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2014-2015学年辽宁省实验中学等五校高二(下)期末数学试卷(文科) Word版含解析

2014-2015 学年辽宁省实验中学等五校高二(下)期末数学试卷 (文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.集合 A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,那么复 数 对应的点位于复平面内的( )

A. 第一象限
2

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限 )

3.若关于 x 的方程 x +ax﹣4=0 在区间[2,4]上有实数根,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣3,+∞) B. [﹣3,0] C. (0,+∞) D. [0,3]

4.在调查高中学生的近视情况中,某校高一年级 145 名男生中有 60 名近视,120 名女生中 有 70 名近视.在检验这些高中学生眼睛近视是否与性别相关时,常采用的数据分析方法是 ( ) A. 期望与方差 B. 独立性检验 C. 正态分布 D. 二项分布列 5. 设定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x) =x ﹣4 (x>0) , 则f (x﹣2) >0 的解集为 ( ) A. (﹣4,0)∪(2,+∞) B. (0,2)∪(4,+∞) C. (﹣∞, 0)∪(4,+∞) D. (﹣4,4) 6.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a∈R,结论是:a >0,那么这个演 绎推理( ) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误 7.设点 P 是函数 y=﹣ (x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜 角为 θ,则 θ 的取值范围是( ) A. θ∈( ,π] B. θ∈( , ] C. θ∈( , ] D. θ∈ ( , ]
2 2

8.给出下列四个命题:

①使用 x 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时,要求表中的 4 个数据都要大于 10; 2 2 ②使用 x 统计量进行独立性检验时,若 x =4,则有 95%的把握认为两个事件有关; ③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ④在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数 r 就越接近于 1. 其中真命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 9.若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是( )

2

A.

B.

C.

D. 10.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此四边形内任一 点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则

; 根据以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S ( i i=1, 2, 3, 4) , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 H ( 2, 3, 4) , 若 i i=1, 则 H1+2H2+3H3+4H4=( A. ) B. C. D. ,

11.已知函数 g(x)是偶函数,f(x)=g(x﹣2) ,且当 x≠2 时其导函数 f(x)满足(x﹣2) f′(x)>0,若 1<a<3,则( ) A. f(4 )<f(3)<f(log3a) a C. f(log3a)<f(3)<f(4 )
a

B. f(3)<f(log3a)<f(4 ) a D. f(log3a)<f(4 )<f(3)

a

12.设 f(x)=|lgx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. D. B. C.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 2 2 13.已知 x 为实数,复数 z=(x +x﹣2)+(x +3x+2)i 为纯虚数,则 x= 14.log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,则 x+y= 15.对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式: .





按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为
3



16.已知 a≥1,f(x)=x +3|x﹣a|,若函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为 M,m,则 M﹣m 的值为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 x∈R,a=x + ,b=2﹣x,c=x ﹣x+1,试证明 a,b,c 至少有一个不小于 1.
2 2

18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的 门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确 回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛 选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图 所示. (Ⅰ) 完成 2×2 列联表; 正误 年龄 正确 错误 合计 20~30 30~40 合计 (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由. (下面的 临界值表供参考) 2 P(Χ ≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 (参考公式: ,n=n1++n2++n+1+n+2)

19.设 f(x)= (Ⅰ)计算:f(0)+f(1) ,f(﹣1)+f(2) ,f(﹣2)+f(3)的值; (Ⅱ)猜想 f(x)具备的一个性质,并证明. 20.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 的值. 21.已知函数 f(x)=ax +2x﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 a=4,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 f′(x)在区间(0,1)内有唯一的零点 x0,求 a 的取值范围.
2 2x
﹣2x

x

﹣x

﹣2m?f(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m

【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,在△ ABC 中,∠B=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D,过点 D 作⊙O 的切线 交 BC 于 E,AE 交⊙O 于点 F. (1)证明:E 是 BC 的中点; (2)证明:AD?AC=AE?AF.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分)

2015?吉林三模) 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣cosθ=0, 点

2

. 以

极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为﹣1 的直线 l 过点 M,且与曲 线 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到 A,B 两点的距离之积.

