 ? e f ( x ) )( x2 ? m ? 1) ,若函数 h( x) 的极值 存在,求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。 解析 (Ⅰ)由题意知 1 ? a ? 0
x

x
h?( x)

(??, x1 )
+ ↗

x1
0 极大值

( x1 , x2 )

m

x2
0 极小值

( x2 ,0)
+ ↗

h( x )

? h( x) 的极大值为 2e?1? m (1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1?

(1 ? m )

③ 当 m ? 1 时, h?( x) ? 0 在定义域内有一个实根, x ? ?1 ? m 同上可得 h( x) 的极大值为 2e?1?
m

(1 ? m )

( ? 综上所述, m ? 0, ?) 时,函数 h( x) 有极值;
当 0 ? m ? 1 时 h( x) 的极大值为 2e?1? 当 m ? 1 时, h( x) 的极大值为 2e?1?
m m

当 0 ? a ?1 时,f ( x)的定义域是(0, ?);当a ? 1时,f ( x)的定义域是(? ?, ? 0)

(1 ? m ) , h( x) 的极小值为 2e?1? m (1 ? m )

(1 ? m )

f?(x)=

-a ln a a glog a e ? x x 1? a a ?1
x x

x

x

28.(2009 福建卷文)(本小题满分 12 分)

当 0 ? a ?1 时,x ? (0, ??).因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f?(x)<0,所以f(x)是减函数 当 a ?1 时,x ? (??,0),因为a ?1 ? 0, a ? 0, 故f ?( x) ? 0, 所以f ( x)是减函数 ….(4 分)
x x

1 3 x ? ax 2 ? bx, 且 f '(?1) ? 0 3 (I)试用含 a 的代数式表示 b ;
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅲ)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 )), N ( x2 , f ( x2 )) ,证 明:线段 MN 与曲线 f ( x ) 存在异于 M 、 N 的公共点; 解法一: (I)依题意,得 f '( x) ? x ? 2ax ? b
2

(Ⅱ)因为 f (n) ? loga (1 ? an ), 所以a f ( n) ? 1 ? an 由函数定义域知 1 ? a >0,因为 n 是正整数,故 0<a<1.
n

a f (n) 1 ? an 1 ? lim n ? 所以 lim n n ?? a ? a n ?? a ? a a
(Ⅲ) (x) ? e ( x ? m ? 1)( x ? 0), 所以h?( x) ? e ( x ? 2x ? m ? 1) h
x 2 x 2

由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0 得 b ? 2a ? 1 (Ⅱ)由(I)得 f ( x) ?

令 h?( x) ? 0,即x ? 2 x ? m ? 1 ? 0,由题意应有? ? 0,即m ? 0
2

① 当 m=0 时, h?( x) ? 0 有实根 x ? ?1 ,在 x ? ?1 点左右两侧均有 h?( x) ? 0 故无极值

1 3 x ? ax 2 ? (2a ? 1) x ( 3

故 f '( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ?1 ? ( x ? 1)( x ? 2a ?1) 令 f '*( x) ? 0 ,则 x ? ?1 或 x ? 1 ? 2a ①当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表:

所以直线 MN 的方程为 y ? ?

8 x ?1 3

1 2 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 8 ? y ? ? x ?1 ? 3 ?
(?2a, ?1)
— 单调递减

x
f '( x)

(??,1 ? 2a)

(?1 ? ?)

令 F ( x) ? x3 ? 3x2 ? x ? 3 易得 F (0) ? 3 ? 0, F (2) ? ?3 ? 0 ,而 F ( x) 的图像在 (0, 2) 内是一条连续不断的曲线,

+

+ 单调递增 故 F ( x) 在 (0, 2) 内存在零点 x0 ,这表明线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 解法二: (I)同解法一 (Ⅱ)同解法一。 (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?

f ( x)

单调递增

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ②由 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 ,此时, f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 的单调区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1,同理可得函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调 减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) (Ⅲ)当 a ? ?1 时,得 f ( x) ?
3

1 3 x ? x 2 ? 3x ,由 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3x

由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1, 3) ,所以函数 f ( x ) 在

x1 ? ?1, x2 ? 3 处取得极值,
故 M (?1, ), N (3, ?9) 所以直线 MN 的方程为 y ? ?

