【数学】2015年甘肃省兰州市高考数学一模试卷(理科)与答案

本文部分内容来自网络,本人不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本人将予以删除 本文部分内容来自网络,本人不为其真实性负责,如有异议请及时联系,本人将予以删除 2015 年甘肃省兰州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题,本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分 1. (5 分)已知集合 A={x||x|<1},B={x|2x>1},则 A∩B=( A. (﹣1,0) 2. (5 分)复数 A.1 B. (﹣1,1) C. (0, ) ) D. i ) ) D. (0,1) (i 是虚数单位)的虚部是( B.i C.﹣ 3. (5 分)设| |=1,| |=2,且 , 夹角为 A.2 B.4 ,则|2 + |=( D.2 C.12 4. (5 分)从数字 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个 两位数大于 40 的概率( A. B. ) C. D. ) 5. (5 分)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a5=18﹣a4,则 S8=( A.18 B.36 C.54 D.72 6. (5 分)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是 3,则正视图中的 x 的值是( ) A.2 B. C. D.3 ) 7. (5 分)如图所示的程序的输出结果为 S=132,则判断框中应填( 第 1 页(共 22 页) A.i≥10? B.i≥11? C.i≤11? D.i≥12? 8. (5 分)设 a,b 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面,a?α,b⊥β, 则 α∥β 是 a⊥b 的( A.充分不必要条件 C.充要条件 9. (5 分)已知不等式组 ) B.必要不充分条件 D.即非充分又非必要条件 所表示的平面区域为 D,若直线 y=kx﹣3 与 平面区域 D 有公共点,则 k 的取值范围是( A.[﹣3,3] C. (﹣∞,﹣3]∪[3,+∞) ) B. (﹣∞, ]∪[ ,+∞) D.[ ] 10. (5 分)在直角坐标系 xOy 中,设 P 是曲线 C:xy=1(x>0)上任意一点, l 是曲线 C 在点 P 处的切线,且 l 交坐标轴于 A,B 两点,则下列结论正确的 是( ) A.△OAB 的面积为定值 2 B.△OAB 的面积有最小值为 3 C.△OAB 的面积有最大值为 4 D.△OAB 的面积的取值范围是[3,4] 11. (5 分)抛物线 C1:x2=2y 的焦点为 F,以 F 为圆心 C2 交 C1 于 A,B 两点, 交 C1 准线于 C, D 两点, 若四边形 ABCD 是矩形, 则 C2 的标准方程为 ( A.x2+(y﹣ )2=4 B. (x﹣ )2+y2=4 ) 第 2 页(共 22 页) C.x2+(y﹣ )2=2 D. (x﹣ )2+y2=2 12. (5 分)已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x) <f (x) , 且f (x+2) 为偶函数, f (4) =1, 则不等式 f (x) <ex 的解集为 ( A. (﹣∞,0) B. (0,+∞) C. (﹣∞,e4) D. (e4,+∞) ) 二、填空题,本小题共 4 小题,每小题 5 分 13. (5 分)已知 α∈(0, ) ,cosα= ,则 sin(π﹣α)= . 14. (5 分)椭圆 C 的中点在原点,焦点在 x 轴上,若椭圆 C 的离心率等于 , 且它的一个顶点恰好是抛物线 x2 = 8 为 . y 的焦点,则椭圆 C 的标准方程 15. (5 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围 是 . ,若 b10b11 16. (5 分)数列{an}的首项 a1=1,数列{bn}为等比数列且 bn= =2015 三、解答题 ,则 a21= . 17. 在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c, 已知 (1)求 A 的大小; (2)若 a=6,求 b+c 的取值范围. . 18.如图,在四棱锥 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥CD, AB=2,BC=CD=1,顶角 D1 在底面 ABCD 内的射影恰好为点 C. (1)求证:AD1⊥BC; (2)若直线 DD1 与直线 AB 所成角为 (锐角)的余弦值函数值. ,求平面 ABC1D1 与平面 ABCD 所成角 第 3 页(共 22 页) 19.为迎接 2015 年在兰州举行的“中国兰州国际马拉松比赛” ,某单位在推介晚 会中进行嘉宾现在抽奖活动,抽奖盒中装有大小相同的 6 个小球,分别印有 “兰州马拉松”和“绿色金城行”两种标志,摇匀后,规定参加者每次从盒 中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀) ,若抽到的两个球都印有“兰州马 拉松”标志即可获奖.并停止取球;否则继续,但每位嘉宾最多抽取 3 次, 已知从盒中抽取两个小球不都是“绿色金城行”标志的概率为 . (Ⅰ)求盒中印有“兰州马拉松”标志的小球的个数; (Ⅱ)若用 η 表示这位嘉宾抽取的次数,求 η 的分布列和期望. 20.已知双曲线 C: 点 F 到直线 x= ﹣ =1(a>0,b>0)的一条渐近线为 y= x,有焦 的距离为 . (1)求双曲线 C 的方程; (2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线与曲线 C 相较于 B,D 两点,已 知 A(1,0) ,若 =1,证明:过 A.B.D 三点的圆与 x 轴相切. 21.函数 f(x)=x2+mln(x+1) . (1)若函数 f(x)是定义域上的单调函数,求实数 m 的取值范围; (2)若 m=﹣1,试比较当 x∈(0,+∞)时,f(x)与 x3 的大小; (3) 证明: 对任意的正整数 n, 不等式 e0+e﹣1×4+e﹣2×9+…+e 立. 四、请从 22、23、24 题

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