2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷(解析版)

2016 年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合 B={x|1<x≤3},则 A∪B=_______. 2.已知 i 为虚数单位,复数 z=2i+ ,则复数 z 的模为_______.

3.命题“? x≥0,使 x(x+3)≥0”的否定是_______. 4.执行如图程序:

输出的结果 S 是_______. 5.在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y) ,则|x|+y≤0 的概率为_______. 6.底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为_______. 7.函数 f(x)=6cos2 + sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象

的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形,则 ω=_______.

8.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

则 tan∠AOB 的最

大值等于_______. 9.x≥0,y>0,x+y≤2,则 10.已知 sin( +α)+sinα= + 最小值_______. )的值是_______.

,则 sin(α+

11. 设点 P 为双曲线



=1 b>0) F1, F2 分别是左右焦点, I 是△PF1F2 (a>0, 上一点,

的内心,若△IPF1,△IPF2,△IF1F2 的面积 S1,S2,S3 满足 2(S1﹣S2)=S3,则双曲线的 离心率为_______. 12.已知函数 f(x)=x|x﹣a|,若对任意 x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2 恒有 ,则实数 a 的取值范围为_______.

13.已知 O 为△ABC 的垂心,且 +2 +3 = ,则 A 角的值为_______. 14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=4028,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为_______. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤. 15.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱,BC=CC1=4,D 是 A1C1 中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 B1CD; (Ⅱ)求点 B 到平面 B1CD 的距离.

16.已知△ABC 中, (1)求 f(x)解析式及定义域; (2)设 g(x)=6m?f(x)+1, 为

,记



,是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域

?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

17.如图,某广场为一半径为 80 米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域 OAB 内建两个 圆形花坛, 该扇形的圆心角为变量 2θ (0<2θ<π) , 其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形, 半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切,且与 OA、OB 相切. (1)求半径较大的花坛⊙P 的半径(用 θ 表示) ; (2)求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值.

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)上顶点 A(0,2) ,右焦点 F(1,0) ,设椭圆上任一点

到点 M(0,6)的距离为 d. (1)求 d 的最大值; (2)过点 F 的直线交椭圆于点 S,T 两点,P 为准线 l 上一动点. ①若 PF⊥ST,求证:直线 OP 平分线段 ST; ②设直线 PS,PF,PT 的斜率分别为 k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3 成等差数列.

19.已知函数 f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0. (1)当 a=﹣ ,c= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c= +1 时,若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 f(x)的图象在点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) )两处的切线分别为 l1、l2.若 x1= ,x2=c,且 l1⊥l2,求实数 c 的最小值.

20.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数 列{Pn},称{Pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3 满足 a1>a3>a2,则其序数列{Pn} 为 1,3,2. (1)求证:有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列; (2)若项数不少于 5 项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别是 bn=n?( )n(n∈N*) , cn=﹣n2+tn(n∈N*) ,且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数 t 的取值范围; (3)若有穷数列{dn}满足 d1=1,|dn+1﹣dn|=( )n(n∈N*) ,且{d2n﹣1}的序数列单调减, {d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式. 附加题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两个) 21.如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 D,AC⊥CD,DE⊥AB,C、E 为 垂足,连接 AD,BD.若 AC=4,DE=3,求 BD 的长.

附加题[选修 4-2:矩阵与变换]

22.已知矩阵 M= 式.

,N=

,试求曲线 y=sinx 在矩阵(MN)﹣1 变换下的函数解析

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l: 右焦点 F. (1)求 m 的值; (2)当 α= 时直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求 FA?FB 的值. (t 为参数)恒经过椭圆 C: (φ 为参数)的

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知正实数 a,b,c 满足 a+b2+c3=1,求证: ≥27.

解答题 25.自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调 整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不 开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18 4 8 16 20 26 有生育意愿家庭数 (1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意 愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位 根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ξ 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ξ 的分布及期望. 26.在数列|an|中,a1=t﹣1,其中 t>0 且 t≠1,且满足关系式:an+1(an+tn﹣1)=an(tn+1 ﹣1) , (n∈N+) (1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之; (2)求证:an+1>an, (n∈N+) .

