2014届高三理科数学七校(宝安中学,潮阳一中,桂城中学,南海中学,普宁二中,中山一中,仲元中学)第二次联考

2013~2014 学年度南海中学

宝安中学 潮阳一中 桂城中学 普宁二中 中山一中 仲元中学

高三第二次联考

理 科 数 学
命题人: 宝安中学 胡士军 南海中学 钱耀周

★祝同学们考试顺利★
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.
1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? x 0 ? x ? 9, x ? R 和 B ? x ?4 ? x ? 4, x ? Z 关系的韦恩图如图 1 所示,则阴影部分所示集合中的元素共有( A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 )

?

?

?

?

U A
图1

B

D.无穷多个 ) D. 1 或 2 )

2 2. 若复数 a ? 3a ? 2 ? ? a ? 1? i 是纯虚数,则实数 a 的值为(

?

?

A. 2

B. 1

C. ?2

3. 已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 4 , S4 ? 20 ,则该数列的公差 d ? ( A. 2 B. 3 C. 6 D. 7 )

4. 已知抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0 )的准线与圆 ( x ? 3)2 ? y 2 ? 16 相切,则 p 的值为( A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

5. 如图 2 ,矩形长为 6 ,宽为 4 ,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落 在椭圆外的黄豆数为 96 颗,以此实验数据为依据可以估计出椭圆的 . 面积约为( A. 16.32 C. 8.68 ) B. 15.32
图2

D. 7.68

6. 已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,给出条件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? .能推导出 m // ? 的是( ) B.①⑤ C.②⑤ D.③⑤

A.①④

?y ? 0 ? 7. 若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ,则 z ? 3x ? 5 y 的取值范围是( ?x ? 4 y ? 3 ?
A. ? ??,9? B. ?3, ?? ? C. ? ?8,9?
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)

D. ? ?8,3?

8. 对任意实数 x, y ,定义运算 x ? y ? ax ? by ? cxy ,其中 a, b, c 是常数,等式右边的运算是通常的加法和乘法运算. 已知 1 ? 2 ? 3 , 2 ? 3 ? 4 ,并且有一个非零常数 m ,使得 ?x ? R ,都有 x ? m ? x ,则 3 ? 4 的值是( A. ?4 B. 4 C. ?3 D. 3 )

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题)
9. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图 3 所示(均为直角三角形),则 该三棱锥的俯视图的面积为 .
3

10. 二项式 ? 3 x ?

? ?

2 ? ? 的展开式中常数项为_______. x?

5

2 正视图 图3

1 侧视图

11.不等式 x ? 2 ? x ?1 ? 5 的解集为___________.
? ?cos x, x ? 0 12. 已知函数 f ? x ? ? ? ,则 ? 2 f ? x ? dx 的值等于 ?2 1, x?0 ?

.

13. 已 知 ?ABC 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 且 c ? ________.

2,b ? 6,B ? 120? , 则 ?ABC 的 面 积 等 于

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分)
14.(坐标系与参数方程选做题) 若直线 ? sin ? ? ?

? ?

π? 2 与直线 3x ? ky ? 1 垂直,则常数 k ? ?? 4? 2



15.(几何证明选讲选做题)如图 4 ,在 ?ABC 中, DE // BC , EF // CD , 若 BC ? 3 , DE ? 2 , DF ? 1 ,则 AB 的长为________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分, 解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 16.(本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? sin ? x ? sin ? ? x ? ? , x ? R . 2? ? 1 (Ⅰ) 若 ?= ,求 f (x) 的最大值及相应的 x 的取值集合; 2 ? (Ⅱ)若 x ? 是 f (x) 的一个零点,且 0 ? ? ? 10 ,求 ? 的值和 f (x) 的最小正周期. 8
17.(本题满分 12 分) 某班有甲、乙两个学习小组,两组的人数如下: 组别 性别 男 女 甲 乙

图4

3 5

2 2

现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取 3 名同学进行学业检测. (Ⅰ)求从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率; (Ⅱ)记 X 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变
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量 X 的分布列和数学期望. 18.(本题满分 14 分)如图 5 ,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD ,

2 AD , E 、 F 分别为 PC 、 BD 的中点. 2 (Ⅰ) 求证: EF // 平面 PAD ; (Ⅱ) 求证:面 PAB ? 平面 PDC ; (Ⅲ) 在线段 AB 上是否存在点 G , 1 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 ?说明理由. 3
且 PA ? PD ? (Ⅰ) 求数列 ?a n ?的通项 an ;(Ⅱ) 若 bn ?