【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 2015?江西二模)设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣2| (I)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤ .

2014-2015 学年辽宁省实验中学等五校高二(下)期末数 学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.集合 A={x∈N|0<x<4}的真子集个数为( ) A. 3 B. 4 C. 7 D. 8 考点:子集与真子集. 专题:集合. n 分析:先求出集合的元素的个数,再代入 2 ﹣1 求出即可. 解答: 解:∵集合 A={x∈N|0<x<4}={1,2,3}, ∴真子集的个数是:2 ﹣1=7 个, 故选:C. n 点评:本题考查了集合的子集问题,若集合的元素有 n 个,则子集的个数是 2 个,真子集 n 的个数是 2 ﹣1 个,本题是一道基础题. 2.若 i 为虚数单位,图中网格纸的小正方形的边长是 1,复平面内点 Z 表示复数 z,那么复 数 对应的点位于复平面内的( )
3

A. 第一象限

B. 第二象限

C. 第三象限

D. 第四象限

考点:复数的代数表示法及其几何意义. 专题:数系的扩充和复数. 分析:由图求得 z,代入 后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

解答: 解:由图知,z=2+i, ∴ 则对应的点的坐标为( , ) ,位于复平面内的第四象限.

故选:D. 点评:本题考查了复数的代数表示法及其几何意义, 考查了复数代数形式的乘除运算, 是基 础题.

3.若关于 x 的方程 x +ax﹣4=0 在区间[2,4]上有实数根,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣3,+∞) B. [﹣3,0] C. (0,+∞) D. [0,3] 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用. 分析:构造∴﹣a=x ,x∈[2,4],g(x)=x

2



,x∈[2,4],单调递增,得出 0≤﹣a≤3,

即可求解. 2 解答: 解:∵x 的方程 x +ax﹣4=0, ∴﹣a=x ∵g(x)=x ,x∈[2,4], ,x∈[2,4],单调递增,

∴g(2)=0,g(4)=4﹣1=3, 2 ∵方程 x +ax﹣4=0 在区间[2,4]上有实数根, ∴0≤﹣a≤3, 即:﹣3≤a≤0, 故选:B 点评:本题考查了方程与函数的转化运用,函数的交点,方程的根的关系,属于中档题. 4.在调查高中学生的近视情况中,某校高一年级 145 名男生中有 60 名近视,120 名女生中 有 70 名近视.在检验这些高中学生眼睛近视是否与性别相关时,常采用的数据分析方法是 ( ) A. 期望与方差 B. 独立性检验 C. 正态分布 D. 二项分布列 考点:独立性检验的基本思想. 专题:概率与统计. 分析:这是一个独立性检验应用题, 处理本题时要注意根据已知构建方程计算出表格中男性 2 近视与女性近视,近视的人数,并填入表格的相应位置.根据列联表,及 K 的计算公式, 2 计算出 K 的值,并代入临界值表中进行比较,不难得到答案. 解答: 解:分析已知条件,易得如下表格. 男生 女生 合计 近视 60 70 130 不近视 85 50 135 合计 145 120 265 2 根据列联表可得:K ,再根据与临界值比较, 检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关, 故利用独立性检验的方法最有说服力. 故选 B 点评:本题主要考查了独立性检验问题,就是要把采集样本的数据,利用公式计算,比较与 临界值的大小关系, 来判定事件 A 与 B 是否无关的问题. 具体步骤: (1) 采集样本数据. (2) 2 2 由公式计算的 K 值. (3)统计推断,当 K >3.841 时,有 95%的把握说事件 A 与 B 有关;