2016 年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡相应的位 置上. 1.已知集合 A={x|x2﹣x﹣2≤0},集合 B={x|1<x≤3},则 A∪B= {x|﹣1≤x≤3} . 【考点】并集及其运算. 【分析】求解一元二次不等式化简集合 A,然后直接利用并集运算得答案. 【解答】解:由 x2﹣x﹣2≤0,解得﹣1≤x≤2. ∴A={x|﹣1≤x≤2}, 又集合 B={x|1<x≤3}, ∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}, 故答案为:{x|﹣1≤x≤3},

2.已知 i 为虚数单位,复数 z=2i+

,则复数 z 的模为



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出. 【解答】解:复数 z=2i+ 则复数|z|= 故答案为: . = . =2i+ =2+i,

3.命题“? x≥0,使 x(x+3)≥0”的否定是 ? x≥0,x(x+3)<0 . 【考点】命题的否定. 【分析】根据命题“? x≥0,使 x(x+3)≥0”是特称命题,其否定为全称命题,即? x≥0, 使 x(x+3)<0,从而得到答案. 【解答】解:∵命题“? x≥0,使 x(x+3)≥0”是特称命题 ∴否定命题为? x≥0,x(x+3)<0, 故答案为:? x≥0,x(x+3)<0 4.执行如图程序:

输出的结果 S 是 880 . 【考点】循环结构. 【分析】模拟执行程序代码,依次写出每次循环得到的 S,I 的值,当 I=10 时,结束循环, 从而得解.

【解答】解:模拟执行程序代码,可得 S=1, I=1,执行循环体,S=2, I=4,执行循环体,S=10 I=7,执行循环体,S=80 I=10,执行循环体,S=880 输出 S 的值为 880. 故答案为:880. 5.在圆 x2+y2=4 所围成的区域内随机取一个点 P(x,y) ,则|x|+y≤0 的概率为



【考点】几何概型. 【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出(x,y)对应图形的面积,及 满足条件|x|+y≤0 的点对应的图形的面积,然后再结合几何概型的计算公式进行求解. 【解答】解:如图所示,满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积, ∵|x|+y≤0, ∴扇形的圆心角为 90°, ∵R=2, ∴S 阴影= ×4π=π,圆的面积为 4π, 故|x|+y≤0 的概率为 故答案为: = ,

6.底面边长和高都为 2 的正四棱锥的表面积为 4+4



【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为 2,高为 2,求出棱锥的侧高,进而求出棱锥的侧 面积,加上底面积后,可得答案. 【解答】解:如下图所示:正四棱锥 S﹣ABCD 中,AB=BC=CD=AD=2,S0=2,E 为 BC 中 点,

在 Rt△SOE 中,OE= AB=1, 则侧高 SE= = ,

故棱锥的表面积 S=2×2+4×( ×2× 故答案为:4+4 .

)=4+4



7.函数 f(x)=6cos2

+

sinωx﹣3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象 .

的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形,则 ω=

【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简 f(x) ,由正三角形知道高和底,由此知道周 期,得到 ω. 【解答】解:∵f(x)=6cos2 =3cosωx+ sinωx=2 sin(ωx+ + sinωx﹣3(ω>0) ) , ,BC=4,

∵△ABC 为正三角形,∴△ABC 的高为 2 ∴周期 T=8,∵T= ∴ω= . =8

8.已知 O 为坐标原点,A,B 两点的坐标均满足不等式组

则 tan∠AOB 的最

大值等于



【考点】简单线性规划. 【分析】先根据约束条件画出可行域,只需求出 A,B 在图中的位置,∠AOB 最大,即 tan ∠AOB 最大即可. 【解答】解:作出可行域,则 A、B 在图中所示的位置时,∠AOB 最大,即 tan∠AOB 最 大, 由题意可得 A(1,2) ,B(2,1) ∴KOA=tan∠AOM=2,KOB=tan∠BOM= ∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM, ∴tan∠AOB=tan(∠AOM﹣∠BOM) =

=

= ,

所以 tan∠AOB 的最大值为 , 故答案为: .

9.x≥0,y>0,x+y≤2,则 【考点】基本不等式.

+

最小值



【分析】由条件可得[(x+2y)+(2x+y)]( 本不等式和不等式的性质,即可得到所求最小值. 【解答】解:x≥0,y>0,x+y≤2,可得 [(x+2y)+(2x+y)]( ≥5+2 =9, + )=5+

+

)=5+

+

,运用基

+

可得 =

+ ≥



当且仅当 2(2x+y)=x+2y,即 x=0,y=2 时,取得最小值 . 故答案为: .