P D F A
图5
*

E C

B

19.(本题满分 14 分)已知 S n 为数列 ?a n ?的前 n 项和,且有 a1 ? 1, Sn ? 1 ? an?1 ( n ? N ).

n ,求数列 ?bn ?的前 n 项和 Tn ; 4a n

(Ⅲ)是否存在最小正整数 m ,使得不等式 值;若不存在,说明理由.

? S ? ?T
k ?1 k

n

k ?2 ? m 对任意正整数 n 恒成立,若存在,求出 m 的 ? k ? 1? k

20.(本题满分 14 分)已知定点 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? ,动点 P ? x, y ? ,且满足 PF , F F2 , PF2 成等差数列. 1 1 (Ⅰ) 求点 P 的轨迹 C1 的方程; (Ⅱ) 若曲线 C2 的方程为 ? x ? t ? ? y ? t ? 2t
2 2 2

?

?

2

(0 ? t ?

2 ),过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C2 相切,求直线 2

l 被曲线 C1 截得的线段长的最小值.
2 2 2 x 21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e (其中 a ? R ).

?

?

(Ⅰ) 若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值; (Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? x ? x ? 1? ; ?2 ?

(Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.

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高三第二次联考

理 科 数 学 参考答案与评分标准
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分
题号 答案 1 B 2 A 3 B 4 C 5 A 6 D 7 C 8 D

二、填空题:本题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,共 30 分
9. 1 ; 10. 40 ; 11. ? ?3, 2? ; 12. 3 ; 13.

3 ; 2

14. ?3 ; 15.

9 2

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. ?? ? 16. 【解析】(Ⅰ) f ( x) ? sin ? x ? sin ? ? x ? ? ? sin ? x ? cos? x ??????????2 分 2? ?
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当 ?= 时, f ( x) ? sin -cos = 2 sin? 而 ? 1 ? sin?

1 2

x 2

x 2

?x ?? ? ?, ?2 4?

? x ?? ? ? ? 1 ,所以 f (x) 的最大值为 2 , ??????????4 分 ?2 4? 3? x ? ? ? 4k? , k ? Z , 此时 ? ? ? 2k? , k ? Z ,即 x ? 2 4 2 2 3? ? 4k? , k ? Z} . ??????????6 分 相应的 x 的集合为 {x | x ? 2 ?? ? ??? ? ?? ? ? ? ? k? , k ? Z ,??????????8 分 (Ⅱ)依题意 f ? ? ? sin? ? ? ? 0 ,即 8 4 4? ?8? ? 8 整理,得 ? ? 8k ? 2 , ??????????9 分 1 又 0 ? ? ? 10 ,所以 0 ? 8k ? 2 ? 10 , ? ? k ? 1 , ??????????10 分 4 ?? ? 而 k ? Z ,所以 k ? 0 , ? ? 2 ,所以 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ? ? , f (x) 的最小正周期为 ? .????12 分 4? ? 17.【解析】(Ⅰ)依题意,甲、乙两组的学生人数之比为 ? 3 ? 5? : ? 2 ? 2? ? 2:1 ,????1 分
2 1 ? 3 ? 2 ;从乙组抽取的学生人数为 ? 3 ? 1 .????2 分 3 3 设“从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学”为事件 A , 15 C1 ? C1 15 则 P( A) ? 3 2 5 ? ,故从甲组抽取的同学中恰有 1 名女同学的概率为 .???4 分 28 C8 28 (Ⅱ) X 的所有可能取值为 0,1, 2,3 ,且 ???5 分
所以,从甲组抽取的学生人数为

P( X ? 0) ? P( X ? 2) ?

