江苏省泰兴中学高二数学苏教版选修2-2教学案:第2章7数学归纳法(二)


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江苏省泰兴中学高二数学讲义(50)
数学归纳法(二)
【教学目标】 1.了解数学归纳法在证明不等式、整除、几何等问题中的简单应用; 2.进一步体会“归纳-猜想-证明”在数学解题中的作用. 【预习导引】 1.用数学归纳法证明 化是增加
1 1 1 13 ? ?K ? ? (n ? 2, n ? N ? ) 时,由 k 到 k+1,不等式左端变 n ?1 n ? 2 2n 24

两数,减少

一数. ___

1 1 1 2.用数学归纳法证明1 ? ? ? K ? n ? n(n ? N ? , n ? 1) 时,第一步即证不等式____ 2 3 2 ?1
3..用数学归纳法证明: 设 n ? N * , n ? 1 ,求证: 1 ? 【典型例题】
? 例1 已知 Sn ? 1 ? ? ? K ? (n ? 1, n ? N ) ,求证: S 2 n ? 1 ?

1 1 1 ? ? ??? ? ? n 2 3 n

1 1 2 3

1 n

n (n ? 2, n ? N ? ) 2

例2

设 n ? N , f (n) ? 5 ? 2 ? 3 ? 1
n n

?

(1)当 n=1,2,3,4 时,计算 f(n)的值; (2)你对 f(n)的值有何猜想,用数学归纳法证明你的猜想.

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例3 在平面上画 n 条直线,且任何两条直线都相交,其中任何三条都不共点, 问:这 n 条直线将平面分成多少个部分?

变:设 n 个半圆的圆心在同一条直线 l 上,这 n 个半圆每两个都相交,且都在 l 的同侧, 问:这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?

选讲 已知△ABC 的三边长都是有理数. (1)求证 cosA 是有理数; (2)求证:对任意正整数 n,cosnA 是有理数.

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江苏省泰兴中学高二数学课后作业(50)
班级: 1.若 f (n) ? 姓名: 学号:

1 1 1 1 ? ? ? ??? ? 2 则 f (n) 中共有 项,当 n ? 2 时 f (2) ? n n ?1 n ? 2 n 1 1 1 ? n(n ? 2, n ? N ? ) 的过程中 , 由 n ? k 2. 利用数学归纳法证明不等式 1 ? ? ? ??? ? n 2 3 2 ?1
变到 n ? k ? 1 时,左边加上 3.已知数列 {an } ,用数学归纳法证明 a4 n 能被 4 整除,假设 a4 k 能被 4 整除,下面应证明:

4.用数学归纳法证明“ 3 变形为: 5.证明: 1 ?

4 n ?1

? 52n?1 能被 14 整除,当 n=k+1 时, 34( k ?1) ?1 ? 52( k ?1) ?1 可以

1 1 1 1 ? 2 ? K ? 2 ? 2 ? (n ? 2, n ? N ? ) 2 2 3 n n

6.用数学归纳法证明: 3

4n?2

? 52n?1 能被 14 整除

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7. 是否存在 a, b, c 使等式 1? (n2 ? 12 ) ? 2? ( n 2 ? 22 ) ?K ?n ? ( n 2 ?n 2 ) ?an4 ?bn2 ? c对一 切正整数 n 都成立?若成立,求出 a, b, c 的值,并证明你的结论;若不存在,请说明理由.

8.平面上有 n 个圆,其中每两个圆都相交于两点,并且每三个圆都不过同一点,求这 n 个圆 把平面分成的部分 f(n) ,并证明你的结论.

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