5 3

8 x ?1 3

1 3 x ? x 2 ? 3x 3

1 3 ? 2 ? y ? 3 x ? x ? 3x ? 3 2 由? 得 x ? 3x ? x ? 3 ? 0 ? y ? ? 8 x ?1 ? 3 ?
解得 x1 ? ?1, x2 ? 1.x3 ? 3

由 f '( x) ? x ? 2 x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 由(Ⅱ)得 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) 所以函数 f ( x ) 在 x1 ? ?1.x2 ? 3 处取得极值。 故 M (?1, ).N (3, ?9)

? x1 ? ?1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 3 ? ? ?? 5 ? 11 ? ? y1 ? 3 , ? y2 ? ? 3 , ? y3 ? ?9 ? ?
所以线段 MN 与曲线 f ( x ) 有异于 M , N 的公共点 (1, ?

5 3

11 ) 3

29.(2009 重庆卷理) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)问 5 分, (Ⅱ)问 8 分)

设函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? k( k ? 0) 在 x ? 0 处取得极值,且曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线垂 直于直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值;

时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k,+?) 上为增函数 x ? 1 ? 1 ? k,+?) ( 1 .30。(2009 重庆卷文)(本小题满分 12 分,(Ⅰ)问 7 分,(Ⅱ)问 5 分) 已知 f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) , g ( x) ? ( x ? a) f ( x) . (Ⅰ)求曲线 y ? g ( x) 有斜率为 0 的切线,求实数 a 的取值范围;

(Ⅱ)若函数 g ( x) ?

e ,讨论 g ( x) 的单调性. f ( x)

x

(Ⅱ)若当 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,确定 y ? g ( x) 的单调区间. 解: (Ⅰ)? f ( x) ? x2 ? bx ? c 为偶函数,故 f (? x) ? f ( x) 即有

解(Ⅰ)因 f ( x) ? ax2 ? bx ? k (k ? 0), 故f ?( x) ? 2ax ? b 又 f ( x ) 在 x=0 处取得极限值,故 f ?( x) ? 0, 从而 b ? 0 由曲线 y= f ( x ) 在(1,f(1))处的切线与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相互垂直可知 该切线斜率为 2,即 f ?(1) ? 2, 有2a=2,从而a=1

(? x)2 ? b(? x) ? c ? x2 ? bx ? c 解得 b ? 0
又曲线 y ? f ( x) 过点 (2,5) ,得 22 ? c ? 5, 有 c ? 1

? g ( x) ? ( x ? a) f ( x) ? x3 ? ax2 ? x ? a 从而 g ' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? 1 , ? 曲线 y ? g ( x) 有斜率
为 0 的切线, 故有 g ' ( x) ? 0 有实数解.即 3x ? 2ax ? 1 ? 0 有实数解.此时有 ? ? 4a ? 12 ≥ 0 解
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

g ( x) ?

ex (k ? 0) x2 ? k



g ?( x) ?

ex ( x2 ? 2x ? k ) (k ? 0) ( x 2 ? k )2
2

a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ?? ? ?

?

?

所以实数 a 的取值范围: a ? ??, ? 3 ? ? ? 3, ??

?

?

?

?

' (Ⅱ)因 x ? ?1 时函数 y ? g ( x) 取得极值,故有 g (?1) ? 0 即 3 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 2

令 g ?( x) ? 0, 有x ? 2 x ? k ? 0 又 g ' ( x) ? 3x2 ? 4x ? 1 ? (3x ? 1)( x ? 1) (1)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k>1时,g?(x)>0在R上恒成立,
'

令 g ' ( x) ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? ?