10.已知 sin(

+α)+sinα=

,则 sin(α+

)的值是 ﹣



【考点】两角和与差的正弦函数. 【分析】由条件利用两角和差的正弦公式,求得 sin(α+ sin(α+ )=﹣sin(α+ )的值. cosα+ sinα+sinα= ( cosα+ sinα) = sin (α+ ) )的值,再利用诱导公式求得

【解答】 解: ∵sin ( = ,

+α ) +sinα=

∴sin(α+

)= ,故 sin(α+

)=﹣sin(α+

)=﹣ ,

故答案为:﹣ .

11. 设点 P 为双曲线



=1 b>0) F1, F2 分别是左右焦点, I 是△PF1F2 (a>0, 上一点,

的内心,若△IPF1,△IPF2,△IF1F2 的面积 S1,S2,S3 满足 2(S1﹣S2)=S3,则双曲线的 离心率为 2 . 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】先根据题意作出示意图,利用平面几何的知识利用三角形面积公式,代入已知式 2 (S1﹣S2)=S3,化简可得|PF1|﹣|PF2|= |F1F2|,再结合双曲线的定义与离心率的公式, 可求出此双曲线的离心率. 【解答】解:如图,设圆 I 与△PF1F2 的三边 F1F2、PF1、 PF2 分别相切于点 E、F、G,连接 IE、IF、IG, 则 IE⊥F1F2,IF⊥PF1,IG⊥PF2, 它们分别是△IF1F2,△IPF1,△IPF2 的高, ∴S1= |PF1|?|IF|= |PF1|r, S2= |PF2|?|IG|= |PF2|r,

S3= |F1F2|?|IE|= |F1F2|r, 其中 r 是△PF1F2 的内切圆的半径. ∵S1﹣S2= S3, ∴ |PF1|﹣ |PF2|= |F1F2|, 两边约去 得:|PF1|﹣|PF2|= |F1F2|, 根据双曲线定义,得|PF1|﹣|PF2|=2a,|F1F2|=2c, ∴2a=c? 离心率为 e= =2. 故答案为:2.

12.已知函数 f(x)=x|x﹣a|,若对任意 x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2 恒有 ,则实数 a 的取值范围为 [3,+∞) . 【考点】分段函数的应用. 【分析】根据凸函数和凹函数的定义,作出函数 f(x)的图象,利用数形结合进行求解即 可. 【解答】解:满足条件有 的函数为凸函数,

f(x)=

,作出函数 f(x)的图象,

由图象知当 x≤a 时,函数 f(x)为凸函数,当 x≥a 时,函数 f(x)为凹函数, 若对任意 x1∈[2,3],x2∈[2,3],x1≠x2 恒有 则 a≥3 即可, 故实数 a 的取值范围是[3,+∞) , 故答案为:[3,+∞) ,

13.已知 O 为△ABC 的垂心,且

+2

+3

= ,则 A 角的值为



【考点】向量的线性运算性质及几何意义. BC 的中点分别为 E, F; 【分析】 取 AC, 化简可得 2 |AB|=6x, |AC|=|EC|=

+4

=0, 从而记|

|=x, 则|

|=2x,

, |EH|=2xcosA, 从而可得

=cosA, 从而解得.

【解答】解:∵ +2 +3 = , ∴ + +2 +2 = , 取 AC,BC 的中点分别为 E,F; ∴2 +4 =0, 记| |=x,则| |=2x, |AB|=6x,|AC|=|EC|= ,|EH|=2xcosA,



=cosA,



=2cosA, 或 cosA=﹣ (舍去) ,

解得 cosA= 故 A= ,

故答案为:



14.设各项均为正整数的无穷等差数列{an},满足 a54=4028,且存在正整数 k,使 a1,a54, ak 成等比数列,则公差 d 的所有可能取值之和为 301 . 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由题意和等差数列的通项公式得 a1+53d=4028,由 d 为正整数得 a1 是 53 的倍数, 由等比中项的性质列出式子:a542=a1ak=4×4×19×19×53×53,对 a1 分类讨论,分别化简 后结合题意可得结论. 【解答】解:由题意得 a54=4028,则 a1+53d=4028, 化简得 +d=76,

