第四节 指数函数(2015届三年高考专题复习)

第四节

指数函数

高考试题
考点一 指数与指数函数
1.(2011 年山东卷,理 3)若点(a,9)在函数 y=3 的图象上,则 tan
x

aπ 的值为( 6

)

(A)0

(B)

3 3
a

(C)1

(D) 3
aπ 2π π =tan =tan = 3 .故选 D. 6 6 3

解析:由题意知 9=3 ,解得 a=2,tan 答案:D

2.(2010 年陕西卷,文 7)下列四类函数中,具有性质“对任意的 x>0,y>0,函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)f(y)” 的是( ) (B)对数函数 (D)余弦函数
a a a a

(A)幂函数 (C)指数函数

解析:A 项,f(x)=x ,f(x+y)=(x+y) ≠f(x)·f(y)=x ·y ; B 项,f(x)=logax,loga(x+y)≠logax·logay; C 项,f(x)=a ,则 a =a ·a ; D 项,f(x)=cos x,cos(x+y)≠cos x·cos y. 故选 C. 答案:C 3.(2011 年湖北卷,理 6)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足 f(x)+g(x)=a -a +2(a>0,且 a≠ 1),若 g(2)=a,则 f(2)等于( (A)2 (B)
15 4
x -x x x+y x y

)
2

(C)

17 4
x

(D)a
-x

解析:因为 f(x)+g(x)=a -a +2, 则 f(-x)+g(-x)=a -a +2, 联立可得 g(x)=2, 又因为 g(2)=a,故 a=2. 因为 f(2)+g(2)=a -a +2,g(2)=a, 则 f(2)=a -a +2-a=2 -2 +2-2= 答案:B 4.(2009 年江苏卷,10)已知 a= 为 解析:∵a= .
2 -2 2 -2 2 -2 -x x

15 ,所以选 B. 4

5 ?1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系 2

5 ?1 x ∈(0,1),函数 f(x)=a 在 R 上递减, 2

∴由 f(m)>f(n)得,m<n. 答案:m<n 5.(2013 年湖南卷,理 16)设函数 f(x)=a +b -c ,其中 c>a>0,c>b>0. (1)记集合 M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且 a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的 f(x)的零 点的取值集合为 ;
x x x

(2)若 a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 ①? x∈(-∞,1),f(x)>0; ②? x∈R,使 a ,b ,c 不能构成一个三角形的三条边长;
x x x

.(写出所有正确结论的序号)

③若△ABC 为钝角三角形,则? x∈(1,2),使 f(x)=0. 解析:由题意 a=b,且 f(x)=0, 则 2a -c =0,
x x

?a? 所以 ? ? ?c?

x

=

1 , 2

又 a,b,c 不能构成三角形的三边, 所以 0<2a≤c, 0<
a 1 ≤ , c 2

x= log a
c

1 , 2

1 a = log 1 ≥1,0<x≤1. x 2 c

(2)①由 a,b,c 是三角形的三条边长, 得 a+b>c. 又 c>a>0,c>b>0, 所以 0<

a b <1,0< <1. c c

当 x∈(-∞,1)时,
x x ? ? x?a b ? x a ?b?c ?b? x x x x ? a ? f(x)=a +b -c =c ?? ? ? ? ? ? 1? >c ? ? ? 1? =c · >0. c c c ?c c ? ?? ? ? ? ? ? ?

所以? x∈(-∞,1),f(x)>0.故①正确. ②令 a=3,b=4,c=5, 则 a,b,c 可以构成三角形. 但 a =9,b =16,c =25, a ,b ,c 不能构成三角形,故②正确. ③因为 a+b>c,△ABC 为钝角三角形, 得 a +b -c <0. 得 f(1)=a+b-c>0,f(2)=a +b -c <0, 即函数 f(x)在(1,2)上存在零点.故③正确. 答案:(1){x|0<x≤1} (2)①②③
log3 0.3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

考点二

指数函数图象与性质的综合应用
,则( )

?1? 1.(2011 年天津卷,理 7)已知 a= 5log 2 3.4 ,b= 5log 4 3.6 ,c= ? ? ?5?
(A)a>b>c (B)b>a>c (C)a>c>b (D)c>a>b 解析:∵-log30.3=log3 ∴log3
10 10 >1,且 <3.4, 3 3

10 <log33.4<log23.4. 3

∵log43.6<1,log3 ∴log43.6<log3

10 >1, 3

10 . 3
log3 10 3

∵y=5 为增函数,∴ 5log 2 3.4 > 5
x

> 5log 4 3.6 ,

?1? 即 5log 2 3.4 > ? ? ?5?
答案:C

log3 0.3

> 5log 4 3.6 ,

故 a>c>b.故选 C.