1 3

当 x ? (??, ?1) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (??, ?1) 上为增函数

故函数g(x)在R上为增函数

' 当 x ? ( ?1, ? ) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( ?1, ? ) 上为减函数

e x ( x ? 1)2 (2)当 ? ? 4 ? 4k ? 0, 即当k=1时, ?( x) ? 2 g ? 0( x ? 0) ( x ? k )2
K=1 时,g(x)在 R 上为增函数 (3) ? ? 4 ? 4k ? 0,即当0<k<1时, 方程 x ? 2 x ? k ? 0 有两个不相等实根
2

1 3

1 3

' 当 x ? (? , ??) 时, g ( x) ? 0 ,故 g ( x) 在 (? , ??) 上为增函数

1 3

1 3

25.(2009 湖北卷文)(本小题满分 14 分) 已知关于 x 的函数 f(x)=

x1 ? 1? 1? k , x2 ? 1? 1? k
当 x ? (??,1 ? 1 ? k )是g?( x) ? 0, 故g ( x)在(? ?,1 ? 1 ? k )上为增 函数 当 x ? 1 ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 时, g ?( x) ? 0, 故 g ( x)在( ? 1 ? k ,1 ? 1 ? k) 上为减函数 ( 1

1 x3 +bx2+cx+bc,其导函数为 f+(x).令 g(x)=∣f+(x) ∣, 3 4 ,试确定 b、c 的值: 3

记函数 g(x)在区间[-1、1]上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值-

(Ⅱ)若∣b∣>1,证明对任意的 c,都有 M>2: (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值。 本小题主要考察函数、函数的导数和不等式等基础知识,考察综合运用数学知识进行推理 论证的能力和份额类讨论的思想(满分 14 分) (I)解析

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得。
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个 假设 M ? 2 ,则

4 ? f '( x) ? ? x2 ? 2bx ? c ,由 f ( x) 在 x ? 1 处有极值 ? 3

? f '(1) ? ?1 ? 2b ? c ? 0 ? 可得 ? 1 4 ? f (1) ? ? 3 ? b ? c ? bc ? ? 3 ?
解得 ?

g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2 g (1) ?| ?1 ? 2b ? c |? 2
将上述两式相加得:

4 ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |? 4 | b |? 4 ,导致矛盾,? M ? 2
(Ⅲ)解法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b)2 ? b2 ? c | (1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

?b ? 1 ?b ? ?1 ,或? ?c ? ?1 ?c ? 3
2 2

若 b ? 1, c ? ?1 ,则 f '( x) ? ? x ? 2 x ?1 ? ?( x ?1) ? 0 ,此时 f ( x ) 没有极值; 若 b ? ?1, c ? 3 ,则 f '( x) ? ? x ? 2x ? 3 ? ?( x ? 1)( x ?1)
2

(2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x )的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?
2 由 f '(1) ? f '(?1) ? 4b, 有 f '(b) ? f '(?1) ? b(?1) ? 0

当 x 变化时, f ( x ) , f '( x) 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(??, ?3)

?3
0 极小值

(?3,1)
+

1 0 极大值

(1, ??)

①若 ?1 ? b ? 0, 则 f '(1) ? f '(?1) ? f '(b), ? g (?1) ? max ?g (1), g (b)? , 于是 M ? max ?| f '(1),| f '(b) |? ?

?
?

?
?

1 1 1 1 (| f '(1) | ? f '(b) |) ? | f '(1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

?12

?

?

4 3

②若 0 ? b ? 1 ,则 f '(?1) ? f '(1) ? f '(b), ? g (1) ? max ?g (?1), g (b)? 于是 M ? max ?| f '(?1) |,| f '(b) |? ? 综上,对任意的 b 、 c 都有 M ? 而当 b ? 0, c ?