∵d 为正整数,∴a1 是 53 的倍数, ∵a1,a54,ak 成等比数列, ∴a542=a1ak=4×4×19×19×53×53,且 an 是整数, (1)若 a1=53,53+53d=4028,解得 d=75, 此时 ak=4×4×19×19×53=53+75(k﹣1) ,得 k=4081,成立, (2)若 a1=2×53,106+53d=4028,解得 d=74, 此时 ak=2×4×19×19×53=2×53+74(k﹣1) ,得 k=2886,成立, (3)若 a1=3×53,159+53d=4028,解得 d=73, 此时 ak= (4×4×19×19×53)不是整数,舍去, (3)若 a1=4×53,212+53d=4028,解得 d=72, 此时 ak=4×19×19×53=4×53+72(k﹣1) ,得 k=1060,成立, (4)若 a1=16×53=848,848+53d=4028,得 53d=3180,d=60, 此时 ak=19×19×53=16×53+60(k﹣1) ,得 k 不是整数,不成立, (5)若 a1=19×53=1007,1007+53d=4028,得 53d=3021,d=57, 此时 ak=4×4×19×53=19×53+57(k﹣1) ,得 k=265,成立, (6)若 a1=53×53=2809,2809+53d=4028,得 53d=1219,d=23, 此时 ak=4×4×19×19=53×53+72(k﹣1) ,得 k=129,成立, d 75 74 72 ∴公差 的所有可能取值之和为 + + +57+23=301. 故答案为:301. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明或演算步骤.

15.如图,三棱柱 ABC﹣A1B1C1 为正三棱柱,BC=CC1=4,D 是 A1C1 中点. (Ⅰ)求证:A1B∥平面 B1CD; (Ⅱ)求点 B 到平面 B1CD 的距离.

【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)设 BC1∩B1C 于点 E,连 DE,利用三角形的中位线性质,证明 DE∥A1B,即 可证明 A1B∥平面 B1CD; (Ⅱ)利用等体积,求点 B 到平面 B1CD 的距离. 【解答】证明: (Ⅰ)设 BC1∩B1C 于点 E,连 DE, ∵在△A1BC1 中,D 为 A1C1 的中点,E 为 BC1 的中点, ∴DE∥A1B, ∵DE? 平面 B1CD,A1B?平面 B1CD, ∴A1B∥平面 B1CD. =2 ,B1C=4 , (Ⅱ)解:△B1CD 中,B1D=CD= ∴ = =4 . h= ,

设点 B 到平面 B1CD 的距离为 h,则 ∴h= .

16.已知△ABC 中, (1)求 f(x)解析式及定义域; (2)设 g(x)=6m?f(x)+1, 为

,记



,是否存在正实数 m,使函数 g(x)的值域

?若存在,请求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

【考点】平面向量数量积的运算;正弦函数的定义域和值域;正弦定理. 【分析】 (1) ,结合正弦定理,可以表示出 BC、AB 边的

长,根据边长为正,可求出 x 的取值范围,即定义域,同时我们不难给出求 f(x)解析式. (2)由(1)的结论写出 g(x)的解析式,并求出 g(x)的值域(边界含参数) ,利用集合 相等,边界值也相等,易确定参数的值.

【解答】解: (1)由正弦定理有:

∴ = (2)g(x)=6mf(x)+1= 假设存在实数 m 符合题意,∵ ,∴ . 因为 m>0 时, 又 g(x)的值域为 ∴存在实数 ,解得 ; . 的值域为(1,m+1].

,使函数 f(x)的值域恰为

17.如图,某广场为一半径为 80 米的半圆形区域,现准备在其一扇形区域 OAB 内建两个 圆形花坛, 该扇形的圆心角为变量 2θ (0<2θ<π) , 其中半径较大的花坛⊙P 内切于该扇形, 半径较小的花坛⊙Q 与⊙P 外切,且与 OA、OB 相切. (1)求半径较大的花坛⊙P 的半径(用 θ 表示) ; (2)求半径较小的花坛⊙Q 的半径的最大值.

