高中数学 第三章 推理与证明 数学证明典例导航课件 北师大版选修1-2_图文

? 用三段论的形式写出下列演绎推理: ? (1) 矩形的对角线相等,正方形是矩形, 所以正方形的对角线相等; ? (2)0.33是有理数; ? (3)一切奇数都不能被2整除,2100+1是 奇数,所以2100+1不能被2整除. ?[解题过程] ?(1)每一个矩形的对角线相 等. 大前提 ?正方形是矩形. 小前提 ?正方形的对角线相等. 结论 ?(2)所有的循环小数是有理 数. 大前提 ?0.33是循环小数. 小前提 ?0.33是有理数. 结论 ?(3)一切奇数都不能被2整 除. 大前提 ?2100+1是奇数. 小前提 ? 1.用三段论的形式写出下列演绎推 理. ? (1)若两角是对顶角,则此两角相 等.所以若两角不相等,则此两角不是对 顶角. ? (2)三角函数都是周期函数,y=tanα 是三角函数,因此y=tanα是周期函数. ? (3)通项公式an=2n+3的数列{an}为等 差数列. ? 解析: 演绎推理中如果大前提、小 前提都是真实的,按照三段论形式推出 的结论必是真实的,因此,演绎推理可 以作为严格的推理方法. ? (1)两个角是对顶角,则两角相等. 大前提 ? ∠1和∠2不相等. 小前提 ? ∠1和∠2不是对顶角. 结论 ? (2)三角函数都是周期函数. 大前 提 ? y=tanα是三角函数. 小前提 ? (3)数列{an}中,如果当n≥2时,an-an-1为 常数,则{an}为等差数列. 大前提 ? 通项公式an=2n+3时,若n≥2. ? 则an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常 数 ). 小前提 ? 通项公式an=2n+3表示的数列为等差数列. 结论 在四边形ABCD中,AB=CD,BC= AD(如图),求证:ABCD为平行四边形, 写出三段论形式的演绎推理. ? ? [证明过程] (1)连结AC. ? (2) 平面几何中的三角形“边边边”定理是: 有三边对应相等的两个三角形全等,这一定理 相当于: ? 对于任意两个三角形,如果它们的三边对应 相等,则这两个三角形全等, 大前提 ? △ABC和△CDA的三边对应相等, 小 前 提 AB=CD? ? 符号表示为: BC=DA??△ABC≌△CDA. ? 则这两个三角形全等. 结论 ? CA=AC ? ? (3) 由全等三角形的定义可知:全等三角形 的对应角相等,这一性质相当于:对于任意两 个三角形,如果它们全等,则它们的对应角相 等. 大前提 ? △ABC和△CDA全等. 小前提 ? 则它们的对应角相等. 结论 ? 用符号表示,就是△ ABC≌△CDA?∠1 =∠ 2 且∠3=∠4且∠B=∠D. ? (4) 两条直线被第三条直线所截,如果内错 角相等,那么这两条直线平行. 大前提 ? 直线AB、DC被直线AC所截,内错角∠1=∠2. ? 小前提(已证) ? 则AB∥DC. 结论 ? 同理有:BC∥AD. ? (5)如果四边形两组对边分别平行,那么这 个四边形是平行四边形. 大前提 ? 四边形ABCD中,两组对边分别平行. 小 前 提 ? 则四边形ABCD是平行四边形. 结论 ? 用符号表示为: AB∥DC 且 AD∥BC? 四边形 ABCD为平行四边形. ? 2.如图,D,E,F分别是BC,CA,AB上的 点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF. ? 证明: 因为同位角相等,两条直线平行, 大前提 ? ∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A, 小前提 ? 所以FD∥AE. 结论 ? 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边 形, 大前提 ? DE∥BA,且FD∥AE, 小前提 ? 所以四边形AFDE为平行四边行. x-2 已知函数 f(x)=a + (a>1), x+1 x 求证:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. [证明过程] 对于?x1,x2∈I,且 x1<x2,若 f(x1)<f(x2), 则 y=f(x)在 I 上是增函数. 大前提 设 x1,x2 是(-1,+∞)上的任意两数,且 x1<x2,则 x1-2 x2-2 f(x1)-f(x2)=ax1+ -ax2- x1+1 x2+1 x1-2 x2-2 3?x1-x2? =ax1-ax2+ - =ax1-ax2+ . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ? ∵a>1,且x1<x2,∴ax1<ax2,x1-x2<0. ? 又∵x1>-1,x2>-1,∴(x1+1)(x2+1)>0. ? ∴f(x1) - f(x2)<0 , ∴f(x1)<f(x2). 小前提 ? ∴ 函 数 f (x ) 在 ( - 1 , + ∞ ) 上 为 增 函 数 . 结论 x2+1 3.关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列命题: |x| ①其图像关于 y 轴对称;②当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)为减函数;③f(x)的最小值是 lg 2;④当-1<x<0 或 x>1 时,f(x)是增函数;⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. 解析: 于 y 轴对称. 显然 f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,其图像关 ? x2+1 1? ? 当 x>0 时,f(x)=lg =lg ?x+ x? ?. x ? ? 1 设 g(x)=x+ ,可知其在(0,1)上是减函数,在(1,+∞) x 上是增函数,∴f(x)在 (0,1)上是减函数,在 (1,+∞)上是增 函数.f(x)min=f(1)=lg 2. ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在(-1,0)上是增函数. 答案: ①③④

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