(新课程)高中数学 向量数量积的坐标运算与度量公式 课件 苏教版必修4_图文

向量数量积的坐标运算 与度量公式 教学目标 1、 掌握两个向量数量积的坐标表示法,会进行 平面向量数量积的运算. 2、 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数 量积判断两个平面向量的垂直关系. 3、 提高学生的运算速度,培养学生的运算能力. 教学重点 向量数量积的坐标运算与度量公式的掌握 教学难点 灵活运用公式解决有关问题 知识链接 1、平面向量的数量积是如何定义的,它 有哪些重要的性质? ? ? 记作 a b cos? 叫做 a 与b 的数量积(或内积), 即有 ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,它们的夹角为? ,我们把数量 a ? b = a b cos? a?b 2、两非零向量垂直的充要条件是什么? a ? b ? a?b ? 0 3、两平面向量共线的充要条件又是什么, 如何用坐标表示出来? a // ( bb?0 ) ? 存在唯一的 ?使得 a ? ? b ? ? ? ? 若a ? (a1,a2), b? (b1,b2), a / /b ? a1b2 ? a2b1 ? 0 课前预习 1.向量内积的坐标运算 ?? ?? ? ? ? 建立正交基底 e1 , e2 .已知a ? (a1 , a2 ), b ? (b1 , b2 ), 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? (a1 e1 ? a2 e2 ) ? (b1 e1 ? b2 e2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a1b1 e1 ? e1 ? a1b2 e1 ? e2 ? a2b1e2 ? e1 ? a2b2 e2 ? e2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为e1 ? e1 ? e2 ? e2 ? 1, e1 ? e2 ? e2 ? e1 ? 0 所以: a ? b ? a1b1 ? a2b2 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 例 1. 已知a ? (3,?1),b ? (1,?2).求a ? b. 解 : a ? b ? (3,?1) ? (1,?2) ? 3?1 ? (?1) ? (?2) ? 5 练习: (1)a ? (4,5), b ?(?4,3), a ? b ? -1 (2)a ? (8,5), b ? (?7,?8), a ? b ? -96 (3)a ? (?11,2), b ? (3,9), a ? b ? -15 2.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件. ? ? ? ? ? ? ? ? 如果a ? b, 则a ? b ? 0, 反之, 如果a ? b ? 0, 则a ? b 换用两向量的数量积坐标表示,即为: 如果a ? b, 则a1b1 ? a2b2 ? 0; 如果a1b1 ? a2b2 ? 0, 则a ? b. ⑵判断(b1,b2)与 (-b2,b1)是否垂直? 判断 (b1,b2)与k(-b2,b1)是否垂直? 例如:向量(3,4)与向量____,____,____………都垂直. 向量(3,4)与向量k (?4,3), k ? R垂直. ??? ? ??? ? 例2. 已知点A(1,2), B(2,3), C(?2,5).求证AB ? AC. 证明 : 因为AB ? (2,3) ? (1,2) ? (1,1), AC ? (?2,5) ? (1,2) ? (?3,3), 则AB? AC ? (1,1) ? (?3,3) ? 1? (?3) ?1? 3 ? 0 所以AB ? AC. 练习:已知A(7,5), B(2,3),C(6,?7).求证?ABC是直角三角形 . 解:由已知得AB ? (?5,?2), AC ? (?1,?12), BC ? (4,?10). 因为AB ? BC ? (?5) ? 4 ? (?2) ? (?10) ? 0 所以AB ? BC. 所以?ABC是直角三角形 . 3.向量的长度,距离和夹角公式. (1)向量的长度 2 已知a ? (a1 , a2 ),则 a ? a ? a ? (a1 , a2 ) ? (a1 , a2 ) ? a12 ? a2 2 所以: a ? a ? a 2 1 2 2 向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根 (2)向量的长度(两点之间的距离公式) 如果A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ),则: AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ), AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) 2 2 ? 例3、求 a ? a ? (3, ?1) ? a ? (1, ?2) ? a ? (?5, 3) (3)两个向量夹角的坐标表达式: cos ? a, b ?? a ?b a?b ? a1b1 ? a2b2 2 2 a12 ? a2 b12 ? b2 63 (1)若a ? (3,4), b ? (5,12),则a与b夹角的余弦为__ 65 例4 10 (2)若a ? (1,2), b ? (3,?1),则a与b的夹角为 ) arccos 2 : 达标练习 1、已知a = (3,4),b = (5,2), 求a b,| a |,| b |。 2、已知a = (2,4),b = (1,2),则a 与b 的关系是 ( ) A、不共线 B、垂直 C、共线同向 D、共线反向 3、以A(2,5),B(5,2),C(10,7)为顶 点的三角形的形状是( ) A、等腰三角形 B、直角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形 . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4、 .已知向量OA ? (?1, 2), OB ? (3, m).若OA ? AB, 则m ? __ AB ? OB ? OA ? (3, m) ? (?1,2) ? (4, m ? 2) 又因为

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