2 C5 ? C1 5 2 , ? 2 1 C8 ? C4 28

P( X ? 1) ?

2 C1 ? C1 ? C1 C5 ? C1 25 3 5 2 2 ? 2 1 ? , 2 C8 ? C1 C8 ? C4 56 4

2 C3 ? C1 C1 ? C1 ? C1 9 2 ? 3 2 5 1 2? , 2 1 C8 ? C4 C8 ? C4 28

P( X ? 3) ?

2 C3 ? C1 3 2 ? .?????9 分 2 1 C8 ? C4 56

所以, X 的分布列为:

3 1 2 25 9 3 P ??????10 分 56 28 56 z 5 25 9 3 5 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? .???12 分 P 28 56 28 56 4 E 18.【解析】(Ⅰ)证明:连结 AC ? BD ? F , ABCD 为正方形, D F 为 AC 中点, E 为 PC 中点. O 所以在 ?CPA 中, EF // PA .??2 分 F B A 又 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD , G x 所以 EF // 平面 PAD ?????3 分 (Ⅱ)证明:因为平面 PAD ? 平面 ABCD , 平面 PAD ? 面 ABCD ? AD ABCD 为正方形, CD ? AD , CD ? 平面 ABCD ,所以 CD ? 平面 PAD . ?????4 分 又 PA ? 平面 PAD ,所以 CD ? PA .
X

0 5 28

C y

? 2 AD ,所以 ?PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA ? PD .???5 分 2 2 又 CD ? PD ? D ,且 CD 、 PD ? 面 PDC ,所以 PA ? 面 PDC .???6 分 又 PA ? 面 PAB , 所以面 PAB ? 面 PDC ????????7 分 (Ⅲ) 如图,取 AD 的中点 O ,连结 OP , OF ,因为 PA ? PD ,所以 PO ? AD . 又侧面 PAD ? 底面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , 所以 PO ? 平面 ABCD ,
又 PA ? PD ?
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而 O, F 分别为 AD, BD 的中点,所以 OF // AB ,又 ABCD 是正方形,故 OF ? AD , 以 O 为原点,建立空间直角坐标系 O ? xyz 如图所示, ?????????????????8 分 则有 A(1, 0, 0) , C ? ?1,2,0? , F (0,1, 0) , D(?1, 0, 0) , P(0, 0,1) ,??????????9 分

1 ,连结 PG, DG ,设 G(1, a,0)(0 ? a ? 2) , 3 ??? ? ??? ? ??? ? 则 DP ? (1,0,1), GD ? (?2, ?a,0) ,由(Ⅱ)知平面 PDC 的法向量为 PA ? (1,0, ?1) ,??????10 分
若在 AB 上存在点 G, 使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为

a ? ? ??? ? z? y ? ? ?n ? DP ? 0 ?x ? z ? 0 ? ? 2 设平面 PGD 的法向量为 n ? ( x, y, z) .则 ? ? ???? ,即 ? ,解得 ? ??2 x ? ay ? 0 ?n ? GD ? 0 ?x ? ? a y ? ? ? 2 ? 令 y ? ?2 ,得 n ? ? a, ?2, ?a ? ,??????????????????????????11 分 ? ??? ? n ? PA ? ??? ? 1 1 2a 1 所以 cos ? n, PA ? ? ? ??? ? ? ,解得 a ? (舍去 ? ).??????13 分 ? 2 2 n PA 2 ? 4 ? 2a 2 3
1 1 ? 1 ? AB ),使得二面角 C ? PD ? G 的余弦值为 .?14 分 3 4 ? 2 ? 19.【解析】(Ⅰ) 当 n ? 1 时, a2 ? S1 ? 1 ? a1 ? 1 ? 2 ;???????????1 分 当 n ? 2 时, Sn ? 1 ? an?1 , Sn?1 ? 1 ? an ,相减得 an?1 ? 2an ???????????2 分
所以,在线段 AB 上存在点 G ?1, ,0 ? (此时 AG ? 又 a2 ? 2a1 , 所以 ?an ? 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,所以 an ? 2n?1 ????????4 分 (Ⅱ) 由(Ⅰ) 知 an ? 2n?1 ,所以 bn ? 所以 Tn ?

