2016-2017学年高中数学章末质量评估3新人教A版选修2-2讲义

2016-2017 学年高中数学 章末质量评估 3 新人教 A 版选修 2-2
一、选择题(本大题共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.设 z1=3-4i,z2=-2+3i,则 z1-z2 在复平面内对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限 解析: z1-z2=5-7i. 答案: D 1-7i 2.复数 的虚部为( 1+i A.0 C.4 ) B. 2 D.-4 B.第二象限 D.第四象限 )

1-7i ?1-7i??1-i? -6-8i 解析: ∵ = = =-3-4i, 1+i ?1+i??1-i? 2 1-7i ∴复数 的虚部为-4,选 D. 1+i 答案: D 3.在下列命题中,正确命题的个数是( ①两个复数不能比较大小; ②z1,z2,z3∈C,若(z1-z2) +(z2-z3) =0,则 z1=z3; ③若(x -1)+(x +3x+2)i 是纯虚数,则实数 x=±1; ④若 a,b 是两个相等的实数,则(a-b)+(a+b)i 是纯虚数. A.0 个 C.2 个 B. 1 个 D. 3 个
2 2 2 2

)

解析: 两个复数当它们都是实数时,是可以比较大小的,故①是不正确的; 假设 z1=i,z2=0,z3=1,若(i-0) +(0-1) =0,则 i=1,显然是错误的,故②是 不正确的; 假设 x=-1,则 x +3x+2=0,故③是不正确的; 假设 a=b=0,则(a-b)+(a+b)i=0 是实数,故④是不正确的. 综上可知:①②③④均不正确,故选 A. 答案: A
2 2 2

z
4.已知 =2+i,则复数 z=( 1+i A.-1+3i ) B.1-3i

1

C.3+i

D.3-i

解析: 由题意知 z =(1+i)(2+i)=2-1+3i=1+3i, 从而 z=1-3i,选 B. 答案: B 5.在复平面内,复数 z=i (1+2i)对应的点位于( A.第一象限 C.第三象限
2 3 2

)

B.第二象限 D.第四象限

解析: 复数 z=i +2i =-1-2i,复数对应的点为(-1,-2),则复数 z 对应的点 在第三象限,选 C. 答案: C 6.复数 z=(a -2a-3)+(a+1)i 为纯虚数,实数 a 的值是( A.-1 C.1 解析: 由题意知? 答案: B 7.已知复数 z=1+i,则 A.2i C.2 解析:
?a -2a-3=0, ? ? ?a+1≠0,
2 2

)

B. 3 D.-1 或 3 解得 a=3,选 B.

z2-2z 等于( z-i

) B.-2i D.-2

z2-2z ?1+i?2-2?1+i? 2i-2-2i = = =-2,选 D. z-i 1+i-i 1

答案: D 8.复数 z=(a -2a)+(a -a-2)i(a∈R)对应的点在虚轴上,则( A.a≠2 或 a≠1 C.a=0 B.a≠2 且 a≠1 D.a=2 或 a=0
2 2 2

)

解析: 由点 Z 在虚轴上可知,点 Z 对应的复数是纯虚数和 0,故 a -2a=0,解得 a =0 或 2.故选 D. 答案: D 9.已知 a,b∈R,命题甲:a+bi 是纯虚数;命题乙:a=0,则甲是乙成立的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

解析: 若 a+bi 是纯虚数,则 a=0,b≠0,于是甲是乙的充分但不必要条件,选 A. 答案: A

2

10.已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上所对应的点分别为

A,B,C,若OC=λ OA+μ OB(λ ,μ ∈R),则 λ +μ 的值是(
A.1 C.3 B. 2 D. 4







)

解析: 依题意 3-4i=λ (-1+2i)+μ (1-i)=μ -λ +(2λ -μ )i,
?μ -λ =3 ? ∴? ?2λ -μ =-4 ? ?λ =-1 ? ,∴? ?μ =2 ?

,∴λ +μ =1.

答案: A 11.复数 z=x+yi(x,y∈R)满足条件|z-4i|=|z+2|,则|2 +4 |的最小值为( A.2 C.4 2 解析: 由|z-4i|=|z+2|得 x+2y=3. 则 2 +4 ≥2 2 答案: C 12.已知 f(n)=i -i (i =-1,n∈N),集合{f(n)}的元素个数是( A.2 个 C.4 个 解析: f(0)=i -i =0,
0 0

x

y

)

B. 4 D.16

x

y

x+2y

=2· 2 =4 2.

3

n

-n

2

)

B. 3 个 D.无数个

f(1)=i-i-1=i- =2i,f(2)=i2-i-2=0, f(3)=i3-i-3=-2i.
∴{f(n)}={0,-2i,2i}. 答案: B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.请把正确答案填在题中横线上) 13. 若复数 z=(m-1)+(m+2)i 对应的点在直线 y=2x 上, 则实数 m 的值是________. 解析: 由已知得 2(m-1)-(m+2)=0,∴m=4. 答案: 4 14.设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i(i 是虚数单位),则 z 的实部是________. 解析: 设 z=a+bi(a,b∈R), 则 i(z+1)=i(a+1+bi)=-b+(a+1)i=-3+2i, 所以 a=1,b=3,复数 z 的实部是 1. 答案: 1 → → 15.在复平面内,复数 1+i 与-1+3i 分别对应向量OA和OB,其中 O 为坐标原点,则

1 i

3

→ |AB|=________. → 解析: ∵AB=(-1+3i)-(1+i)=-2+2i, → ∴|AB|=2 2. 答案: 2 2 16.设 i 是虚数单位,若复数 a- 10 (a∈R)是纯虚数,则 a 的值为________. 3-i

解析: 先利用复数的运算法则将复数化为 x+yi(x,y∈R)的形式,再由纯虚数的定 义求 a. 10 10?3+i? 10?3+i? 因为 a- =a- =a- =(a-3)-i,由纯虚数的定义, 3-i ?3-i??3+i? 10 知 a-3=0,所以 a=3. 答案: 3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 17.(本小题满分 12 分)计算??1+2i?·i +?
100

? ?