【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 【分析】 (1)设⊙P 切 OA 于 M,⊙Q 切 OA 于 N,记⊙P、⊙Q 的半径分别为 rP、rQ.可 得|OP|=80﹣rP,由此求得 rP 的解析式. (2)由|PQ|=rP+rQ,求得 rQ= 求得 rQ=80(﹣1﹣ (0<θ< ) .令 t=1+sinθ∈(1,2) ,

+ ) ,再利用二次函数的性质求得它的最大值.

【解答】解: (1)设⊙P 切 OA 于 M,连 PM,⊙Q 切 OA 于 N,连 QN, 记⊙P、⊙Q 的半径分别为 rP、rQ.

∵⊙P 与⊙O 内切,∴|OP|=80﹣rP, ∴ +rP=80,∴rP= (0<θ< ﹣ ) . ) . =rP+rQ,

(2)∵|PQ|=rP+rQ∴|OP|﹣|OQ|= ∴rQ= (0<θ<

令 t=1+sinθ∈(1,2) ,∴rQ=80?

=80(﹣1﹣

+ ) ,

令 m= ∈( ,1) ,rQ=80(﹣2m2+3m﹣1) ,∴m= 时,有最大值 10.

18.已知椭圆

+

=1(a>b>0)上顶点 A(0,2) ,右焦点 F(1,0) ,设椭圆上任一点

到点 M(0,6)的距离为 d. (1)求 d 的最大值; (2)过点 F 的直线交椭圆于点 S,T 两点,P 为准线 l 上一动点. ①若 PF⊥ST,求证:直线 OP 平分线段 ST; ②设直线 PS,PF,PT 的斜率分别为 k1,k2,k3,求证:k1,k2,k3 成等差数列.

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1)由题意可得 b=2,c=1,解得 a,可得椭圆的方程,设椭圆上一点(m,n) ,代 入椭圆方程,再由两点的距离公式,化简整理可得 n 的二次函数,即可得到所求最大值; (2)①当过点 F(1,0)的直线的斜率不存在,显然成立;当过点 F 的直线的斜率存在, 设为 x=my+1,代入椭圆方程 4x2+5y2=20,运用韦达定理和中点坐标公式,可得 ST 的中点

Q 的坐标,再由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得 n=﹣4m,由直线的斜率公式即 可得证; ②由①可得 k2= ,运用两点的斜率公式,计算 k1+k3,运用点满足直线方程,化简整理, 代入韦达定理,结合等差数列的中项的性质即可得证. 【解答】解: (1)由题意可得 b=2,c=1,a= = ,

可得椭圆方程为

+

=1, =1,即 m2=5(1﹣

设椭圆上一点(m,n) ,可得

+

) ,

即有 d=

=

=

=



由于﹣2≤n≤2,可得 n=﹣2 时,d 取得最大值 8; (2)①证明:当过点 F(1,0)的直线的斜率不存在,即为 x=1, 显然有直线 OP 平分线段 ST; 当过点 F 的直线的斜率存在,设为 x=my+1, 代入椭圆方程 4x2+5y2=20,可得 (4m2+5)y2+8my﹣16=0, 设 S(x1,y1) ,T(x2,y2) ,可得 y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ , (*) ,﹣ ) ,

线段 ST 的中点 Q 坐标为( 由椭圆的准线方程可得 l:x=5,

设 P(5,n) ,即有直线 OP 的斜率为 , 由 PF⊥ST,可得 kPF= =﹣m,即 n=﹣4m, ,

可得直线 OP 的斜率和直线 OQ 的斜率相等,且为﹣ 则直线 OP 平分线段 ST; ②证明:由①可得 k2= , k1+k3= =

+

+

=



代入(*) ,可得 k1+k3= 即有 k1+k3=2k2,则 k1,k2,k3 成等差数列.

= ,

19.已知函数 f(x)=alnx+(x﹣c)|x﹣c|,a<0,c>0. (1)当 a=﹣ ,c= 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)当 c= +1 时,若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)设函数 f(x)的图象在点 P(x1,f(x1) ) 、Q(x2,f(x2) )两处的切线分别为 l1、l2.若 x1= ,x2=c,且 l1⊥l2,求实数 c 的最小值.

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (1)求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系,即可求 f(x)的单调区 间; (2)若 f(x)≥ 对 x∈(c,+∞)恒成立,则只需求出 f(x)的最小值即可; (3)由 l1⊥l2 知, ,得到 ,分类讨论,再由

导数与单调性的关系,即可得到实数 c 的最小值. 【解答】解:函数 ,求导得



(1)当



时,





,则

恒成立,所以 f(x)在

上单调减;

若 当 当

,则 时,f′(x)<0,f(x)在 时,f′(x)>0,f(x)在

,令 f′(x)=0,解得 上单调减; 上单调增.