当 K >6.635 时,有 99%的把握说事件 A 与 B 有关;当 K ≤3.841 时,认为事件 A 与 B 是 无关的. 5. 设定义在 R 上的奇函数 f (x) 满足 f (x) =x ﹣4 (x>0) , 则f (x﹣2) >0 的解集为 ( ) A. (﹣4,0)∪(2,+∞) B. (0,2)∪(4,+∞) C. (﹣∞, 0)∪(4,+∞) D. (﹣4,4) 考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 2 分析:根据已知中定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)=x ﹣4(x>0) ,先求出 f(x)> 0 的解集,进而求出 f(x﹣2)>0 的解集. 解答: 解:∵f(x)=x ﹣4(x>0) , ∴当 x>0 时,若 f(x)>0,则 x>2, 又由函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x<0 时,﹣x>0,若 f(x)>0,则 f(﹣x)<0,则 0<﹣x<2,即﹣2<x<0, 故 f(x)>0 的解集为(﹣2,0)∪(2,+∞) , 故 f(x﹣2)>0 时,x﹣2∈(﹣2,0)∪(2,+∞) , x∈(0,2)∪(4,+∞) , 即 f(x﹣2)>0 的解集为(0,2)∪(4,+∞) . 故选:B. 点评:本题主要考查不等式的解法,利用函数的奇偶性求出当 x<0 时,f(x)>0 的解集, 是解决本题的关键. 6.若大前提是:任何实数的平方都大于 0,小前提是:a∈R,结论是:a >0,那么这个演 绎推理( ) A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误 D. 没有错误 考点:演绎推理的基本方法. 专题:推理和证明. 分析:分析该演绎推理的大前提、小前提和结论,可以得出正确的答案. 解答: 解:∵任何实数的平方大于 0,因为 a 是实数,所以 a >0, 其中大前提是:任何实数的平方大于 0 是不正确的, 2 2 因为 a=0 时,a =0,此时 a >0 不成立, 所以大前提是错误的,致使得出的结论错误. 故选:A 点评:本题考查了演绎推理的应用问题, 解题时应根据演绎推理的三段论是什么, 进行逐一 判定,得出正确的结论,是基础题 7.设点 P 是函数 y=﹣ (x+1)图象上异于原点的动点,且该图象在点 P 处的切线的倾斜 角为 θ,则 θ 的取值范围是( ) A. θ∈( ,π] B. θ∈( , ] C. θ∈( , ] D. θ∈ ( , ]
2 2 2 2

2

2

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程.

专题:计算题;导数的概念及应用;三角函数的图像与性质. 分析:求出导数, 再利用基本不等式求其范围, 从而得出切线的倾斜角为 θ 的正切值的取值 范围,而 0≤θ<π,从而可求 θ 的取值范围. 解答: 解:∵函数 y=﹣ =﹣( ∴y′∈(﹣ ∴tanθ ∴ <θ + )≤﹣2 ], ,又 0≤θ<π, . (x+1)的导数 y′=﹣( =﹣ , (当且仅当 (x+1) )=﹣ 取等号) ,

故选 C. 点评:本题考查导数的几何意义, 关键在于通过导数解决问题, 难点在于对切线倾斜角的理 解与应用,属于中档题. 8.给出下列四个命题: ①使用 x 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时,要求表中的 4 个数据都要大于 10; 2 2 ②使用 x 统计量进行独立性检验时,若 x =4,则有 95%的把握认为两个事件有关; ③回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线 ④在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数 r 就越接近于 1. 其中真命题的个数为( ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 考点:命题的真假判断与应用;独立性检验. 专题:概率与统计. 分析:根据独立性检验的方法和步骤,回归直线的几何特征,相关系数的意义,逐一分析四 个结论的真假,可得答案. 解答: 解:使用 x 统计量作 2×2 列联表的独立性检验时,对表中的 4 个数据大小无要求, 故①错误; 2 2 使用 x 统计量进行独立性检验时,若 x =4>3.841,则有 95%的把握认为两个事件有关,故 ②正确; 回归直线一定过样本中心点, 回归直线可能不过任何一个数据点, 故回归直线不是散点图中 经过样本数据点最多的那条直线,故③错误; 在线性回归分析中,如果两个变量的相关性越强,则相关系数|r|就越接近于 1,故④错误. 故真命题的个数为 1 个, 故选:A 点评:本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了独立性检验,回归直线,相关系数等知 识点,是统计知识的综合应用,难度不大,属于基础题.
2 2

9.若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则 y 关于 x 的函数图象大致是(



A.