4 ? 当 x ? 1 时, f ( x) 有极大值 ? ,故 b ? ?1 , c ? 3 即为所求。 3
(Ⅱ)证法 1: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

1 1 1 1 (| f '(?1) | ? | f '(b) |) ? | f '(?1) ? f '(b) |? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2

1 2

当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1.1] 之外。

1 1 1 2 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2 1 。 2

? f '( x) 在 [?1,1] 上的最值在两端点处取得
故 M 应是 g (?1) 和 g (1) 中较大的一个

故 M ? k 对任意的 b 、 c 恒成立的 k 的最大值为 解法 2: g ( x) ?| f '( x) |?| ?( x ? b) ? b ? c |
2 2

? 2M ? g (1) ? g (?1) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c |?| 4b |? 4, 即 M ? 2
证法 2(反证法):因为 | b |? 1 ,所以函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 之外,

(1)当 | b |? 1 时,由(Ⅱ)可知 M ? 2 ;

(2)当 | b |? 1 时,函数 y ? f '( x) 的对称轴 x ? b 位于区间 [?1,1] 内, 此时 M ? max ?g (?1), g (1), g (b)?

(

a ? a2 ? 8 , ??) 上单调递增. 2

25.(2009 安徽卷文)(本小题满分 14 分)

4M ? g (?1) ? g (1) ? 2g (h) ?| ?1 ? 2b ? c | ? | ?1 ? 2b ? c | ?2 | b2 ? c | ?| ?1 ? 2b ? c ? (?1 ? 2b ? c) ? 2(b2 ? c) |?| 2b2 ? 2 |? 2 ,即 M ?
下同解法 1 .(2009 安徽卷理)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ?

1 2

已知函数 (Ⅰ)讨论 的单调性; 在区间{1,

,a>0,

2 ? a(2 ? ln x), (a ? 0) ,讨论 f ( x) 的单调性. x

(Ⅱ)设 a=3,求

}上值域。期中 e=2.71828?是自然对数的底数。

【思路】由求导可判断得单调性,同时要注意对参数的讨论,即不能漏掉,也不能重复。第二问就
2 根据第一问中所涉及到的单调性来求函数 f ( x ) 在 ?1, e ? 上的值域。 ? ?

本小题主要考查函数的定义域、利用导数等知识研究函数的单调性,考查分类讨论的思想方法和 运算求解的能力。本小题满分 12 分。 解析

2 a x 2 ? ax ? 2 . f ( x) 的定义域是(0,+ ? ), f ?( x) ? 1 ? 2 ? ? x x x2
2

解析 令t ?

(1)由于 f ( x) ? 1 ?

2 a ? x2 x

设 g ( x) ? x2 ? ax ? 2 ,二次方程 g ( x) ? 0 的判别式 ? ? a ? 8 . 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时,对一切 x ? 0 都有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 (0, ??) 上是
2

1 得y ? 2t 2 ? at ? 1(t ? 0) x
2

①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 时, f ( x) ? 0 恒成立.

增函数。 ①当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,仅对 x ?
2

? f ( x) 在(-∞,0)及(0,+∞)上都是增函数.
②当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时
2

2 有 f ?( x) ? 0 ,对其余的 x ? 0 都有

f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数。
① 当 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 时,
2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 由 2t ? at ? 1 ? 0 得 t ? 或t ? 4 4
2

方程 g ( x) ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x2 ? , 0 ? x1 ? x2 . 2 2

?0 ? x ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 或x ?0或x? 4 4 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ?t ? ? ?x? 4 4 2 2

x
f ?( x ) f ( x)

(0, x1 )
+ 单调递增

x1
0 极 大

( x1 , x2 )
_ 单调递 减?

x2
0 极 小

( x 2 , ??)
+ 单调 递增

又由 2t ? at ? ? 0 得
2

综上①当 0 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 在 (??,0)及(0, ??) 上都是增函数.

?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ②当 a ? 2 2 时, f ( x ) 在 ( , ) 上是减函数, 2 2
在 (??, 0)(0,

此 时 f ( x ) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调递增, 在 ( , ) 是上单调递减, 在 2 2 2

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 )及( , ??) 上都是增函数. 2 2

(2)当 a ? 3 时,由(1)知 f ( x ) 在 ?1, 2? 上是减函数.
2 在 ? 2, e ? 上是增函数. ? ?

