高中数学:4. 2. 1《直线与圆的位置关系》教学课件2(新人教A版必修2)

4.2.1直线与圆的位置关系

实例引入
一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的 台风预报:台风中心位于轮船正西70km处,受影响的 范围是半径长为30km的圆形区域.已知港口位于台风 中心正北40km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它 是否会受到台风的影响?
y

为解决这个问题,我们以台 风中心为原点 O,东西方向为 x 轴,建立如图所示的直角坐 标系,其中取 10km 为单位长 度.

港口

O

轮船

x

实例引入
这样,受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆 的方程为:

x ?y ?9
2 2

轮船航线所在直线 l 的方程为:

y 港口

4 x ? 7 y ? 28 ? 0
问题归结为圆心为O的圆 与直线l有无公共点.
O

轮船

x

直线与圆的位置关系 想一想,平面几何中,直线与圆有哪几种位置关系?
平面几何中,直线与圆有三种位置关系:
(1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点.

(1)

(2)

(3)

直线与圆的位置关系

在初中,我们怎样判断直线与圆的位置关系? 现在,如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系? 先看几个例子,看看你能否从例子中总结出 来.

(1)

(2)

(3)

典型例题
x ? y ? 6 ? 0 例1 如图,已知直线l: 3 和圆心为 C的 2 2 y ? 2 y ? 4 ? 0 圆 x? ,判断直线 l 与圆的位置关系;如
果相交,求它们交点的坐标. 分析:方法一,判断直线l与圆的位置关系,就是看由它 们的方程组成的方程组有无实数解; 方法二,可以依据圆心到直线的距离与半径长的关系, 判断直线与圆的位置关系.

典型例题
x ? y ? 6 ? 0 例1 如图,已知直线l: 3 和圆心为 C的 2 2 y ? 2 y ? 4 ? 0 圆 x? ,判断直线 l 与圆的位置关系;如
果相交,求它们交点的坐标. 解法一:由直线 l 与圆的方程,得:

3 x?y?6?0 , ? ?2 2 x ?y ?2 y?4?0 . ?
消去y,得:
2 x ? 3 x ? 2 ? 0
2 因为: ? ? ( ? 3 ) ? 4 ? 1 ? 2

=1>0 所以,直线 l 与圆相交,有两个公共 点.

典型例题
x ? y ? 6 ? 0 例1 如图,已知直线l: 3 和圆心为 C的 2 2 y ? 2 y ? 4 ? 0 圆 x? ,判断直线 l 与圆的位置关系;如
果相交,求它们交点的坐标. 解法二:圆
2 2 可化为 x ? y ? 2 y ? 4 ? 0

2 2 x ? ( y ? 1 ) ? 5 .

其圆心C的坐标为(0,1),半径长为 线 l 的距离

5 ,点C (0,1)到直

|3 ? 0 ? 1 ? 6 | 5 d ? 2 ? ?5 3? 12 10
所以,直线 l 与圆相交,有两个公共点.

典型例题
x ? y ? 6 ? 0 例1 如图,已知直线l: 3 和圆心为 C的 2 2 y ? 2 y ? 4 ? 0 圆 x? ,判断直线 l 与圆的位置关系;如
果相交,求它们交点的坐标.
2 解: 由 x ,解得: ? 3 x ? 2 ? 0

x ? 2 ,x ? 1 1 2 2 ,x 1代入方程①,得 y1 ? 0 ; 把x 1? 2?


y ? 3 代入方程① ,得 . x ? 2 , x ? 1 2 1 2

所以,直线 l 与圆有两个交点,它们的坐标分别是:

A(2,0),B(1,3)

典型例题
2 2 例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 )的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程. 解:将圆的方程写成标准形式,得:

x? ( y ? 2 )? 25
2 2

如图,因为直线l 被圆所截得的弦长是 4 5 ,所以弦心距为

4 52 5 ?( ) ? 5 2
2

即圆心到所求直线的距离为

5.

典型例题
2 2 例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 )的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.

解:因为直线l 过点 M ( ? 3 , ? 3 ),

? 3 ? k ( x ? 3 ) 所以可设所求直线l 的方程为:y
即: kx ? y ? 3 k ? 3 ? 0
根据点到直线的距离公式,得到圆心到直线l 的距离:

| 2?3 k ?3| d? k2 ?1
因此:

| 2?3 k ?3| k ?1
2

? 5

典型例题
2 2 例2 已知过点 M ( ? 3 , ? 3 )的直线被圆 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0

所截得的弦长为 4 5 ,求直线的方程.
2 解:即: |3 k? 1 | ?5 ? 5 k
2 两边平方,并整理得到: 2 k ? 3 k ? 2 ? 0

所以,所求直线l有两条,它们的方程 分别为: 1 ? 3 ? 2 ( x ? 3 ) y? 3?? (x? 3 )或 y 2

1 解得: k?? ,或 k?2 2

即:

x ? 2 y ? 9 ? 0 , 或 2 x ? y ? 3 ? 0

直线与圆的位置关系

回顾我们前面提出的问题:如何用直线和圆 的方程判断它们之间的位置关系?
判断直线与圆的位置关系有两种方法:

方法一:判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否 有解.如果有解,直线l与圆C有公共点.有两组实数 解时,直线l与圆C相交;有一组实数解时,直线l与圆C 相切;无实数解时,直线l与圆C相离.
方法二:判断圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径 r的关系.如果d< r ,直线l与圆C相交;如果d= r ,直 线l与圆C相切;如果d> r ,直线l与圆C相离.

知识小结
有无交点,有几个.

判断直线与圆 的位置关系

直线l与圆C的方程组成的方 程组是否有解,有几个解.
判断圆C的圆心到直线l的距 离d与圆的半径r的关系(大 于、小于、等于).


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