2.4.2_平面向量数量积的坐标表示、模、夹角(第1课时)2012_图文

1、复习引入
(1) a ? b ? a ? b cos ? ( 2) a ? a ? a 或 a ?
2

a ? a; a ?b a?b .

a ? b ? a ? b ? 0; cos ? ?

我们学过两向量的和与差可以转化为它们 相应的坐标来运算,那么怎样用

a和b的坐标表示a ? b呢?

2. 探究
单位向量i, j分别与x轴,y轴方向相同 1 1 0 0 i· i =_____, j· j=______, i· j=______, j· i =_______.

已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎样用a与 b的坐标表示a· b? ∵a=x1i+y1j, b=x2i+y2j, ∴a· b = (x1i+y1j) · (x2i+y2j) = x1x2i2+x1y2i· j+x2y1i· j+y1y2j2 = x1x2+y1y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和

向量的长度(模)
设a =(x,y),则 |a|2=
x2 ? y 2

或|a |=

2 2 x ? y _______

2 2 ? x ? x ? ? ? y ? y ? 2 1 2 1 若设A(x1,y1)、B(x2,y2),则 |AB|=_____________

平面内两点间的距离公式

向量平行和垂直的坐标表示式
设a、b为两个向量,且a=(x1,y1),b=(x2,y2),

a // b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
a· b= x22+y a⊥a b?b? x10 x2 ? yx y ?0 1y2=0 11

a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是 a与b的夹角

a ? b ? a b cos?
a?b cos ? ? ? ab

x1 x2 ? y1 y2 x ?y ? x ?y
2 1 2 1 2 2 2 2

举例

例1 (1)已知a ? (?1,2 ? 3 ), b ? (1,1), 求a ? b, a ? b, a与b的夹角? .

a ? b ? 1 ? 3, a ?b

a ? b ? 2 4 ? 2 3 ? 2(1 ? 3),

1 ? ? ? cos? ? ? ,? 0 ? ? ? 180 ,?? ? 60 . a?b 2
练习:P107练习

举例
例2. 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),试判断△ABC的 形状,并给出证明.

? AB ? ?2 ?1,3 ? 2? ? ?1,1?

? AB ? AC ? 1? ?? 3? ?1? 3 ? 0
? AB ? AC
∴ △ABC是直角三角形

AC ? ? ?2 ? 1,5 ? 2? ? ? ?3,3?

向量的数量 积是否为零, 是判断相应 的两条线段 或直线是否 垂直的重要 方法之一

变式:已知A(1,2)、B(4、0)、C(8,6)、 D(5,8),判断四边形ABCD的形状. 矩形

举例
例3:已知a ? (4,3), 求与a垂直的单位向量 的坐标.
解:设单位向量为i ? ( x, y ), 有a ? i ? 0 ( x, y ) ? (4,3) ? 0, 得4x ? 3 y ? 0,........( 1) 又 i ? 1得x 2 ? y 2 ? 1,........(2) 3 4 3 4 由( 1)(2)解得i ? ( , ? )或( ? , ) 5 5 5 5

举例
例4:已知 | a |? 10, b ? (1, 2), 且a // b, 求a的坐 标.
解: 平行 ? 设a ? (x, y) , 有2x-y=0, 且 x ? y ? 10, 所以5 x ? 10, x ? ? 2, y ? ?2 2
2 2 2

a ? ( 2, 2 2)或(- 2, -2 2)

3? 例5:已知a ? (3, 0), b ? (k ,5),且a与b的夹角为 , 4 求k的值. K= - 5

反馈练习
1、已知OA ? (?3,1), OB ? (0,5),且 AC // OB, 29 BC ? AB ,则点C的坐标为 C (?3, 4 )

b = (-3,2), a = (1,2), 若k a +2 b 与 2 a - 4 b 平行,则k = - 1 .
2、已知

小结
1.向量数量积的坐标表示 2.向量模的计算
3.平面内两点间的距离公式. 4.向量垂直的等价条件


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