故 M ? K 对任意的 b,c 恒成立的 k 的最大值为 35.(2009 福建卷理)(本小题满分 14 分)

1 2

2 又 f (1) ? 0, f (2) ? 2 ? 3ln2 ? 0 f (e ) ? e ? 2 ? 5 ? 0 e
2 2

已知函数 f ( x) ?

1 3 x ? ax 2 ? bx ,且 f '(?1) ? 0 3

2 ? ? ? 函数 f ( x) 在 ?1, e ? 上的值域为 ? 2 ? 3l n 2, e2 ? 2 ? 5? ? ? e ? ?
2

(1) 试用含 a 的代数式表示 b,并求 f ( x ) 的单调区间; (2)令 a ? ?1 ,设函数 f ( x ) 在 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 处取得极值,记点 M ( x1 , f ( x1 ) ),N( x2 , f ( x2 ) ), P( m, f ( m) ), 并 x1 ? m ? x2 ,请仔细观察曲线 f ( x) 在点 P 处的切线与线段 MP 的位置变化趋势,

16..(2009 湖北卷理)(本小题满分 14 分) (注意:在试题卷上作答无效) ......... 在 R 上定义运算 ? : p ? q ? ?

1 ? p ? c ?? q ? b ? ? 4bc (b、c 为实常数)。记 f1 ? ? ? ? ? 2 ? 2c , 3

f2 ? ? ? ? ? ? 2b , ? ? R .令 f ? ? ? ? f1 ? ? ? ? f 2 ? ? ? .
4 ? ? ? 如果函数 f ? ? ? 在 ? ? 1 处有极什 ? 3 ,试确定 b、c 的值;

解释以下问题: (I)若对任意的 m ? ( x1 , x 2 ),线段 MP 与曲线 f(x)均有异于 M,P 的公共点,试确定 t 的最小值, 并证明你的结论; (II)若存在点 Q(n ,f(n)), x ? n< m,使得线段 PQ 与曲线 f(x)有异于 P、Q 的公共点,请直接写出 m 的取值范围(不必给出求解过程) 解法一: (Ⅰ)依题意,得 f '( x) ? x2 ? 2ax ? b 由 f '(?1) ? 1 ? 2a ? b ? 0得b ? 2a ? 1 .

? ?? ? 求曲线 y ? f ? ? ? 上斜率为 c 的切线与该曲线的公共点;
? ??? ? 记 g ? x ? ?
最大值。


f ? ? x ? | ? ?1 ? x ? 1? 的最大值为 M .若 M ? k 对任意的 b、c 恒成立,试示 k 的

当 b ?1 时,函数y ? f ?( x) 得对称轴 x=b 位于区间 [?1,1] 之外 此时 M ? max{g (?1), g (1), g (b)} 由 f ?(1) ? f ?(?1) ? 4b, 有f ?(b) ? f ?(?1) ? (b m1) ? 0
2

1 从而 f ( x) ? x3 ? ax2 ? (2a ? 1) x, 故f '( x) ? ( x ? 1)( x ? 2a ? 1). 3
令 f '( x) ? 0, 得x ? ?1或x ? 1 ? 2a. ①当 a>1 时, 1 ? 2a ? ?1 当 x 变化时, f '( x) 与 f ( x ) 的变化情况如下表: x

①若 ?1 ? b ? 0, 则f?(1)? f?(-1)? f?(b), g(-1)? max{g (?1), g (b)} ?

