等比数列的定义与通项公式教学设计 人教课标版(实用教案)

等比数列的定义与通项公式教学设计 一、教材依据
中等职业教育课程改革国家规划新教材数学基础模块下册第六章《数列》第三节。 本节课要求能正确理解等比数列的定义,能根据定义判断一个数列是等比数列,能运 用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项,能运用公式解决一些简单的 实际问题。
这节课是在等差数列的基础上,运用同样的研究方法和研究步骤,研究另一种特殊 数列——等比数列。教材将等比数列安排在等差数列之后,有承前启后的作用,一方面 与等差数列有着密切联系,另一方面为进一步学习等比数列求和有关内容做好准备。
二、学生情况分析
现在的中职学生由于入学成绩低,基础普遍较差,且没有学习的信心和主动性, 也不善于归纳总结。在本节课学习时,我考虑学生可能会把等比数列和等差数列混淆, 对通项公式的推导和公式的运用可能比较难理解。针对这些,我用幻灯片提前准课好堂 提问和课堂练习,尽量多一些学生思考的时间,并积极鼓励学生和启发学生通过类比、 猜测和归纳,根据等差数列的定义与通项公式得出等比数列的定义与通项公式;我还把 基础知识、基本技能、方法和思路溶于课堂练习中,使学生在不知不觉中接受、掌握和 巩固等比数列的概念、公式,并发现解题的规律。总之在课堂上我采用启发式的、感观 性的、让学生参与的直观教学,我用三多,即多练,多问,多鼓励来打消学生的畏难情 绪,充分尊重学生的主体性和创造性,通过师生互动,为学生学好数学搭建平台。
三、设计思想
这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤研究类似的问题,学 生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利 于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问 题的能力。另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠等, 在教学中应注意加以比较。
在设计本节课时,我将内容按照“问题情景——学生活动——教学构建——教学运 用——教学反思”的顺序展开,通过列举生活中的大量背景,让学生自己去发现,去探 索其公式意义。

四、教学目标

(一)知识目标:

、类比等差数列的概念,理解等比数列的概念;

、类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式;

、掌握等比数列的通项公式,并能用公式解决一些简单的实际问题。
(二)能力目标:

给出问题情境,引导学生经过类比、观察、猜测、归纳、概括等过程,培养学生的

类比创新能力,严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度。

(三)情感目标:

通过感受问题情境,激发学生学习数学的热情,培养学生应用数学的意识。

五、教学重点:等比数列的定义和对通项公式的认识与应用。 六、教学难点:等比数列通项公式的推导和运用。 七、教学设备:多媒体辅助教学。 八、教学过程:

(一)创设情境(幻灯片)(分钟)

情境:某人于元月经引诱参与传销活动,二月发展人作为其下线。一个月后,每个

下线各发展人作其下线,依此继续。问:每个月新增多少人受骗?

情境:银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息,即把前一期的利息和本金

加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.按照复利计算

本利和的公式是 本利和=本金×(+利息)贷款期

例如,现在从银行贷款元钱,年利息是,那么按照复利,年内各年末的本利和分别

是(计算时精确到小数点后位):

时间

年初本金(元)