B.

C.

D. 考点:对数函数的图像与性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由条件可得 y= 函数,从而得出结论. 解答: 解:若变量 x,y 满足|x|﹣ln =0,则得 y= 故排除 C、D. 再由当 x>0 时,y= ,是减函数,故排除 A, ,显然定义域为 R,且过点(0,1) , ,显然定义域为 R,且过点(0,1) ,当 x>0 时,y= ,是减

故选 B. 点评:本题主要考查指数式与对数式的互化, 指数函数的图象和性质的综合应用, 以及函数 的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题,属于基础题. 10.面积为 S 的平面凸四边形的第 i 条边的边长记为 ai(i=1,2,3,4) ,此四边形内任一 点 P 到第 i 条边的距离为 hi(i=1,2,3,4) ,若 ,则

; 根据以上性质, 体积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 S ( i i=1, 2, 3, 4) , 此三棱锥内任一点 Q 到第 i 个面的距离记为 H ( 2, 3, 4) , 若 i i=1, 则 H1+2H2+3H3+4H4=( A. ) B. C. D. ,

考点:类比推理. 分析:由 可得 ai=ik,P 是该四边形内任意一点,将 P 与四边形的四个

定点连接,得四个小三角形,四个小三角形面积之和为四边形面积,即采用分割法求面积; 同理对三棱值得体积可分割为 5 个已知底面积和高的小棱锥求体积.

解答: 解:根据三棱锥的体积公式 得: 即 S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=3V, ∴ , ,





故选 B. 点评:本题主要考查三棱锥的体积计算和运用类比思想进行推理的能力. 解题的关键是理解 类比推理的意义,掌握类比推理的方法.平面几何的许多结论,可以通过类比的方法,得到 立体几何中相应的结论.当然,类比得到的结论是否正确,则是需要通过证明才能加以肯定 的. 11.已知函数 g(x)是偶函数,f(x)=g(x﹣2) ,且当 x≠2 时其导函数 f(x)满足(x﹣2) f′(x)>0,若 1<a<3,则( ) a a A. f(4 )<f(3)<f(log3a) B. f(3)<f(log3a)<f(4 ) a a C. f(log3a)<f(3)<f(4 ) D. f(log3a)<f(4 )<f(3) 考点:导数的运算;函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:利用函数的奇偶性和单调性之间的关系, 结合函数单调性和导数之间的关系即可得到 结论. 解答: 解:∵(x﹣2)f′(x)>0, ∴当 x>2 时,f'(x)>0,此时函数单调递增. 当 x<2 时,f'(x)<0,此时函数单调递减. ∵g(x)是偶函数, ∴g(x)关于 y 轴对称,g(x﹣2)关于 x=2 对称, ∵f(x)=g(x﹣2) , ∴f(x)关于 x=2 对称. ∵1<a<3, a ∴4<4 <64,0<log3a<1, 则 3<4﹣log3a<4, f(log3a)=f(4﹣log3a) , a ∴3<4﹣log3a<4 , a 即 f(3)<f(4﹣log3a)<f(4 ) , a ∴f(3)<f(log3a)<f(4 ) , 故选:B. 点评:本题主要有考查函数值的大小比较, 根据函数单调性和导数之间的关系判断函数的单 调性,以及函数奇偶性的性质是解决本题的关键.

12.设 f(x)=|lgx|,若函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点,则实数 a 的取值范围是( ) A. D. B. C.

考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析:转化函数的零点为方程的根,利用数形结合,推出 3 个零点满足的情况,利用函数的 导数求出切线的斜率,推出结果即可. 解答: 解:函数 g(x)=f(x)﹣ax 在区间(0,4)上有三个零点, 就是 g(x)=f(x)﹣ax=0 在区间(0,4)上有三个根, 也就是 f(x)=ax 的根有 3 个, 即两个函数 y=f(x)与 y=ax 图象在区间(0,4)上的交点个数为 3 个. 如图:由题意以及函数的图象可知函数有 3 个零点,直线 y=ax 过 A,与 l 之间时,满足题 意. A(4,lg4) ,kOA= .