(舍) ,

所以函数 f(x)的单调减区间是 (2)当 x>c, 时,

,单调增区间是 ,而

. ,所以

当 c<x<1 时,f′(x)<0,f(x)在(c,1)上单调减; 当 x>1 时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上单调增. 所以函数 f(x)在(c,+∞)上的最小值为 所以 又由 恒成立,解得 a≤﹣1 或 a≥1, ,得 a>﹣2,所以实数 a 的取值范围是(﹣2,﹣1]. ,而 ,则 , ,

(3)由 l1⊥l2 知,



,则

,所以



解得

,不符合题意;



,则



整理得,

,由 c>0 得,





,则

,t>2,所以



设 当 当

,则 时,g′(t)<0,g(t)在 时,g′(t)>0,g(t)在

, 上单调减; 上单调增. ,故实数 c 的最小值为 .

所以,函数 g(t)的最小值为

20.已知有穷数列{an}各项均不相等,将{an}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数 列{Pn},称{Pn}为{an}的“序数列”,例如数列:a1,a2,a3 满足 a1>a3>a2,则其序数列{Pn} 为 1,3,2. (1)求证:有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列;

(2)若项数不少于 5 项的有穷数列{bn},{cn}的通项公式分别是 bn=n?( )n(n∈N*) , cn=﹣n2+tn(n∈N*) ,且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同,求实数 t 的取值范围; (3)若有穷数列{dn}满足 d1=1,|dn+1﹣dn|=( )n(n∈N*) ,且{d2n﹣1}的序数列单调减, {d2n}的序数列单调递增,求数列{dn}的通项公式. 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)由题意,分别证明充分性和必要性.其中,充分性证明即若有穷数列{an}的序 数列{Pn}为等差数列,则有穷数列{an}为单调数列,分别讨论{Pn}为递增数列时,数列{an} 的特点是项由大到小依次排列,得到有穷数列{an}为单调递减数列; 同理{Pn}为递减数列,有穷数列{an}为单调递增数列.必要性证明同样需将有穷数列{an}分 为递增和递减来讨论,最后得出其序数列{Pn}为等差数列; (2)通过作差法比较相邻两项的大小关系,即 bn+1﹣bn= ?( )n,得到当 n≥2 时,

bn+1<bn.所以需要比较第一项的大小所在的位置,计算可以得出 b2>b3>b1>b4 的大小关 系.由数列{cn}大小关系为 c2>c3>c1>c4>c5>…>cn﹣1>cn. 分别算出 c1=t﹣1,c2=2t﹣4,c3=3t﹣9.由列 c2>c3>c1 列不等式并求解得 t 的取值范围. (3)因为{d2n﹣1}的序数列单调减,即 d2n+1﹣d2n﹣1>0,将其变形可得到 d2n+1﹣d2n+d2n﹣ d2n﹣1>0.利用|d2n+1﹣d2n|= ﹣d2n﹣1= = <|d2n﹣d2n﹣1|= d2n+1﹣d2n= ①, 由 d2n+1﹣d2n<0, 可得 d2n﹣d2n﹣1>0,即 d2n =



整理①②得 dn+1﹣dn=

.所以可知数列{dn+1﹣dn}是等比数列,则可求其前 n 项

和为 Tn﹣1=(d2﹣d1)+(d3﹣d2)+…+(dn﹣dn﹣1)=dn﹣d1.即可求出数列{dn}的通项公 式. 【解答】 (1)证明:由题意得, 充分条件: 因为有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列 所以①{Pn}为 1,2,3,…,n﹣2,n﹣1,n 所以有穷数列{an}为递减数列, ②{Pn}为 n,n﹣1,n﹣2,…,3,2,1 所以有穷数列{an}为递增数列, 所以由①②,有穷数列{an}为单调数列 必要条件: 因为有穷数列{an}为单调数列 所以①有穷数列{an}为递减数列 则{Pn}为 1,2,3,…,n﹣2,n﹣1,n 的等差数列 ②有穷数列{an}为递增数列 则{Pn}为 n,n﹣1,n﹣2,…,3,2,1 的等差数列 所以由①②,序数列{Pn}为等差数列 综上,有穷数列{an}的序数列{Pn}为等差数列的充要条件是有穷数列{an}为单调数列