第年

第年

×

第年

×

第年

×

第年

×

年末本利和(元) × × × × ×

各年末的本利和(单位:元)组成了下面的数列:
×,×,×,×,×。
(二)学生活动(分钟) 问题:、上面这些问题涉及的数列是等差数列吗?
、与等差数列相比,上面这些数列有什么共同特点?、你能再举出几个具有这样特点的 数列吗?(要求与众不同)
(评析:①从实际问题引入,体现直观具体,激发学生的求知欲;②与旧知发生联 系,获得类比情境;学生举例,问题具有开放性,意在积累感性认识;要求“与众不同” 恰是通过交流为不同学生构筑相接近的认知平台。) (三)建构教学(分钟)
、等比数列的概念(引导学生通过类比等差数列得出) ()定义:一般地,一个数列从第二起每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 这个数列就叫等比数列,这个常数叫等比数列的公比。 练习:(幻灯片) ①以下几组数列,说出哪些是等比数列,如果是等比数列,它的公比是多少? 、-,,,,,,,,… 、,,,,,,… 、,,,,,,,… 、,-,,-,,-,,-,… ②等比数列和等差数列有着密切的联系,那么有没有这样的数列,它既是等差数列 又是等比数列呢?请举例。 ③对于等比数列{ }, 能不能是?公比能不能是? 得到对定义的认识:①等比数列的每一项都不为;②公比不为。 提问:对于等比数列,你想对它做些什么研究?问题是怎样产生的? ()概念数字化(类比等差数列,在教师的启发下由学生讨论得出) 对于数列{},若 an?1 ? q ( n ? N * ,为常数),则称这个数列为等比数列,常数
an 称为等比数列的公比。

提问:通过类比可以发现,等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了

“比”,我们已经知道等差数列可以用公差,项数及首项表示等差数列的任一项,也就

是可以表示它的通项公式。同样,你能类比得出等比数列的通项公式吗?如果能得出,

试用以上例子加以检验。

、等比数列的通项公式(由学生类比等差数列讨论得到等比数列的通项公式)

()通项公式: an ? a1qn?1, n ? N * ()知道等比数列的首项和公比就可求出这个数列的任何项

练习:(幻灯片)

①一个蜂巢里有1只蜜蜂,第天,它飞出去找回了个伙伴;第天只蜜蜂飞出去,各

自找回了个伙伴……如果这个找伙伴过程继续下去,第天所有蜜蜂都归巢后,算一算蜂

巢中共有多少只蜜蜂?

②写出等比数列,…,… 的通项公式

③用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是哪些?

、已知,;

、,,,……;

、 ,,,……,;

、,,,……,()。

师点评:寻找通项即寻找项的一般规律,常可先看特殊项,写出几项,再归纳出一

般结论,这是探索数列常用的一种方法,叫不完全归纳法。

④提问:对于等比数列的通项公式,我们可以从哪几个方面去认识它?

(在讲等差数列时已讨论过这类公式,学生知道从什么角度去认识公式)

、可以从函数的角度去认识,通项公式可以看作是“项”与“项所在的项数”之间

的函数关系。

当=时,an ? a1,点(,an )在直线=上;当≠时,函数图像类似于指数函数图像, 但是它的图像是由一些孤立的点组成。

、从方程的角度去考虑,方程中有四个量,在,,和中只要知道其中三个量,便可

求第四个,请学生自己举例编这样类型的题。

(评析:通过学生自己亲自尝试、体验,才能深该理解等数列的定义和通项公式。

对学生来讲,这样才能学好数学)

(四)知识应用(分钟)



在等比数列{}中, a5

?

?1, a8

?

?1,求 8

(引导学生自己分析,要求等比数列的某一项,根据通项公式,必须先求首项和公

比)

{ 解:设等比数列的公比为,则

a1?q 4 ??1

a1 ?q 7

??1 8

解得

{a1 ? ?2 4 q ?? 1 2

故 所以

an

?

?24

? ( 1 )n?1 2

a13

?

?2 4

? ( 1 )12 2

?

?

1 256

反思:这种类型的题目主要是方程思想的应用,应用的过程主要是三个步骤:设、

列、求。

师析:这类题既从定义、结构,又从通项入手,多角度体会等比数列的特点,逐步

达到概念和公式的深层内化。

例 银行贷款一般都是采用“复式计息法”计算利息,小王从银行贷款万元,贷

款期限为年,年利率为,如果年后一次性还款,那么小王应偿还银行多少钱?
(引导学生分析,每年末的本利和为:本利和=本金×(+利息)贷款期,每年末的本利和组成的

数列,是一个等比数列,公差,现在要求的是这个数列的第项,需要什么条件呢?)