1 1 1 2 于是 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? ( f ?(1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 2 2
①若 0 ? b ? 1 ,则 f?(=1)? f?(1)? f?(b),?g(1)? max{g (?1), g (b)} 于是

(??,1 ? 2a)
+ 单调递增

(1 ? 2a, ?1)
- 单调递减

(?1, ??)
+ 单调递增

1 1 1 1 M ? max{ f ?(?1) , f ?(b) } ? ( f ?( ?1) ? f ?(b) ) ? ( f ?( ?1) ? f ?(b) ) ? (b ? 1) 2 ? 2 2 2 2 1 综上,对任意的 b、c 都有 M ? 2 1 1 1 2 而当, b ? 0, c ? 时, g ( x) ? ? x ? 在区间 [?1,1] 上的最大值 M ? 2 2 2

f '( x) f ( x)

由此得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) 。

②当 a ? 1 时,1 ? 2a ? ?1 此时有 f '( x) ? 0 恒成立,且仅在 x ? ?1 处 f '( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 的 单调增区间为 R ③当 a ? 1 时, 1 ? 2a ? ?1同理可得,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调 减区间为 (?1,1 ? 2a) 综上: 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??,1 ? 2a) 和 (?1, ??) ,单调减区间为 (1 ? 2a, ?1) ; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 R; 当 a ? 1 时,函数 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?1) 和 (1 ? 2a, ??) ,单调减区间为 (?1,1 ? 2a) . (Ⅱ)由 a ? ?1 得 f ( x) ?

直线 MP 的方程为 y ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

令 g ( x) ? f ( x) ? (

m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m x? ) 3 3

当 m ? 2 时, g '( x) ? x2 ? 2 x 在 (?1, 2) 上只有一个零点 x ? 0 ,可判断 f ( x ) 函数在 (?1, 0) 上单 调递增,在 (0, 2) 上单调递减,又 g (?1) ? g (2) ? 0 ,所以 g ( x) 在 (?1, 2) 上没有零点,即线段 MP 与曲线 f ( x ) 没有异于 M,P 的公共点。

1 3 x ? x 2 ? 3x 令 f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

m 2 ? 4m ? 0 . g (2) ? ?(m ? 2)2 ? 0 当 m? ? 2,3? 时, g (0) ? ? 3
所以存在 m? ? 0,2? 使得 g (? ) ? 0 即当 m? ? 2,3?时, MP 与曲线 f ( x ) 有异于 M,P 的公共点 综上,t 的最小值为 2. (2)类似(1)于中的观察,可得 m 的取值范围为 ?1,3? 解法二: (1)同解法一. (2)由 a ? ?1 得 f ( x) ? ?

由 (1) 得 f ( x ) 增区 间为 (??, ?1) 和 (3, ??) , 单 调减区 间为 (?1,3) ,所 以函数 f ( x ) 在 处

5 x1 ? ?1, x2 ? 3 取得极值,故 M( ?1, )N( 3, ?9 )。 3
观察 f ( x ) 的图象,有如下现象: ①当 m 从-1(不含-1)变化到 3 时,线段 MP 的斜率与曲线 f ( x ) 在点 P 处切线的斜率 f ( x ) 之差 Kmp- f '(m) 的值由正连续变为负。 ②线段 MP 与曲线是否有异于 H,P 的公共点与 Kmp- f '(m) 的 m 正负有着密切的关联; ③Kmp- f '(m) =0 对应的位置可能是临界点, 故推测: 满足 Kmp- f '(m) 的 m 就是所求的 t 最小

1 3 x ? x 2 ? 3 x ,令 f '( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? 0 ,得 x1 ? ?1, x2 ? 3 3

由(1)得的 f ( x ) 单调增区间为 (??, ?1) 和 (3, ??) ,单调减区间为 (?1,3) ,所以函数在处取得极 值。故 M( ?1,

5 ).N( 3, ?9 ) 3
m2 ? 4m ? 5 m2 ? 4m x? . 3 3

) 值 , 下 面 给 出 证 明 并 确 定 的 t 最 小 值 . 曲 线 f ( x ) 在 点 P( m, f ( m) 处 的 切 线 斜 率

(Ⅰ) 直线 MP 的方程为 y ?

f ' (m ) m ? 2m? ; ? 2 3
线段 MP 的斜率 Kmp ?

m 2 ? 4m ? 5 3

? m 2 ? 4m ? 5 m 2 ? 4m y? x? ? ? 3 3 由? 1 3 ? y ? x ? x 2 ? 3x ? 3 ?