(2)解:由题意得, 因为 bn=n?( )n(n∈N*) 所以 bn+1﹣bn= ?( )n

当 n≥2 时,bn+1﹣bn<0 即 bn+1<bn b2= ,b2= ,b3= ,b4=

b2>b3>b1>b4>b5>…>bn﹣1>bn 又因为 cn=﹣n2+tn(n∈N*) ,且{bn}的序数列与{cn}的序数列相同 所以 c2>c3>c1>c4>c5>…>cn﹣1>cn 又因为 c1=t﹣1,c2=2t﹣4,c3=3t﹣9 所以 2t﹣4>3t﹣9>t﹣1 所以 4<t<5 即 t∈(4,5) (3)解:由题意得,d2n+1﹣d2n﹣1>0 所以 d2n+1﹣d2n+d2n﹣d2n﹣1>0 又因为|d2n+1﹣d2n|= <|d2n﹣d2n﹣1|= =

所以 d2n﹣d2n﹣1>0,即 d2n﹣d2n﹣1=



d2n+1﹣d2n<0,d2n+1﹣d2n=

=



整理①②得 dn+1﹣dn= 令数列 Bn=dn+1﹣dn 则数列{Bn}是以 为首相, 为公比的等比数列,所以{Bn}的前 n

﹣1 项和为 Tn﹣1=

=

所以 dn=d1+Tn﹣1=

附加题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两个) 21.如图,AB 为⊙O 的直径,直线 CD 与⊙O 相切于点 D,AC⊥CD,DE⊥AB,C、E 为 垂足,连接 AD,BD.若 AC=4,DE=3,求 BD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】先证明△EDA∽△DBA,再证明△ACD≌△AED,即可得出结论. 【解答】解:因为 CD 与⊙O 相切于点 D,所以∠CDA=∠DBA,… 又因为 AB 为⊙O 的直径,所以∠ADB=90°. 又 DE⊥AB,所以△EDA∽△DBA, 所以∠EDA=∠DBA,所以∠EDA=∠CDA.… 又∠ACD=∠AED=90°,AD=AD,所以△ACD≌△AED. 所以 AE=AC=4,所以 AD=5,… 又 = ,所以 BD= .…

附加题[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知矩阵 M= ,N= ,试求曲线 y=sinx 在矩阵(MN)﹣1 变换下的函数解析

式. 【考点】二阶行列式与逆矩阵. 【分析】先求出 MN,从而求出矩阵(MN)﹣1= ,设(x,y)是曲线 y=sinx 上的任

意一点,在矩阵(MN)﹣1 变换下对应的点为(a,b) ,得到 x= 线 y=sinx 在矩阵(MN)﹣1 变换下的曲线方程. 【解答】解:∵矩阵 M= ,N= ,

,y=2b,由此能求出曲

∴MN=

=









∴矩阵(MN)﹣1=



设(x,y)是曲线 y=sinx 上的任意一点,在矩阵(MN)﹣1 变换下对应的点为(a,b) .



=





,即 x=

,y=2b,

代入 y=sinx 得:2b=sin( a) ,即 b= sin( a) . 即曲线 y=sinx 在矩阵(MN)﹣1 变换下的曲线方程为 y= sin( x) .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知直线 l: 右焦点 F. (1)求 m 的值; (2)当 α= 时直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,求 FA?FB 的值. (t 为参数)恒经过椭圆 C: (φ 为参数)的

【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】 (1)椭圆 C: (φ 为参数) ,利用平方关系消去参数化为普通方程,

可得右焦点 F(1,0) .根据直线 l:

(t 为参数)恒经过点(c,0) ,可得 m.