设 l 与 y=lgx 的切点为(t,f(t) ) , 可得 y′= ,切线的斜率为: , = = ,即 lgt=lge,t=e.

可得切线 l 的斜率为: a∈ 故选:B. .

点评:本题考查函数的零点与方程的根的关系,考查数形结合转化思想的应用,是中档题. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 2 2 13.已知 x 为实数,复数 z=(x +x﹣2)+(x +3x+2)i 为纯虚数,则 x= 1 . 考点:复数的基本概念.

专题:数系的扩充和复数. 分析:根据复数的概念进行求解即可. 解答: 解:∵z=(x +x﹣2)+(x +3x+2)i 为纯虚数, 2 2 ∴x +x﹣2=0①且 x +3x+2≠0,② 由①得 x=1 或 x=﹣2, 由②得 x≠﹣1 且 x≠﹣2, 综上 x=1, 故答案为:1 点评:本题主要考查复数的有关概念,根据纯虚数的定义是解决本题的关键. 14.log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0,则 x+y= 80 .
2 2

考点:对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:由 1 的对数等于 0,同底数的对数等于 1 列式求解 x,y 的值,则答案可求. 解答: 解:由 log2[log3(log4x)]=log3[log4(log2y)]=0, 得 log3(log4x)=log4(log2y)=1, 即 log4x=3,log2y=4, 解得:x=64,y=16. ∴x+y=64+16=80. 故答案为:80. 点评:本题考查了对数的运算性质,关键是对“1 的对数等于 0,同底数的对数等于 1”的运 用,是基础题. 15.对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等式:


2

按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为 2n +n . 考点:归纳推理. 专题:推理和证明. 分析:由[x]表示不超过 x 的最大整数,分别研究等式的左边和右边,归纳出规律即可求出 第 n 个等式的等号右边的结果. 解答: 解:因为[x]表示不超过 x 的最大整数, 所以 =1, =2,…, 因为等式: , , , …, 所以第 1 个式子的左边有 3 项、右边 1+1+1=1×3=3, 第 2 个式子的左边有 5 项、右边 2+2+2+2+2=2×5=10, 第 3 个式子的左边有 7 项、右边 3×7=21,

则第 n 个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n +n, 2 故答案为:2n +n. 点评:本题考查了归纳推理,难点在于发现其中的规律,考查观察、分析、归纳能力. 16.已知 a≥1,f(x)=x +3|x﹣a|,若函数 f(x)在[﹣1,1]上的最大值和最小值分别记为 M,m,则 M﹣m 的值为 4 . 考点:函数的最值及其几何意义. 专题:函数的性质及应用;导数的综合应用. 3 分析:根据 a≥1,结合[﹣1,1],化简 f(x)=x +3|x﹣a|的解析式,运用导数,判断单调性, 进而根据函数的单调性,即可求 M﹣m. 解答: 解:∵a≥1,x∈[﹣1,1], ∴x﹣a≤0, 3 3 ∴f(x)=x +3|x﹣a|=x ﹣3x+3a, 2 ∴f′(x)=3x ﹣3, 当 x∈[﹣1,1]时,f′(x)≤0 恒成立, 故函数 f(x)在[﹣1,1]上为减函数, 故 M﹣m=f(﹣1)﹣f(1)=﹣1+3+3a﹣(1﹣3+3a)=4, 故答案为:4. 点评:本题考查的知识点是绝对值函数,函数的单调性的应用,函数的最值,是函数图象和 性质的综合应用,难度中档. 三、解答题:本大题共 5 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 x∈R,a=x + ,b=2﹣x,c=x ﹣x+1,试证明 a,b,c 至少有一个不小于 1.
2 2 3

2

考点:反证法的应用;反证法. 专题:反证法. 分析:根据题意,首先假设命题错误,即假设 a,b,c 均小于 1,进而可得 a+b+c<3,再分 析 a、b、c 三项的和,可得矛盾,即可证原命题成立. 解答: 证明:假设 a,b,c 均小于 1,即 a<1,b<1,c<1,则有 a+b+c<3 而 a+b+c=2x ﹣2x+ +3=2
2

