导与练2016高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1平面课件_图文

第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

2.1.1 平



自主预习 课堂探究

自主预习
课标要求
1.正确理解平面的概念. 2.能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.

3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理,理解三个公理的地
位与作用.

知识梳理
1.平面

(1)平面的概念
几何里所说的“平面”,是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象 无限延展 出来的.几何里的平面是 的. (2)平面的画法 ①水平放置的平面通常画成一个平行四边形,用平行四边形表示平面,平行 四边形的锐角通常画成 45° ,且横边长等于其邻边长的 2倍 .如图(1). ②如果一个平面被另一个平面遮挡住,为了增强它的立体感,把被遮挡部分

用 虚线 画出来.如图(2).
(3)平面的表示 图(1)的平面可表示为平面ABCD,平面AC,平面BD或平面α .注意:“平面” 二字不能省略.

2.点、直线、平面之间的位置关系及语言表达 文字语言表达 点 A 在直线 l 上 点 A 在直线 l 外 图形语言表达 符号语言表达 A∈l A?l

点 A 在平面α 内 点 A 在平面α 外 直线 l 在平面α 内

A∈α A?α l? α

直线 l 在平面α 外

l?α

平面α ,β 相交于 l

α ∩β =l

3.平面的基本性质 公 理 1 公 理 2 公 理 3 文字语言 如果一条直线上的 两点 在一 个平面内,那么这条直线在此平 面内 过 不在一条直线上 有且只有一个平面 的三点, 图形语言 符号语言 A∈l,B∈l,且 A∈α ,B∈ α ? l? α A,B,C 三点不共线? 存在 惟一的平面α ,使 A,B,C ∈α P∈α ,P∈β ? α ∩β =l,且 P∈ l

如果两个不重合的平面有 一个 公共点,那么它们有且只有一条 过该点 的公共直线

自我检测
1.(符号表示)下列符号表述中,错误的是( C ) (A)A∈b (B)A∈α (C)a∈α (D)P∈(α ∩β ) 2.(公理2)(2015蚌埠市五河高中高二(上)期中)三条两两平行的直线可以 确定平面的个数为( D ) (A)0 (B)1 (C)0或1 (D)1或3 3.(符号表示)如图所示,用符号语言可表达为( A ) (A)α ∩β =m,n?α ,m∩n=A (B)α ∩β =m,n∈α ,m∩n=A (C)α ∩β =m,n?α ,A?m,A?n (D)α ∩β =m,n∈α ,A∈m,A∈n 4.(平面的概念)(2015运城市康杰中学高二(上)期中)三个平面将空间最 多能分成( C ) (A)6部分 (B)7部分 (C)8部分 (D)9部分

5.(公理1)点M在直线l上,M不在平面α 内,则l与平面α 的公共点的个数为
个. 答案:0或1 6.(公理3)如图,已知D,E是△ABC的边AC,BC上的点,平面α 经过D,E两点,若 直线AB与平面α 的交点是P,则点P与直线DE的位置关系是 答案:点P在直线DE上 .

课堂探究
题型一 文字语言、图形语言、符号语言的转换
【例1】 完成下列各题: (1)将下列文字语言转换为符号语言. ①点A在平面α 内,但不在平面β 内.

②直线a经过平面α 外一点M.
③直线l在平面α 内,又在平面β 内(即平面α 和平面β 相交于直线l). (2)将下列符号语言转换为图形语言. ①a?α ,b∩α =A,A?a. ②α ∩β =c,a?α ,b?β ,a∥c,b∩c=P.

解: (1)①A∈α,A?β.②M∈a,M?α.③α∩β=l. (2)①



题后反思

实现三种语言转换要注意

(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平 面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符 号语言表示. (2)符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”,直线

与平面的位置关系只能用“?”或“?”.
(3)由符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意把被遮挡的部分画成 虚线.

即时训练1-1:(1)下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的 是( )

(2)如图,用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

解: (1)在立体几何中凡是被遮挡的线都画成虚线.故选D. (2)在①中,α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.在②中,α∩β=l,a?α, b?β,a∩l=P,b∩l=P.

题型二

点线共面

【教师备用】 1.过直线与直线外一点能否惟一确定一平面? 2.两条相交直线能否惟一确定一平面?两条平行直线呢?

提示:由公理2,易证明上述三个问题中,均能惟一确定一平面.

【例2】 如图,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C,求证直线l1、l2、l3在同一 平面内.

证明:法一 (纳入法) 因为l1∩l2=A,所以l1和l2在同一平面α内. 因为l2∩l3=B,所以B∈l2.又因为l2?α,所以B∈α.同理可证C∈α. 又因为B∈l3,C∈l3,所以l3?α.所以直线l1、l2、l3在同一平面内. 法二 (重合法) 因为l1∩l2=A,所以l1、l2确定一个平面α. 因为l2∩l3=B,所以l2、l3确定一个平面β. 因为A∈l2,l2?α,所以A∈α.因为A∈l2,l2?β,所以A∈β. 同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β. 所以不共线的三个点A、B、C既在平面α内,又在平面β内. 所以平面α和β重合,即直线l1、l2、l3在同一平面内.

