高中数学人教A版选修2-3教学案2.2.3 独立重复试验与二项分布 Word版含解析

.. 独立重复试验与二项分布 预习课本~,思考并完成以下问题 .独立重复试验及二项分布的定义分别是什么? .两点分布与二项分布之间有怎样的关系? .独立重复试验 在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验. .二项分布 在次独立重复试验中,设事件发生的次数为,在每次试验中事件发生的概率为,那么 在次独立重复试验中,事件恰好发生次的概率为(=)= (-)-,=,…,.此时称随机变量服从二项分布,记作~(,),并称为成功概率. [点睛] 两点分布与二项分布的区别 两点分布 二项分布 在每次试验中只有两个结果,这两个结 区 只要两个结果,这两个结果是对立的, 果是对立的,即要么发生,要么不发 别 即要么发生,要么不发生 生.但在次独立重复试验中共有+个结 果 .判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) ()独立重复试验每次试验之间是相互独立的.( ) ()独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果.( ) ()独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的.( ) 答案:()√ ()√ ()× .已知~,则(=)=. 答案: .连续掷一枚硬币次, 恰好有次出现正面向上的概率是. 答案: .某人射击一次击中目标的概率为., 经过次射击, 此人至少有两次击中目标的概率为. 答案:. 独立重复试验概率的 求法 [典例] 某人射击次,每次中靶的概率均为.,求他至少有次中靶的概率. [解][法一 直接法] 在次射击中恰好有次中靶的概率为×.×.; 在次射击中恰好有次中靶的概率为×.×.; 在次射击中恰好有次中靶的概率为×.×.; 在次射击中次均中靶的概率为×.. 所以至少有次中靶的概率为 ×.×.+×.×.+×.×.+×. =. +. +. +. =. . [法二 间接法] 至少有次中靶的对立事件是至多有次中靶,它包括恰好有次中靶与全没有中靶两种情 况,显然这是两个互斥事件. 在次射击中恰好有次中靶的概率为×.×.; 在次射击中全没有中靶的概率为., 所以至少有次中靶的概率为 -×.×.-.=-. -. =. . 独立重复试验概率求解的关注点 ()解此类题常用到互斥事件概率加法公式,相互独立事件概率乘法公式及对立事件的概 率公式. ()运用独立重复试验的概率公式求概率时,首先判断问题中涉及的试验是否为次独立重 复试验,判断时注意各次试验之间是相互独立的,并且每次试验的结果只有两种(即要么发 生,要么不发生),在任何一次试验中某一事件发生的概率都相等,然后用相关公式求概率. [活学活用] 某射手进行射击训练,假设每次射击击中目标的概率为 ,且每次射击的结果互不影响 ,已知射手射击了次,求: ()其中只在第一、三、五次击中目标的概率; ()其中恰有次击中目标的概率; ()其中恰有次连续击中目标,而其他两次没有击中目标的概率. 解:()该射手射击了次,其中只在第一、三、五次击中目标,是在确定的情况下击中目 标次,也就是在第二、四次没有击中目标,所以只有一种情况,又因为各次射击的结果互 不影响,故所求概率为 =××××=). ()该射手射击了次,其中恰有次击中目标.根据排列组合知识,次当中选次,共有种情 况,因为各次射击的结果互不影响,所以符合次独立重复试验概率模型.故所求概率为 =××=. ()该射手射击了次,其中恰有次连续击中目标,而其他两次没有击中目标,应用排列组 合知识,把次连续击中目标看成一个整体可得共有种情况. 故所求概率为=··=). 二项分布问题 [ 典 例 ] 已知某种从太空飞船中带回来的植物种子每粒成功发芽的概率都为 ,某植物研究所分两个 小组分别独立开展该种子的发芽试验,每次试验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该 次试验是失败的. ()第一小组做了次试验,记该小组试验成功的次数为,求的概率分布列. ()第二小组进行试验,到成功了次为止,求在第次成功之前共有次失败的概率. [解]()由题意,随机变量可能取值为, 则~. 即(=)==, (=)==, (=)==, (=)==. 所以的概率分布列为 ()第二小组第次试验成功,前面次试验中有次失败,次成功,每次试验又是相互独立 的, 因此所求概率为=××=). 判断一个随机变量是否服从二项分布的关键 ()对立性, 即一次试验中,事件发生与否二者必居其一. ()重复性, 即试验独立重复地进行了次. ()随机变量是事件发生的次数. [活学活用] .已知~())),则(=)=. 解析:(=)==). 答案:) .某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为 ,某班名同学商定明天分别就同一问题 询问该服务中心.且每人只拨打一次,求他们中成功咨询的人数的分布列. 解:由题意可知:~, 所以(=)=·-,=. 即(=)=××=; (=)=××=; (=)=××=; (=)=×=. 分布列为 层级一 学业水平达标 .任意抛掷三枚硬币,恰有两枚正面朝上的概率为( ) .. .. 解析:选 每枚硬币正面朝上的概率为,正面朝上的次数~())),故所求概率为×=. .在次独立重复试验中,随机事件恰好发生次的概率不大于其恰好发生两次的概率, 则事件在一次试验中发生的概率的取值范围是( ) .(.] .[.] .[.) .(.] 解析:选 由题意,·(-)≤(-),∴(-)≤,∴.≤≤. .袋中有红、黄、绿色球各一个,每次任取一个,有放回地抽取三次,球的颜色全相 同的概率是( ) .. .. 解析:选 每种颜色的球被抽取的概率为,从而抽取三次,球的颜色全相同的概率为= ×=. .某电子管正品率为,次品率为,现对该批电子管进行测试,设第ξ次首次测到正品, 则(ξ=)=( ) .× .× .×.× 解析:选 ξ=表示第次首次测到正品,而前两次都没有测到正品,故其概率是×,故 选. .在次独立重复试验中,事件发生的概率相同,若事件至少发生次的概率为 ,则事件

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