(1.1变化率与导数(第3课时))_图文

高中数学新课程选修2-2
第一章 1.1
1.1.2

导数及其应用 变化率与导数
导数的几何意义

知识回顾 1.函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim ?x ?0 ?x ? x ?0 ?x

2. 函数f(x)在x=x0处导数:
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ( x0 ) ? lim ? lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x
/

= y |x = x 0

'

3.求函数f(x)在x=x0处的导数基本步骤? 第一步,求函数值增量:

△y=f(x0+△x)-f(x0);
第二步,求平均变化率:
?y lim 第三步,取极限,求导数:f ( x0 ) ? ? . x ?0 ?x
/

?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ? ?x ?x



4.导数f′(x0)表示函数f(x)在x=x0处的

瞬时变化率,这是导数的代数意义。

5.平均变化率及几何意义 函数y=f(x)的定义域D,x1,x2∈D, f(x)从x1到x2平均变化率为:
y
y=f(x)

?y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?x x2 ? x1
表示割线AB 的斜率

f(x2)

B
f(x2)-f(x1)=△y

f(x1) O

A x1 x2

x

x2-x1=△x

1、导数的几何意义
y
y=f(x) Q

割 线
T

Q?P

? x ? 0 切线
P

?

PQ ? PT
割 x 线
切 线

o

的切线的斜率.

f ?( x0 )表示曲线在点 P( x0 , f ( x0 ))处

例1、求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处 的切线方程. 切线方程为y-2=2(x-1) 即y=2x.

求曲线在某点处的切线方程的步骤: ①利用导数求切线的斜率; ②利用点斜式求切线方程.

(1)求曲线在点P处的切线方程; y
y

1 3 8 练习:如图已知曲线 y ? x 上点 P (2, ) 3 3
y? 1 3 x 3

12x-3y-16= 0.

P
x

(2)求曲线的过点P的切线方程.

1 3 设切点坐标 (x0 , x0 ) 3
12x-3y-16= 0或 3x-3y+2= 0

x

例2、根据函数h(t)=-4.9t2+6.5t+ 10的图象,如何描述、比较曲线h(t)在 t0,t1,t2附近的变化情况?

在t=t0附近曲线 比较平坦
在t =t 1及t =t 2 附近曲线下降,

h

l0

O

t0 t1 t2

t

曲线在t=t1附近比在 t=t2附近下降得缓慢.

l2

l1

3、函数导函数

f ( x ? ?x) ? f ( x) f ?( x) ? y? ? lim ?x ?0 ?x 函数y ? f ( x)在点x0处的导数f ?( x0 ) 等于函数f ( x)的导(函)数f ?( x)在点x0处的
函数值.

则称 f ?( x)是f(x)的导函数。 简称导函数

定义在D上的函数f(x)满足: 唯一确定 f ?( x ) 对x0∈D 0

4、求函数y=f(x)的导数

(1)求?y ? f ( x ? ?x) ? f ( x);
?y f ( x ? ?x) ? f ( x) (2)求 ? ; ?x ?x

(3)求极限,得导函数 ?y y? ? f ?( x) ? lim . ?x ? 0 ?x

例.已知y ?
??????????????
?y ? ?x

x,求y?.
?x x ? ?x ? x

解:?y ? x ? ?x ? x

1 x ? ?x ? x

?y 1 1 ? y? ? lim ? lim ? . ?x ?0 ?x ?x ?0 x ? ?x ? x 2 x

练习: 已知直线l1为抛物线y=x2+x-2 在点A(1,0)处的切线,l2为该抛物线的 另一条切线,且l1⊥l2,求直线l1和l2的方 程. l1:y=3x-3.

1 22 l2 : y = - x 3 9

练习:设点P为曲线 y ? x ? 3x ? 2 上任意一点,求该曲线在点P处的切线 的倾斜角θ的取值范围.
3

? ?[ , )
3 2

? ?

小结作业 1.导数f′(x0)表示函数f(x)的图象在x= x0处的切线的斜率,这是导数的几何意 义. 2.设点P、Q为曲线C上两点,当点Q逐 渐靠近点P时,线段PQ逐渐贴近曲线弧, 过点P的切线PT最贴近点P附近的曲线, 因此,在点P附近,曲线f(x)可以用过点 P的切线PT近似代替.

作业:

P10习题1.1A组:5,6. P11习题1.1B组:1,2.

1 3 作业:1.已知曲线 y ? x ? 2 x 3
(1).求曲线在点P(3,3)处的切线方程; (2).求曲线过点P(3,3)的切线方程.
2.求曲线 y ? ? x ? 2 x ? 3 的点 到直线x-y+4=0的最短距离.
2

小结:
c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。 (3)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x ) | x ? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
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