n n n ? ? n ?1 n ?1 4a n 4 ? 2 2

1 2 3 n ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n Tn ? ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2

1? 1? 1? n ? 2 ? 1 1 1 1 1 n n 1 n?2 2 ? 2 ? 两式相减得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 ? ? n?2 ? ? n?2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1? 2 n?2 1 n ?n ? 1 所以 Tn ? 1 ? n ?1 (或写成 Tn ? 1 ? ? ? 1? ? n , Tn ? 1 ? n ? n ?1 均可给至 8 分) ????8 分 2 2 2 ?2 ? 2 k?2 k?2 1 ? ? (Ⅲ) Sk ? ?Tk ? k ? 1? ? 2k ? 1? ? ?1 ? k2??12 ? k ? 1? ? 2k ? 1? ? ?1 ? 21?1 ? ? ? ? ? k k ? ? ? ? k ?1 2 1 ? ? 1 ? k ? 2? k ? k ?1 ? ????11 分 k ?1 ? 2 ? 1? ? ? 2 ? 1? ? 2 ? 1 2 ? 1 ?
所以

? S ? ?T
k ?1 k n k ?1

n

n k ?2 1 ? 1 ? ? 1 ? ?? 2 ? k ? k ?1 ? ? 2 ?1 ? n?1 ? ? 2 2 ?1? ? 2 ?1? k ?1 ? 2 ? 1 k ? k ? 1?

若不等式

? S ? ?T
k

k ?2 ? m 对任意正整数 n 恒成立,则 m ? 2 , k ? k ? 1?

所以存在最小正整数 m ? 2 ,使不等式

? S ? ?T
k ?1 k

n

20.【解析】(Ⅰ)由 F1 ? ?1,0 ? , F2 ?1,0? , PF1 ? PF2 ? 4 ? F F2 ???????1 分 1
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k ?2 ? m 对任意正整数 n 恒成立????14 分 k ? k ? 1?

根据椭圆定义知 P 的轨迹为以 F1 , F2 为焦点的椭圆,

x2 y2 ? ? 1 . ??4 分 4 3 k ?t ? 2? (Ⅱ)设 l : y ? k ? x ? 2? ,由过点 A?? 2,0? 的直线 l 与曲线 C2 相切得 ? t ?t ? 2? , k 2 ?1 ? k 2? 化简得 t ? , t ? ? 0, ? (注:本处也可由几何意义求 k 与 t 的关系)????6 分 ? 2 2 k ?1 ? ?
其长轴 2a ? 4 ,焦距 2c ? 2 ,短半轴 b ? a 2 ? c 2 ? 3 ,故 C1 的方程为 由0?t ?

k k 2 ?1

?

? y ? k ?x ? 2? ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 y 整理得 4k 2 ? 3 x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 12 ? 0 ,???????8 分 ? ?1 ? 3 ?4

2 2 ,解得 0 ? k ? 1 ????7 分 2

?

?

? ?2 4k 2 ? 3 12k ? ?, l 被曲线 C1 截得的线段一端点为 A?? 2,0? ,设另一端点为 B ,解方程可得 B ? , 直线 ? 4k 2 ? 3 4 k 2 ? 3 ? ? ?
? ?2 ? 4k 2 ? 3? ? ? 12k ?2 12 k 2 ? 1 所以 AB ? ? ????????11 分 ? 2? ? ? 2 ? ? 4k 2 ? 3 ? ? 4k ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? ? ?
2

?

?

(注:本处也可由弦长公式结合韦达定理求得) 令 k 2 ?1 ? n ,则 AB ?

12n ? 4n 2 ? 1

12 1 4n ? n

, n ? (1, 2] ,

考查函数 y ? 4n ? 所以 n ?