+3≥3,

两者矛盾; 故 a,b,c 至少有一个不小于 1. 点评:本题考查反证法的运用,注意用反证法时,需要首先否定原命题,特别是带至少、最 多词语一类的否定. 18.“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目.选手面对 1~8 号 8 扇大门,依次按响门上的 门铃,门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎) ,选手需正确 回答出这首歌的名字,方可获得该扇门对应的家庭梦想基金.在一次场外调查中,发现参赛 选手多数分为两个年龄段:20~30;30~40(单位:岁) ,其猜对歌曲名称与否的人数如图 所示. (Ⅰ) 完成 2×2 列联表;

正误 年龄 正确 错误 合计 20~30 30~40 合计 (Ⅱ)判断是否有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关;说明你的理由. (下面的 临界值表供参考) 2 P(Χ ≥k0) 0.10 0.05 0.010 0.005 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 (参考公式: ,n=n1++n2++n+1+n+2)

考点:独立性检验的应用;频率分布直方图. 专题:计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)利用已知条件直接列出联列表; (Ⅱ)利用独立检验公式求出 k,然后推出对歌曲名称与否和年龄有关判断. 解答: 解: (Ⅰ)2×2 列联表 正误年龄 20~30 30~40 合计 …(6 分) (Ⅱ) 有 90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关. …(12 分) 点评:本题考查对立检验的应用,考查计算能力,正确计算是关键. 正确 10 10 20 错误 30 70 100 合计 40 80 120

19.设 f(x)= (Ⅰ)计算:f(0)+f(1) ,f(﹣1)+f(2) ,f(﹣2)+f(3)的值; (Ⅱ)猜想 f(x)具备的一个性质,并证明.

考点:函数的值. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)由已知中 f(x)= ,将对应的自变量代入,可逐一运算出 f(0)+f

(1) ,f(﹣1)+f(2) ,f(﹣2)+f(3)的值; (Ⅱ)由(I)中结论可猜想:当 x1+x2=1 时, 并利用指数的运算性质化简,可得答案. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)= , ,代入函数解析式,



…(2 分)

同理,可得 (Ⅱ)猜想:当 x1+x2=1 时, 证明:设 x1+x2=1,

…(4 分) …(6 分)

=

=

=

= ∴x1+x2=1 时, …(12 分)

点评:本题考查的知识点是函数的值,利用指数的运算性质化简,难度不大,属于中档题. 20.设函数 f(x)=a ﹣(k﹣1)a (a>0 且 a≠1)是定义域为 R 的奇函数. (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 f(1)= ,且 g(x)=a +a 的值.
2x
﹣2x

x

﹣x

﹣2m?f(x)在[1,+∞)上的最小值为﹣2,求 m

考点:指数函数综合题;函数奇偶性的性质. 专题:计算题;函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)依题意,由 f(﹣x)=﹣f(x) ,即可求得 k 的值; (Ⅱ)由 f(1)= ,可解得 a=2,于是可得 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2
﹣x

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2m(2 ﹣2

x

) ,令 t=2 ﹣2 ,则 g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈∈[ ,+∞) ,通过对

x

﹣x

2

2

2

m 范围的讨论,结合题意 h(t)min=﹣2,即可求得 m 的值. ﹣x x x 解答: 解: (Ⅰ)由题意,对任意 x∈R,f(﹣x)=﹣f(x) ,即 a ﹣(k﹣1)a =﹣a +(k ﹣x ﹣1)a , x ﹣x x ﹣x x ﹣x 即(k﹣1) (a +a )﹣(a +a )=0, (k﹣2) (a +a )=0, x ﹣x ∵x 为任意实数,a +a >0, ∴k=2. (Ⅱ)由(1)知,f(x)=a ﹣a , ∵f(1)= , ∴a﹣ = ,解得 a=2. 故 f(x)=2 ﹣2 ,g(x)=2 +2 令 t=2 ﹣2 ,则 2 +2
2 x
﹣x

x

﹣x

x

﹣x

2x

﹣2x

﹣2m(2 ﹣2 ) ,

x

﹣x

2x

﹣2x

=t +2,由 x∈[1,+∞) ,得 t∈[ ,+∞) ,
2 2

2

∴g(x)=h(t)=t ﹣2mt+2=(t﹣m) +2﹣m ,t∈[ ,+∞) , 当 m< 时,h(t)在[ ,+∞)上是增函数,则 h( )=﹣2, ﹣3m+2=﹣2, 解得 m= (舍去) .
2

