高中数学第二章平面向量2.2向量的分解与向量的坐标运算2.2.1平面向量基本定理课件新人教B版必修4_图文

2.2.1 平面向量基本定理 课 标 阐 释 思 1.掌握平面向量基本定理及其 意义. 2.掌握平面向量基本定理的应 用. 3.了解直线的向量参数方程. 维 脉 络 一 二 一、平面向量基本定理 【问题思考】 1.如图,设e1,e2为互相垂直的单位向量,则向量a-b可表示为( ) A.e1-3e2 B.-2e1-4e2 C.3e2-e1 D.3e1-e2 答案:A 2.填空: 平面向量基本定理 如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量,那么该平面内的任 一向量a,存在唯一的一对实数a1,a2,使a=a1e1+a2e2.我们把不共线向 量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底,记为 {e1,e2}.a1e1+a2e2叫做向量a关于基底{e1,e2}的分解式. 一 二 3.做一做:如图①,已知e1,e2,求作向量4e1-e2. 图① 解: 作法一:(1)如图②,任取一点 O,作=4e1,=-e2. 图② 图③ 图④ (2)作?OACB, 就是所求作的向量. 作法二:(1)如图③,任取一点 O,作=4e1,=-e2. (2)连接 OB,则就是所求作的向量. 作法三:(1)如图④,任取一点 O,作=-4e1,=e2. (2)连接 BA,则就是所求作的向量. 一 二 二、直线的向量参数形式 【问题思考】 1.已知 A∈l,B∈l,P∈l,O?l,若=x+y,则 x,y 满足的条件 是什么?(x,y∈R) 提示:x+y=1. 2.填空: 已知 A,B 是直线 l 上任意两点,O 是 l 外一点,则对于直线 l 上任 一点 P,存在实数 t,使关于基底{, }的分解式为 =(1-t)+t,这个等式叫做直线 l 的向量参数方程式,其中实数 t 叫做参变数,简称参数. 思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”. (1)若e1与e2不共线,则e1,e2可作为平面向量的基底. ( ) (2)任何向量在基底{e1,e2}下的表示式a=a1e1+a2e2是唯一的. ( ) (3) =m+n ,若A,B,P三点共线,则m+n=1. ( ) (4)在同一平面内,向量的基底是唯一的. ( ) 答案:(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 对平面向量基本定理的理解 【例1】 如果e1,e2是平面α内所有向量的一组基底,那么( ) A.若实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0 B.空间任一向量a可以表示为a=λ1e1+λ2e2,这里λ1,λ2是实数 C.对实数λ1,λ2,λ1e1+λ2e2不一定在平面α内 D.对平面α中的任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对 解析:基底是该平面内一对不共线向量,向量可以平移,所以不共 线的两个向量一定共面.平面内任一向量a,存在唯一实数对λ1,λ2使 a=λ1e1+λ2e2.但a是空间中任一向量时却未必有这个结论.故B,C,D 均错,应选A. 答案:A 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练1设e1,e2是同一平面内的两个向量,则有( ) A.e1,e2一定平行 B.e1,e2的模相等 C.对同一平面内的任一向量a都有a=λe1+μe2(λ,μ∈R) D.若e1,e2不共线,则对同一平面内的任一向量a,都有 a=λe1+μe2(λ,μ∈R) 答案:D 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 用基底表示向量 【例 2】 已知在△ABC 中,D 为 BC 的中点,E,F 为 BC 的三等分 点,若=a, =b,用 a,b 表示, , . 分析: 把, , 分别放在一个封闭三角形中,利用线性运算 不断地向基底靠拢. 解: 由题意,得 = + = =a+ (b-a)= a+ b, 1 2 1 2 1 2 1 + 2 = 1 + ( 2 ? ) = + =a+ (b-a)= a+ b, = 1 2 1 3 3 3 2 1 2 + =a+ (b-a)= a+ b. 3 3 3 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟 用基底来表示向量主要有以下两种类型 (1)直接利用基底,结合向量的线性运算,灵活应用三角形法则与 平行四边形法则求解. (2)若直接利用基底表示比较困难,则利用“正难则反”的原则,采 用方程思想求解. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 例 2 中,用 , 表示. 解: = + = + = +( ? )=2 ? . 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 直线的向量参数方程式的应用 【例 3】 如图所示,在△ABC 中, = ,P 是 BN 上的一点, 若=m + 2 ,则实数 m 的值为 ( ) 11 9 5 3 2 A. B. C. D. 11 11 11 11 1 解析: 因为 = ,所以 =4.又 =m 3 8 所以 =m + . 11 1 3 2 + , 11 因为 P,B,N 三点共线, 所以 3 m= . 11 所以由直线的向量参数方程式知 8 m+ =1, 11 答案: C 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 反思感悟直线的向量参数方程式=(1-t)+t(t 为实数)包 含两层意思:(1)当点 P 在直线 AB 上时满足该式;(2)反之,当点 P 满足 该式时,点 P 一定在直线 AB 上. 探究一 探究二 探究三 探究四 思想方法 变式训练 2 如图,设一条直线上 A,B,P 三点满足 =λ(λ≠-1), O 是平面上的任一点,则( ) + 1+ + B. = 1- - C. = 1+ -2 D. = 1- A. = 解析: 方法一:∵P,A,B 三点共线,∴一定存在实数 t,使得 =

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