1 1 的性质知 y ? 4n ? 在区间 (1, 2] 上是增函数, n n 1 n

7 2 12 12 2 ,从而 AB min ? . ?????? 14 分 ? 2 7 7 2 2 2 2 2 x 21.(本题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e (其中 a ? R ). ? ? (Ⅰ) 若 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,求 a 的值;

2 时, y ? 4n ? 取最大值

?1 2 ? x ? x ? 1? ; ?2 ? (Ⅲ) 若函数 f ? x ? 在区间 ?1, 2 ? 上单调递增,求实数 a 的取值范围.
(Ⅱ) 在(Ⅰ)的条件下,解不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?
2 2 【解析】(Ⅰ)因为 f ? x ? ? ?ax 2 ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e x

? ? ? ? ? ? 0 因为 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,所以由 f ? ? 0? ? ae ? 0 ,解得 a ? 0 ?????3 分
2 x 2 2

?

?

2 x 2 2 x 所以 f ? ? x ? ? ?2ax ? ? a ? 1? ? e ? ?ax ? ? a ? 1? x ? a ? ? a ? 1? ? e ? ?ax ? a ? 1 x ? a ? e ?2 分

?

?

x 检验,当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? xe ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 .

所以 x ? 0 为 f ? x ? 的极值点,故 a ? 0 .?????4 分 (Ⅱ) 当 a ? 0 时,不等式 f ? x ? ? ? x ? 1? ?

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? ? x ? 1? ? e x ? ? x ? 1? ? x 2 ? x ? 1? , 2 2 ? ? ? ?

第 6 页 共 7 页

?x ?1 ? 0 ?x ?1 ? 0 ? x ?1 2 ? ? ?? 整理得 ? x ? 1? ?e ? ? x ? x ? 1? ? ? 0 ,即 ? x ? 1 2 或? x ? 1 2 ?6 分 ? ? e ? ? x ? x ? 1? ? 0 ?e ? ? x ? x ? 1? ? 0 ?2 ?? ? ? ?2 ? ?2 ? ? ? ?1 ? 令 g ? x ? ? e x ? ? x 2 ? x ? 1? , h ? x ? ? g? ? x ? ? ex ? ? x ? 1? , h? ? x ? ? ex ?1 , ?2 ? x 当 x ? 0 时, h? ? x ? ? e ?1 ? 0 ;当 x ? 0 时, h? ? x ? ? ex ?1 ? 0 ,
所以 h ? x ? 在 ? ??,0? 单调递减,在 (0, ??) 单调递增,所以 h ? x ? ? h ? 0? ? 0 ,即 g? ? x ? ? 0 , 所以 g ? x ? 在 R 上单调递增,而 g ? 0 ? ? 0 ;

?1 2 ? ?1 ? x ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 ; e x ? ? x 2 ? x ? 1? ? 0 ? x ? 0 , ?2 ? ?2 ? 所以原不等式的解集为 ? x x ? 0或x ? 1? ;????????????????????????9 分
故 ex ? ?

? ? ? ? 因为 x ? ?1, 2? ,所以 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ?1, 2 ? 上是增函数. ????????11 分
(Ⅲ) 当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? ? ax ? a ? 1 x ? a ? ? e
2 2 x

1? x ? ? e , x ? ?1, 2? 时, f ? x ? 是增函数, f ? ? x ? ? 0 . a? 1? x ? ? 1 ? ? 1 ? ① 若 a ? ?1 ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? e ? 0 ? x ? ? ? , ?a ? ,由 ?1, 2 ? ? ? ? , ?a ? 得 a ? ?2 ; a? ? ? a ? ? a ? 1 1? 1? ? 1? ? ? ② 若 ?1 ? a ? 0 ,则 f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? ? ? e x ? 0 ? x ? ? ?a, ? ? ,由 ?1, 2 ? ? ? ?a, ? ? 得 ? ? a ? 0 . 2 a? a? ? a? ? ? 2 x ③ 若 a ? ?1 , f ? ? x ? ? ? ? x ? 1? ? e ? 0 ,不合题意,舍去.
当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? a ? x ? a ? ? x ? 综上可得,实数 a 的取值范围是 ? ??, ?2? ? ? ? (亦可用参变分离或者图像求解).

? ?

? 1 ? , ?? ? ???????????????14 分 ? 2 ?

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