当 m≥ 时,则 h(m)=﹣2,2﹣m =﹣2,解得 m=2,或 m=﹣2(舍去) . 综上,m 的值是 2. 点评:本题考查指数函数的综合应用, 考查函数的奇偶性与单调性, 突出换元思想与分类讨 论思想在最值中的综合应用,属于难题. 21.已知函数 f(x)=ax +2x﹣lnx(a∈R) . (Ⅰ)若 a=4,求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)若 f′(x)在区间(0,1)内有唯一的零点 x0,求 a 的取值范围. 考点:利用导数研究函数的极值;函数零点的判定定理. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: 解法一: (Ⅰ)当 a=4 时,化简函数的解析式,求出定义域,函数的导数,求出极 值点,利用导函数的符号判断函数的单调性,求解极值即可.
2

(Ⅱ)利用 类讨论求解即可. 解法二: (Ⅰ)同解法一; (Ⅱ)令 f'(x)=0,由 2ax +2x﹣1=0,得
2

,通过导函数为 0,构造新函数,通过分

.设

,则 m∈(1,+∞) , 的

, 问题转化为直线 y=a 与函数 图象在(1,+∞)恰有一个交点问题,即可求 a 的取值范围. 2 解答: 解: (Ⅰ)当 a=4 时,f(x)=4x +2x﹣lnx,x∈(0,+∞) , . 由 x∈(0,+∞) ,令 f'(x)=0,得 .

当 x 变化时,f'(x) ,f(x)的变化如下表: x f'(x) ﹣ f(x) ↘ 故函数 f(x)在 0 极小值 + ↗ 单调递增,f(x)有极小值

单调递减,在 ,无极大值.…(5 分)

(Ⅱ)解法一
2 2



令 f'(x)=0,得 2ax +2x﹣1=0,设 h(x)=2ax +2x﹣1. 则 f'(x)在(0,1)有唯一的零点 x0 等价于 h(x)在(0,1)有唯一的零点 x0 当 a=0 时,方程的解为 ,满足题意; ,函数 h(x)在(0,1)上单调递增,

当 a>0 时,由函数 h(x)图象的对称轴 且 h(0)=﹣1,h(1)=2a+1>0,所以满足题意; 当 a<0,△ =0 时,

,此时方程的解为 x=1,不符合题意;

当 a<0,△ ≠0 时,由 h(0)=﹣1, 只需 h(1)=2a+1>0,得 综上, .…(12 分) .

(说明:△ =0 未讨论扣 1 分) 解法二:

(Ⅱ) 令 f'(x)=0,由 2ax +2x﹣1=0,得 设 ,则 m∈(1,+∞) ,
2

, . , 的图象在(1,+∞)恰有一个交点

问题转化为直线 y=a 与函数 问题. 又当 m∈(1,+∞)时,h(m)单调递增,

故直线 y=a 与函数 h(m)的图象恰有一个交点,当且仅当



…(12 分)

点评:本题考查函数与导数等基本知识, 考查推理论证能力和运算求解能力, 考查函数与方 程的思想、 化归与转化的思想、 数形结合的思想, 考查运用数学知识分析和解决问题的能力. 【选修 4-1:几何证明选讲】 (共 1 小题,满分 10 分) 22.如图,在△ ABC 中,∠B=90°,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于 D,过点 D 作⊙O 的切线 交 BC 于 E,AE 交⊙O 于点 F. (1)证明:E 是 BC 的中点; (2)证明:AD?AC=AE?AF.