(2) 当 α=

时,直线 l 的参数方程为:

3t2+2 ,代入椭圆方程可得:

t﹣2=0,

利用|FA|?|FB|=|t1t2|,即可得出. 【解答】解: (1)椭圆 C: 焦点 F(1,0) . 直线 l: (t 为参数)恒经过点(1,0) ,取 t=0,则 m=1. (φ 为参数) ,消去参数化为: +y2=1,可得右

(2) 当 α=

时,直线 l 的参数方程为:

3t2+2 ,代入椭圆方程可得:

t﹣2=0,

∴t1t2=﹣ . ∴|FA|?|FB|=|t1t2|= .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知正实数 a,b,c 满足 a+b2+c3=1,求证: 【考点】不等式的证明. 【分析】由正实数 a,b,c 满足 a+b2+c3=1,运用三元均值不等式,可得 ab2c3≤ 均值不等式即可得证. 【解答】证明:因为正实数 a,b,c 满足 a+b2+c3=1, 所以 所以 ,即 , , ,再由 ≥27.

因此



解答题 25.自 2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施,这次人口与生育政策的历史性调 整,使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不 开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18 4 8 16 20 26 有生育意愿家庭数 (1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周与 16 周,估计某家庭有生育意 愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分别作为备选方案,然后由单位 根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用 ξ 表示两种方案休假周数和.求随机变量 ξ 的分布及期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;列举法计算基本事件数及事件发生的概率;离散型 随机变量及其分布列. 【分析】 (1)由表中信息可知,利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为 14 周时某家 庭有生育意愿的概率和当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率. (2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A,由已知从 5 种不同安排方案 中,随机地抽取 2 种方案选法共有 10 种,由此利用列举法能求出其和不低于 32 周的概率. ②由题知随机变量 ξ 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35.分别求出相应的概率, 由此能求出 ξ 的分布列和 E(ξ) . 【解答】解: (1)由表中信息可知,当产假为 14 周时某家庭有生育意愿的概率为 ; 当产假为 16 周时某家庭有生育意愿的概率为 …

(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于 32 周”为事件 A,

由已知从 5 种不同安排方案中,随机地抽取 2 种方案选 法共有

(种) ,

其和不低于 32 周的选法有 14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18,共 6 种, 由古典概型概率计算公式得 …

②由题知随机变量 ξ 的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. , ,

, 因而 ξ 的分布列为 ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 所以 E(ξ)=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32,… 26.在数列|an|中,a1=t﹣1,其中 t>0 且 t≠1,且满足关系式:an+1(an+tn﹣1)=an(tn+1 ﹣1) , (n∈N+) (1)猜想出数列|an|的通项公式并用数学归纳法证明之; (2)求证:an+1>an, (n∈N+) . 【考点】用数学归纳法证明不等式. 【分析】 (1)由原递推式得到 ,再写出前几项,从而猜想数列|an|的

通项公式,进而利用数学归纳法证明. (2)利用(1)的结论,作差进行比较,故可得证. 【解答】 解: (1) 由原递推式得到 , ,

=

猜想得到



下面用数学归纳法证明 10 当 n=1 时 a1=t﹣1 满足条件

20 假设当 n=k 时,



,∴

,∴

即当 n=k+1 时,原命题也成立. 由 10、20 知 …

(2)

=

=

而 ntn﹣(tn﹣1+tn﹣2+…+t+1)=(tn﹣tn﹣1)+(tn﹣tn﹣2)+…+(tn﹣t)+(tn﹣1)=tn﹣1(t﹣1) +tn﹣2(t2﹣1)+tn﹣3(t3﹣1)+…+t(tn﹣1﹣1)+(tn﹣1)= 故 t>0,且 t≠1 时有 an+1﹣an>0,即 an+1>an…

2016 年 9 月 9 日


相关文档

2016-2017年山东省泰安市长城中学高二(下)期中数学试卷(理科)含参考答案
2016年江苏省泰州市姜堰区中考物理一模试卷含答案解析
2015-2016学年江苏省泰州市泰兴市实验初中九年级(上)第一次月考数学试卷(10月份)
2016-2017年山东省泰安市长城中学高二(下)期中数学试卷(文科)含参考答案
2016年秋季学期新版西师大版四年级数学上册 四 2 问题解决学案2
2016年秋季学期新版西师大版四年级数学上册二 1 加减法的关系学案1(无答案)
2016年福建省泉州市泉港一中高考数学模拟试卷(文科)解析版
泰州市姜堰区2016-2017年第一学期七年级数学期中试题及答案
泰安市新泰羊流中学2016届九年级上第一次月考数学试题及答案
泰州市第三高级中学2016年学雷锋活动方案
电脑版