解:公差+=

第年末的本利和为:= 20 ? 20?5.76% ? 20?1.0576

第年末的本利和为:= a1 ? q5?1 ? 20?1.05765 ? 26.462886 反思:这是等比数列在生活中的实际应用,要先求出首项和公比。

师析:数学是我们工作和生活的工具,学习数学目的就是为了应用。

(五)学生巩固练习(分钟)

、求等比数列,,,…的第项与第项?

、一个等比数列的第项是,第项是 ,求它的第项与第项? (六)拓展延伸(分钟)

引导学生分析思考如下问题:如果三个数a,,b成等比数列,则叫作a,b的等 比中项,那么如何用a,b表示呢?这个式子是三个数a,,b成等比数列的什么条件? (七)回顾反思与布置作业(分钟)
、回顾反思(在这节课上,你有哪些收获?)(启发学生类比等差数列得出。) ()等比数列的定义; ()等比数列的通项公式及推导; ()等比数列首项与公比不能为。 、布置作业 ()课后思考:对照等差数列,试猜想等比数列的一些相应的性质。 ()必做题:教材习题组:,, 选做题:教材习题组:, ()预习作业:~等比数列的前项和公式 九、教学反思 在本节课教学设计中,处处创设数学情境,激发了学生的学习兴趣的探究热情, 体现了数学的应用价值。 在教学中,在教师的的鼓励与启发下,让学生自己思考,去类比、去联想、去 探究、去归纳、去总结;在从方程的观点去认识通项公式时,让学生自己编题,这 样即达到了考查的目的,又发挥了其主观能动性,让学生自主构建,在动态中生成, 从而达到培养学生自主学习的能力。
十、板书设计

6.3.1 等比数列的定义与通项公式

一、定义 、定义 、对定义的认识 、概念的数字化 二、通项公式 、通项公式 、对通项公式的认识





巩固练习 小结
布置作业

人生最大的幸福,莫过于连一分钟都无法休息 零碎的时间实在可以成就大事业 珍惜时间可以使生命变的更有价值 时间象奔腾澎湃的急湍,它一去无返,毫不流连 一个人越知道时间的价值,就越感到失时 的痛苦 得到时间,就是得到一切 用经济学的眼光来看,时间就是一种财富 时间一点一滴凋谢,犹如蜡烛漫漫燃尽 我总是感觉到时间的巨轮在我背后奔驰,日益迫近 夜晚给老人带来平静,给年轻人带来希 望 不浪费时间,每时每刻都做些有用的事,戒掉一切不必要的行为 时间乃是万物中最宝贵的东西,但如果浪费了,那就是最大的浪费 我的产业多么美,多么广,多么宽,时间是我的财产,我的田地是时间 时间就是性命,无端的空耗别人的时间,知识是取之不尽,用之不竭的。只有最大限度地挖掘它,才能体会到学习的乐趣。 新想法常常瞬息即逝,必须集中精力,牢记在心,及时捕获。 每天早晨睁开眼睛, 深吸一口气,给自己一个微笑,然后说:“在这美妙的一天,我又要获得多少知识啊!” 不要为这个世界而惊叹,要让这个世界为你而惊叹! 如果说学习有捷径可走,那也一定是勤奋。 学习犹如农民耕作, 汗水滋润了种子,汗水浇灌了幼苗,没有人瞬间奉送给你一个丰收。 藏书再多,倘若不读,只是一种癖好;读书再多,倘若不用,只能成为空谈。 学习好似一片沃土,只要辛勤耕耘,定会有累累的硕果;如 若懒于劳作,当别人跳起丰收之舞时,你已是后悔莫及了。 不渴望能够一跃千里,只希望每天能够前进一步,学习的成功与失败原因是多方面的,要首先从自己身上找原因,才能受到鼓舞,找出努力的方向


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