?1-i?5?2-?1+i?20. ?? ? ? ?1+i? ? ? 2 ?

解析: ??1+2i?·i +?
100

? ?
2

?1-i?5?2-?1+i?20 ?? ? ? ?1+i? ? ? 2 ?
10

=[(1+2i)·1+(-i) ] -i =(1+i) -i =1+2i.
10

5 2

18.(本小题满分 12 分)实数 m 分别取什么值时,复数 z=(m +5m+6)+(m -2m-15)i (1)与复数 2-12i 相等; (2)与复数 12+16i 互为共轭复数; (3)对应的点在 x 轴上方? 解析:
? ?m +5m+6=2, (1)由题意得? 2 ?m -2m-15=-12, ? ?m +5m+6=12, ? ? ?m -2m-15=-16,
2 2 2 2

2

2

解得 m=-1.

(2)由题意得?

解得 m=1.

(3)由题意知,m -2m-15>0,解得 m>5,或 m<-3. 19.(本小题满分 12 分)在复平面上,正方形 ABCD 的两个顶点 A,B 对应的复数分别为 1+2i,3-5i.求另外两个顶点 C,D 对应的复数. 解析: 设 D(x,y),A,B,C,D 对应的复数分别为 z1,z2,z3,z4,则 z4-z1=x-1 +(y-2)i,z2-z1=2-7i. → → 在正方形 ABCD 中,AD⊥AB,且|AD|=|AB|,z4-z1 表示AD,z2-z1 表示AB,
4

∴|z4-z1|=|z2-z1|,即

x2+y2-2x-4y-48=0.
(x-1)·2-7(y-2)=0, 即 2x-7y+12=0. ①②联立解得? → → 又BC=AD, 则 z3-z2=z4-z1,
? ?x=-6, ? ?y=0,



② 或?
? ?x=8, ? ?y=4.

z3=z4+z2-z1=(x+2)+(y-7)i.
综上可得?
? ?z3=-4-7i, ?z4=-6, ?

或?

? ?z3=10-3i, ?z4=8+4i. ?

20.(本小题满分 12 分)已知 z 是复数,z+2i, 均为实数(i 为虚数单位),对于复 2-i 数 w=(z+ai) ,当 a 为何值时,w 为 (1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 解析: 设 z=x+yi(x,y∈R),
2

z

z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2, z x-2i 1 1 1 = = (x-2i)(2+i)= (2x+2)+ (x-4)i. 2-i 2-i 5 5 5
由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵w=(z+ai) =(12+4a-a )+8(a-2)i, (1)w 为实数,则 a-2=0,∴a=2, 即 w=12+4×2-2 =16. (2)w 为虚数,只要 a-2≠0,∴a≠2. (3)w 为纯虚数,只要 12+4a-a =0 且 a-2≠0, ∴a=-2 或 a=6. 21.(本小题满分 13 分)已知复数 z=3+bi(b∈R),且(1+3i)·z 为纯虚数. (1)求复数 z; (2)若 ω = ,求复数 ω 的模|ω |. 2+i
2 2 2 2

z

解析: (1)(1+3i)·(3+bi)=(3-3b)+(9+b)i ∵(1+3i)·z 是纯虚数, ∴3-3b=0,且 9+b≠0, ∴b=1,∴z=3+i.

5

3+i ?3+i?·?2-i? (2)ω = = 2+i ?2+i?·?2-i? = 7-i 7 1 = - i 5 5 5

∴|ω |=

?7?2+?-1?2= 2. ?5? ? 5? ? ? ? ?
2

22.(本小题满分 13 分)已知复数 z 满足|z|= 2,z 的虚部为 2,z 所对应的点 A 在第 一象限. (1)求 z; (2)若 z,z ,z-z 在复平面上对应的点分别为 A,B,C,求 cos∠ABC. 解析: (1)令 z=x+yi(x,y∈R). ∵|z|= 2, ∴x +y =2. 又∵z =(x+yi) =x -y +2xyi, ∴2xy=2, ∴xy=1. 由①②可解得?
? ?x=1, ?y=1 ?
2 2 2 2 2 2 2 2



② 或?
? ?x=-1, ?y=-1. ?

∴z=1+i,或 z=-1-i. 又∵x>0,y>0,∴z=1+i. (2)z =(1+i) =2i,
2 2

z-z2=1+i-2i=1-i.
如图所示, ∴A(1,1),B(0,2),C(1,-1), → → ∴BA=(1,-1),BC=(1,-3), → → BA·BC 1+3 ∴cos∠ABC= = → → 2· 10 |BA||BC| = 2 5 = . 5 2 5 4

6


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