1.2.1 函数的概念(9.15)_图文

1、认识:数学是一门有趣而又严谨的课程,也一 直是我喜欢的课程。 建议:希望老师能与学生成为朋友,而不是学 生畏惧的对象,老师讲课能够细致入微,不要错 过一些常用但不算重点的公式之类的,在讲课余 能给我们普及一些课外知识或者一些名人的成长 历程等,使我们放松又能够激励我们的知识。

2、除页子外,可以统一购买一本辅导书并加以讲 解,简单的题可以少布置,数学一开始不要讲太 快。重要的知识点最好可以板书。作业如果因不 会而空题,希望可以给与讲解。

1.2.1 函数的概念

f :A→B y=f(x), x ? A

主讲教师:

计算天体的位置,用到了函数

炮弹的速度对于高度和射程的影响用到了函数

远距离航海中对经度与纬度的测量用到函数

新课导入
初中时的函数定义:
设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对
于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应,那么就 说y是x的函数,x叫做自变量. 初中学过的函数: 一次函数 二次函数 反比例函数
y = ax + b(a ? 0) y = ax 2 + bx + c(a ? 0) k y = (k ? 0) x

观察实例:
1.一枚炮弹发射后,经过26s落到地面击中目标, 炮弹的射高为845m,且炮弹距离地面的高度h(单位: m)随时间t(单位:s)变化的规律是 2 * h = 130t - 5t . 注意: 时间t的变化范围是数集A={t︱0≤t ≤26}, 高度h的变化范围是数集B={h ︱0≤h ≤845}. 根据问题的实际意义,对于数集A中的任意一个 时间t,按照对应关系*,在数集B中都有唯一确定 的高度h和它对应.

2.某城市一天各个时刻的温度情况,如图:

注意: 时刻t的变化范围是数集A={t︱0≤t ≤24}, 温度T的变化范围是数集B={T︱-2 ≤T ≤10}.

对于数集A中的每一个时刻t,都有唯一确定的温 度T和它对应.

3.国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活 水平质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高。 表1中恩格尔系数随时间(年)变化的情况表明, “八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生 了显著变化. 表1“八五”以来中国城镇居民恩格尔系数变化情况

思考表中恩格尔系数与时间(年)的关系?

注意: 时间t的变化范围是数集A={t︱1991≤t ≤2001} 恩格尔系数k的变化范围是数集 B={k︱37.9 ≤k ≤53.8}. 对于数集A中每个年份t,在数集B中都有唯一确 定的恩格尔系数与它对应. 对于集合A中的每个x,按照某种关系f,在数集 以上例子中,变量之间的关系有什么 B中都有唯一确定的y与它对应。 共同的特点呢? 记作:f: A→B.

新知讲解
设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到B的一个函数.记作 y=f(x),x∈A 其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域 与x的值相对应的y值叫做函数值, 函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.

注 意
(1)要求必须是非空数集A,B; (2)必须是集合A中的任意一个x; (3)必须是在集合B中有唯一确定的数与之相对应; (4) “y= f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示, 如“y= g(x)”; (5)函数符号“y= f(x)”中的 f(x)表示与x对应的函数 值,而不是f乘x.

下列图像中能不能作为函数y=f(x)的图像?
y
2

y
2

0

2

x

0

2

x

×

y

y
2

×

2

0

2

x

0

2

x

思考
下列函数的定义域,对应关系,值域.

1.y = ax + b(a ? 0)
定义域是R,值域是R 对于R中的任意一个数x,在R中都有唯一确定 的数y=ax+b(a≠0)和它对应.

2.y = ax + bx + c(a ? 0)
2

定义域是R,值域是集合B,当a>0时,B={y︱ 4ac - b 2 4ac - b 2 y≥ },当a<0时,B={y︱y≤ }. 4a 4a 对于R中的任意一个数x,在B中都有唯一确定的 构成函数的三要 2 y = ax + bx + c(a ? 0) 和它对应.

3.y =

素是定义域、对应关 k 系和值域 .

x

(k ? 0)

定义域是A={ x ? R︱x≠0 },值域是B={y|y≠0} 对于集合A中的每一个x,在B中都有唯一确定的 值y =
k (k ? 0) 与它对应. x

例题详解
例1 求下列函数的定义域

1 (1)f(x) = ; (2)f(x) = x- | x |

1 x+2 + . 10 - x
x ? 0 ,即使分

解:(1)使

1 xx - x 有意义,就是

数有意义的集合是{x︱x<0},所以这个函数的定义
域就是{x︱x<0}. (2)使根式 x + 2 有意义的实数的集合是{x︱x≥-2}, 1 使分式 成立的实数的集合是 {x ︱ x≠10}. 所以,这 10 - x 个函数的定义域就是

{x︱x≥-2} ? {x︱x≠10}={x︱x ≥-2,且x≠10} .

用实心点表示包括在区 与函数相关的概念——区间 间内的端点,用空心点表示 不包括在区间内的点.