2.(2012 年浙江卷,理 9)设 a>0,b>0( (A)若 2 +2a=2 +3b,则 a>b (B)若 2 +2a=2 +3b,则 a<b (C)若 2 -2a=2 -3b,则 a>b (D)若 2 -2a=2 -3b,则 a<b
a b a b a b a b

)

解析:若 2 +2a=2 +3b,必有 2 +2a>2 +2b,构造函数:f(x)=2 +2x,则有函数 f(x)=2 +2x 在 x>0 上单调递增,即 a>b 成立,选 A. 答案:A 3.(2012 年上海卷,理 7)已知函数 f(x)=e 是
x |x-a|

a

b

a

b

x

x

(a 为常数),若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,则 a 的取值范围

.

解析:令 g(x)=|x-a|,则 g(x)的单调增区间为[a,+∞). 又∵y=e 在 R 上为增函数, ∴函数 f(x)=e ∴a≤1. 答案:(-∞,1]
|x-a|

的单调增区间为[a,+∞),

∴[1,+∞)? [a,+∞).

模拟试题
考点一 指数式的化简与计算
1 3 1 3 1

1.(2012 河北衡水中学上学期期中)若 x>0,则( 2 x 4 + 3 2 )( 2 x 4 - 3 2 )- 4 x 2 =
1
3

.

1

解析:原式= 4 x 2 -3 - 4 x 2 =-27. 答案:-27 2.(2013 贵州清远中学上学期月考) 0.027 3 + 解析:原式= 0.3
? 1? 3?? ? ? ? 3?
3 1 + 16 4 - +1 3
3 4

?

1
4

163 -3-1+( 2 -1)0=

.

=0.3 + 2 = 答案:12

-1

4?

-

1 +1 3

10 2 +8+ =12. 3 3

考点二 指数函数的图象与性质
1.(2012 聊城五校统考)若 lg a+lg b=0(其中 a≠1,b≠1),则函数 f(x)=a 与 g(x)=b 的图象( (A)关于直线 y=x 对称 (C)关于 y 轴对称 (B)关于 x 轴对称 (D)关于原点对称
x -x x x x

)

解析:由 lg a+lg b=0 可知 lg(ab)=0,即 ab=1,所以 f(x)=a ,g(x)=a .若点(x,y)在 f(x)=a 的图象上,则点 -x (-x,y)在函数 g(x)=a 的图象上,即两函数图象关于 y 轴对称. 答案:C |x+1| 2.(2012 浙江绍兴一中模拟)函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则 f(-4)与 f(1)的关系是( (A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1) (C)f(-4)<f(1) (D)不能确定 解析:由题意知 a>1,f(-4)=a ,f(1)=a , 3 2 ∵a >a ,∴f(-4)>f(1). 故选 A. 答案:A
3 2

)

?log x, x ? 0, 3.(2012 黑龙江大庆三模)已知函数 f(x)= ? x 2 关于 x 的方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根,则实 ? 3 , x ? 0,
数 a 的范围是 面函数图象可知 a>1. . 解析:方程 f(x)+x-a=0 有且只有一个实根,等价于函数 y=f(x)与 y=-x+a 的图象有且只有一个交点.结合下

答案:(1,+∞)

综合检测
? 2 x , x ? A, ? 1.(2012 石家庄检测)设集合 A=[0,1),B=[1,2],函数 f(x)= ? x0∈A,且 f(f(x0))∈A,则 x0 的取值 ? ? 4 ? 2 x, x ? B,

范围是(

) (B)(log32,1)

3 ? ? (A) ? log2 ,1? 2 ? ? ?2 ? (C) ? ,1? ?3 ?

? 3? (D) ?0, ? ? 4?
0

解析:由 x0∈A,得 0≤x0<1,f(x0)= 2 x , f(x0)∈[1,2),f(f(x0))=4-2· 2 =4- 2 x 又 f(f(x0))∈A,∴0≤4- 2 即 log2 答案:A 2.(2013 浙江温州中学上学期期中)已知函数 f(x)=10 ,且实数 a,b,c 满足 f(a)+f(b)=f(a+b),f(a)+f(b)+f(c)=f(a+b+c), 则 c 的最大值为 解析:由题得 10 =10 +10 ≥2· 10
a+b a a+b a b x

x0

0

?1

.

x0 ? 1

<1,

3 <x0<1.故选 A. 2

.

a ?b 2

,

∴10 ≥4 当且仅当 a=b 时取等号. 又 10 +10 +10 =10
b c a+b+c

,

∴10 =

c

10a ? 10b 10a ? b 1 = a ?b =1+ a ? b a ?b 10 ? 1 10 ? 1 10 ? 1
1 4 = . 4 ?1 3 4 . 3 4 3
a b

≤1+ ∴c≤lg 答案:lg

3.(2013 山东泰安市上学期期中)已知实数 a,b 满足等式 2 =3 ,给出下列五个关系式中:①0<b<a,②a<b<0, ③0<a<b,④b<a<0,⑤a=b.则所有可能成立的关系式的序号为
x x

.
a b a b

解析:在同一坐标系中作出 y=2 ,y=3 的图象,作 x 轴的平行线与两图象都相交,当 2 =3 =1 时 a=b=0,当 2 =3 >1 时,a>b>0,0<2 =3 <1 时,a<b<0,故①②⑤正确. 答案:①②⑤
a b


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