考点:相似三角形的判定;与圆有关的比例线段. 专题:证明题. 分析: (1)欲证明 E 是 BC 的中点,即证 EB=EC,即要证 ED=EC,这个可通过证明 ∠CDE=∠C 得到; 2 2 (2)因由相似三角形可得:AB =AE?AF,AB =AD?AC,故欲证 AD?AC=AE?AF,只要由 AB=AB 得到即可. 解答: 证明: (Ⅰ)证明:连接 BD, 因为 AB 为⊙O 的直径, 所以 BD⊥AC,又∠B=90°, 所以 CB 切⊙O 于点 B,且 ED 切于⊙O 于点 E, 因此 EB=ED,∠EBD=∠EDB,∠CDE+∠EDB=90°=∠EBD+∠C, 所以∠CDE=∠C, 得 ED=EC,因此 EB=EC,即 E 是 BC 的中点 (Ⅱ)证明:连接 BF,显然 BF 是 Rt△ ABE 斜边上的高,

可得△ ABE∽△AAFB, 于是有
2

,即 AB =AE?AF,

2

同理可得 AB =AD?AC,所以 AD?AC=AE?AF 点评:本题主要考查了相似三角形的判定,与圆有关的比例线段.属于基础题. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 (共 1 小题,满分 0 分) 2015?吉林三模) 在极坐标系中曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ﹣cosθ=0, 点
2

. 以

极点 O 为原点,以极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系.斜率为﹣1 的直线 l 过点 M,且与曲 线 C 交于 A,B 两点. (Ⅰ)求出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (Ⅱ)求点 M 到 A,B 两点的距离之积. 考点:简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 专题:坐标系和参数方程. 分析: (Ⅰ)利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ,即可得出曲线 C 的直角坐标方程;直线 l 的倾斜角



,故直线 l 的参数方程为

(t 为参数 0.

(Ⅱ) 把直线 l 的参数方程

(t 为参数) 代入曲线 C 的方程可得



可得点 M 到 A,B 两点的距离之积|MA|?|MB|=|t1||t2|=|t1?t2|. 解答: 解: (Ⅰ)x=ρcosθ,y=ρsinθ, 由 ρsin θ﹣cosθ=0 得 ρ sin θ=ρcosθ. 2 ∴y =x 即为曲线 C 的直角坐标方程; 点 M 的直角坐标为(0,1) ,
2 2 2

直线 l 的倾斜角为

, 故直线 l 的参数方程为

(t 为参数) 即

(t

为参数) .

(Ⅱ)把直线 l 的参数方程

(t 为参数)代入曲线 C 的方程得

,即 ,



设 A、B 对应的参数分别为 t1、t2,则



又直线 l 经过点 M,故由 t 的几何意义得 点 M 到 A,B 两点的距离之积|MA|?|MB|=|t1||t2|=|t1?t2|=2. 点评:本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、 直线参数方程的应用、 一元二次方程的根 与系数的关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 【选修 4-5:不等式选讲】 (共 1 小题,满分 0 分) 2015?江西二模)设函数 f(x)=|x+2|﹣|x﹣2| (I)解不等式 f(x)≥2; (Ⅱ)当 x∈R,0<y<1 时,证明:|x+2|﹣|x﹣2|≤ .

考点:绝对值不等式的解法. 专题:计算题;证明题;不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)运用绝对值的定义,去掉绝对值,得到分段函数,再由各段求范围,最后求 并集即可; (II)由分段函数可得 f(x)的最大值,再由基本不等式求得 的最小值,即可得证.

解答: (Ⅰ)解:由已知可得:



由 x≥2 时,4>2 成立;﹣2<x<2 时,2x≥2,即有 x≥1,则为 1≤x<2. 所以,f(x)≥2 的解集为{x|x≥1}; (II)证明:由(Ⅰ)知,|x+2|﹣|x﹣2|≤4, 由于 0<y<1, 则 =( )[y+(1﹣y)]=2+ + ≥2+2=4,

则有



点评:本题考查绝对值不等式的解法,考查不等式恒成立,注意转化为函数的最值,考查基 本不等式的运用:求最值,考查运算能力,属于中档题.


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