定义
{x︱a≤x≤b}

名称
闭区间

符号
[a,b]

数轴表示
a a b b

{x︱a<x<b}
{x︱a≤x<b}

开区间
半开半 闭区间

(a,b)
[a,b)

a

b

{x︱a<x≤b}

半开半 闭区间

(a,b]

a

b

做一做
集合 R {x︱x≥a} 符号 (-∞,+ ∞) [a,+ ∞) (a,+ ∞ )
a a b b

数轴表示

{x︱x>a}
{x︱x ≤ b} {x︱x < b}

(- ∞,b]
(- ∞,b)

注 意
(1)区间是集合; (2)区间的左端点小于右端点; (3)区间中的元素都是点,可以用数字表示; (4)任何区间都可以在数轴上表示出来; (5)以“-∞”,“+∞”为区间的一端时,这一端必 须是小括号. 例如(-∞,100]

例2 已知函数 f(x) = 3- x + x +1 -1
(1)求f(-1),f(0)的值; (2)当-1≤a ≤ 3时,求f(a)的值.

解: (1)f(-1) = 3-(-1) + (-1) +1 -1 = 1

f(0) = 3- 0 + 0 +1 -1 = 3

(2)f(a) = 3 - a + a +1 -1

例3 设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求 它的面积关于x的函数的解析式,并写出定义域. 解: 由题意知,另一边长为 数,所以0<x<40. 80 - 2x ?x 所以面积s=
2
80 - 2x 且边长为正 2

= (40-x)x (0<x<40)

几类函数的定义域:
(1)如果f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R .

(2)如果f(x)是分式,那么函数的定义域是 使分母不等于零的实数的集合 . (3)如果f(x)是二次根式,那么函数的定义域是 使根号内的式子大于或等于零的实数的集合. (4)如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的, 那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合 .(即求各集合的交集). (5)满足实际问题有意义.

知识要 点
判断两个函数相等:

1 .构成函数三个要素是定义域、对应关系和值
域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以, 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称 这两个函数相等(或为同一函数). 2. 与表示自变量和函数值的字母无关.

例4 判断下列函数f(x)与g(x)是否表示同 一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x; g ( x ) = x 2
解: ① f ( x ) = (x -1) 0 =1,其定义域与 g ( x ) = 1 的定义域不相同,所以这两个函数不相等. ② f ( x ) = x与函数g ( x ) = x 的定义域都是实数R, 但是当x<0时,它们的对应关系不相同。所以这两 个函数不相等.
2

到现在为止,我们在初中学习的基础上,运用 集合和对应的语言刻画了函数的概念,并引进了符 号y=f(x),明确了函数的构成要素.通过比较两个函数 的定义,你对函数有什么新的认识? 这两种定义在实质上是一致的,不同的只是 叙述的出发点不同,初中给出的定义是从运动变 化的观点出发,而现在所给的定义是从集合、对 应的观点出发.

随堂练习

?x + 2, x ? 1 1.已知函数 f(x) = ? , 求 f(2), f[f(2)]. ?-x + 1, x > 1
解:∵2>1
∴f(2)=-x+1 = -2+1 = -1 f[f(2)]=f(-1)=-1+2=1

2.求下列函数的定义域.

(1)f(x) =

1 1 1+ x -1

x+2 (2)f(x) = x +1

解:(1)使分式有意义的实数集合是

1 {x∣ 1+ ? 0 且x≠1 },所以此函数的定义 x -1
域为{x ∣ x≠0且x≠1 } . ( 2 )使根式成立的实数集合是{x∣x≥-2},使分式 有意义的实数集合{x∣x≠-1}所以此函数的定义 域为{x ∣ x≥-2且x≠-1}.

(3)y = 1- x + x -1
解:(3)使根式 1- x2 成立的实数集合是{x∣-1≤x ≤1}, 使根式 x2 -1 成立的实数集合是{x ∣x ≧1或x ≤-1}
所以此函数的定义域为 {x∣-1≤x ≤1} ∩ {x ∣x ≧1或x ≤-1}={x=1或x=-1}.

2

2

3.已知函数f(x+1)的定义域为[-2,3],则f(x-2)的定 [1,6] 义域是_________.

两个函数相等当 且仅当它们的定义域 4.判断下列函数是否相等,为什么? 和对应关系完全一致. 2 2 与表示自变量和函数 (1)f(x) = x ;f(x) = (x +1) . 值的字母无关.

(2)f(x) = x ;g(x) = x2 .
解:(1)这两个函数的对应关系不一样,所
以这两个函数是不相等的. (2)g (x)=∣x ∣,这两个函数对应关系是一 样的,它们的定义域也相同,所以这两个函数 相等.

(3)y = x;y = x .
?x, x > 0 (3)y = x = x = ? ?-x, x < 0
2

2

显然这两个函数的定义域都是实数集R,但是当

x<0时,它们的对应关系不相同,所以这两个函数
不相等.

课堂小结

1.函数的概念 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对 应关系f,使对集合A中的任意一个数x,在集合B中 都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f: A→B为从集合A到B的一个函数.记作 y=f(x),x∈A 其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域, 与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合 {f(x)|x∈A} 叫做函数的值域.

与函数相关的概念——区间
定义 名称 符号 数轴表示
a a b b

{x︱a≤x≤b}
{x︱a<x<b} {x︱a≤x<b} {x︱a<x≤b}

闭区间
开区间 半开半 闭区间 半开半 闭区间

[a,b]
(a,b) [a,b) (a,b]

a

b

a

b

2.构成函数的三要素
定义域、对应关系和值域. 3.判断两个函数相等 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全 一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.

课后作业

函数的概念 导学案 明天早自习后、上午第一节课前交!

1.2.1


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