得 x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m ? 0 当 Kmp- f '(m) =0 时,解得 m ? ?1或m ? 2 线段 MP 与曲线 f ( x) 有异于 M,P 的公共点等价于上述方程在(-1,m)上有根,即函数
g ( x) ? x3 ? 3x2 ? (m2 ? 4m ? 4) x ? m2 ? 4m在(-1,m) 上有零点.

因为函数 g ( x) 为三次函数,所以 g ( x) 至多有三个零点,两个极值点. 又 g (?1) ? g (m) ? 0 .因此, g ( x) 在 (?1, m) 上有零点等价于 g ( x) 在 (?1, m) 内恰有一个极大值点和一个 极小值点,即 g '( x) ? 3x2 ? 6 x ? (m2 ? 4m ? 4) ? 0在(1, m) 内有两不相等的实数根.
??=36 ? 12 m2 ? 4m ? 4)>0 ( ? 2 2 ?3(?1) ? 6 ? (m ? 4m ? 4) ? 0 等价于 ? 2 2 ?3m ? 6m ? (m ? 4m ? 4) ? 0 ?m ? 1 ?
??1 ? m ? 5 ? 即 ?m ? 2或m ? ?1, 解得2 ? m ? 5 ?m ? 1 ?

? k ? ?1, b ? R, 即所求一次函数为 f ( x) ? ? x ? b(b ? R) ………..10 分
(3)设 a ? 0 , x0 ? 0 ,且点 ( x0 , y0 ) 在 y ? f (ax) 图像上,则 ( y0 , x0 ) 在函数 y ? f ?1 (ax) 图象上,



f (ax0 ) ? y0 ,可得 ay0 ? f ( x0 ) ? af (ax0 ) ,

......12 分

又因为 ?1 ? m ? 3 ,所以 m 的取值范围为(2,3) 从而满足题设条件的 r 的最小值为 2.

f ?1 (ay0 ) ? x0
令 ax0 ? x ,则 a ?

( 2009 年上 海 卷 理 )已知 函 数 y ? f ( x) 的 反 函 数 。 定 义: 若 对 给 定 的实 数 a(a ? 0) , 函 数

x f ( x0 ) x x 。? f ( x0 ) ? 。 f ( x) ,即 f ( x ) ? 0 x x0 x0

......14 分

y ? f ( x ? a) 与 y ? f ?1 ( x ? a) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 和性质”;若函数 y ? f (ax)
与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数,则称 y ? f ( x) 满足“ a 积性质”。 (1) 判断函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 是否满足“1 和性质” ,并说明理由;
2

综上所述, 1 ? b1qn?1 ? bn f ( x) ? 而f
?1

k k k (k ? 0) ,此时 f (ax) ? ,其反函数就是 y ? , x ax ax

(ax) ?

k ,故 y ? f (ax) 与 y ? f ?1 (ax) 互为反函数 。 ax

(2) 求所有满足“2 和性质”的一次函数; (3) 设函数 y ? f ( x)( x ? 0) 对任何 a ? 0 ,满足“ a 积性质” 。求 y ? f ( x) 的表达式。 解 (1)函数 g ( x) ? x 2 ? 1( x ? 0) 的反函数是 g ?1 ( x) ?

x ?1( x ? 1)

? g ?1 ( x ?1) ? x ( x ? 0)
而 g ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 1( x ? ?1), 其反函数为 y ?
2

x ?1 ?1( x ? 1)

故函数 g ( x) ? x ? 1( x ? 0) 不满足“1 和性质”
2

(2)设函数 f ( x) ? kx ? b( x ? R) 满足“2 和性质”, k ? 0.

x ?b x ? 2?b ( x ? R),? f ?1 ( x ? 2) ? …….6 分 k k x ? b ? 2k 而 f ( x ? 2) ? k ( x ? 2) ? b( x ? R), 得反函数 y ? ………….8 分 k x ? 2 ? b x ? b ? 2k 由“2 和性质”定义可知 = 对 x ? R 恒成立 k k ? f ?1 ( x) ?


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