题后反思 证明点线共面问题的理论依据是公理2,常用方法有:

(1)纳入法:先由部分直线确定一个平面,再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法:先说明一些直线在一个平面内,另一些直线在另一个平面内,再 证明两个平面重合.

即时训练 2 1:已知直线 a∥b∥c,直线 l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C,求证:a,b,c,l 共面.
证明:如图所示. 因为a∥b, 所以a,b可确定一个平面α.

又因为l∩a=A,l∩b=B,
所以A∈a,B∈b,A∈α,B∈α,所以AB?α, 又A∈l,B∈l,所以l?α. 又因为b∥c,所以b,c可确定一个平面β.同理l?β. 因为平面α,β均经过直线b,l,且b和l是两条相交直线, 所以l与b确定的平面是惟一的, 所以a,b,c,l四线共面.

【备用例 1】 已知在正方体 ABCD A1B1C1D1 中. (1)AA1 与 CC1 是否在同一平面内? (2)点 B,C1,D 是否在同一平面内? (3)画出平面 ACC1A1 与平面 BC1D 的交线,平面 ACD1 与平面 BDC1 的交线.
解:(1)如图所示 ,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中, 因为 AA1∥CC1, 所以 AA1 与 CC1 可确定平面 ACC1A1, 所以 AA1 与 CC1 在同一平面内.

(2)因为点B,C1,D不共线,所以B,C1,D可确定平面BC1D,所以点 B,C1,D在同一平面内. (3)因为AC∩BD=O,D1C∩DC1=E, 所以O∈平面ACC1A1,且O∈平面BC1D. 又C1∈平面ACC1A1,且C1∈平面BC1D,

所以平面ACC1A1∩平面BC1D=OC1.同理平面ACD1∩平面BDC1=OE.

题型三 多点共线、多线共点问题
【例 3】 如图所示 ,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中 点.求证:CE、D1 F、DA 三线交于一点.

证明:连接 EF、D 1C、A1B,因为 E 为 AB 的中点,F 为 AA1 的中点, 所以 EF
1 A1B.又因为 A1B 2

D1C,所以 EF

1 D1C, 2

所以 E、F、D1、 C 四点共面,可设 D1F∩CE=P. 又 D1F? 平面 A1D1DA,CE? 平面 ABCD, 所以点 P 为平面 A1 D1DA 与平面 ABCD 的公共点. 又因为平面 A1D1DA∩平面 ABCD=DA,所以据公理 3 可得 P∈DA,即 CE、D1F、DA 三线交于一点.

题后反思

(1)证明三线共点常用的方法:

先证明两条直线相交于一点,然后证明这个点在两个平面内,第三条线是这
两个平面的交线,于是该点在第三条直线上,从而得到三线共点.也可以先证 明a、b相交于一点A,b与c相交于一点B,再证明A、B是同一点,从而得到a、 b、c三线共点. (2)类比线共点的证明方法,可得到三点共线的证明方法: ①首先找出两个平面的交线,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根 据公理3,可推知这些点都在交线上,即三点共线.

②选择其中两点确定一条直线,然后证明第三个点也在这条直线上.

即时训练 3 1:在长方体 ABCD A1B1C1D1 中,O 1 是 A1C1 与 B1D 1 的交点,长方体体对 角线 A1C 交截面 AB1D1 于点 P.求证:O1,P,A 三点在同一条直线上.

证明:因为O1∈平面AB1D1,O1∈平面AA1C1C,A∈平面AB1D1,A∈平面AA1C1C,

又因为A1C∩平面AB1D1=P.所以P∈直线A1C,P∈平面AB1D1,所以P∈平面
AA1C1C,所以P∈直线AO1,即O1、P、A三点在同一条直线上.

【备用例 2】 如图,空间四边形 ABCD 中,E、H 分别是 AB、AD 中点,F、G 分别是 BC、 CD 上的点,且
CF CG 2 = = . CB CD 3

求证:三条直线 EF 、GH、AC 交于一点.
证明:因为 E、H 分别是 AB、AD 中点,所以 EH
CF CG 2 2 = = ,所以 GF ∥BD,GF= BD, CB CD 3 3

1 BD, 2

因为

所以 EH∥GF 且 EH≠GF,所以四边形 EFGH 为梯形, 所以两腰 EF、GH 交于一点,记为 P. 因为 EF? 平面 ABC,所以 P∈平面 ABC, 同理 P∈平面 ADC,所以 P 在平面 ADC 和平面 ABC 的交线 AC 上, 所以三条直线 EF、 GH、AC 交于一点.

【备用例 3】 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,E、 F 分别是 CC1 和 AA1 的中点,画出平面 BED1F 与平面 ABCD 的交线,并说明理由.

解:在平面AA1D1D内,延长D1F, 因为D1F与DA不平行,所以D1F与DA必相交于一点, 设为P,则P∈FD1,P∈DA.

又因为D1F?平面BED1F,DA?平面ABCD,
所以P∈平面BED1F,P∈平面ABCD, 所以P为平面BED1F与平面ABCD的公共点.

又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点,
所以连接PB(如图),PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.


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