2012湖南《夺冠之路》高三数学理一轮复习精品课件新课标第6单元第37讲数列模型及应用_图文

1

1.认识数列的函数特性,能结合方 程、不等式、解析几何、算法等知识 解决一些数列问题.

2.掌握与等差数列、等比数列有关 的实际应用问题的解法.

2

1. (2010 三明调研) 数列?an ? 是公差不为0的等差数列且a7、 a10、a15是等比数列?bn ?的连续三项,若等比数列?bn ?的首项 b1 ? 3,则b2 等于

(B)
B. 5 9 D. 5

24 A. 5 C. 2

3

解析

设 ?an ? 公差为d, 则a7 ? a10 ? 3d,a15 ? a10 ? 5d . 又a7,a10,a15是等比数列的连续三项,
2 2 所以a10 ? a7 a15,即a10 ? ? a10 ? 3d ?? a10 ? 5d ?, 2 所以a10 ? a ? 2da10 ? 15d 2,所以a10 ?

15 d. 2

9 又a7 ? a10 ? 3d ? d . 2 15 d a10 5 2 设 ?bn ?的公比为q,所以q ? ? ? , 9 a7 3 d 2 5 所以b2 ? b1 q ? 3 ? ? 5. 3 4

2.在一个凸多边形中,最小内角为120°, 各内角度数成等差数列,公差为5°,则 这一凸多边形的边数为( A ) A.9 C.9或16 B.16 D.9或10

5

1 依题意,有n· 120°+ n(n-1)×5°=180°· (n-2), 2

解析 设 凸 多 边 形 边 数 为 n, 其 内 角 和 为 180°· (n-2),

化简得n2-25n+144=0,解得n=9或n=16. =195°[0°,180°),故n=16舍去,

当n=16时,最大内角为120°+(16-1)×5° 当n=9时,最大内角为120°+(9-1)×5°=160°.

6

1 ? 3 ? 5 ? ??? ? (2 x ? 1) 1 3.若 1 1 ? ? ??? ? 1? 2 2 ? 3 x( x ? 1)

=110(x∈N*),则x= 10 .

解析 因为1+3+5+…+(2x-1)=
1 1? 2

1 1 + 2 ? 3 +…+ x( x ? 1) =1x2 x x ?1

x (1 ? 2 x ? 1) =x2, 2 1 1 x 1 1 1 + 2- +…+ x - x ? 1 = , x ?1 2 3

所以

=110,即x(x+1)=110,解得x=10.

7

x2 4

x2 4.椭圆 + =1上有n个不同的点P1,P2,…, 3

Pn,椭圆的右焦点为 F,数列 {|PnF|}是
公差不小于

1 的等差数列,则 n的最大 100

值为( A.198

)
B.199

D C.200 D.201

解析 |P1F|≥a-c=1,|PnF|max=a+c=3,

所以1+(n-1)×d≤3,所以n-1≤
因为d≥

1 1 100, d ≤100,所以n-1≤200,故n≤201. 8

d , 2

5.弹子跳棋共有60颗大小相同的球形弹子, 现在棋盘上将它叠成正四面体球垛,使 剩下的弹子尽可能的少,那么剩下的弹 子有( ) B A.3颗 C.8颗 B.4颗 D.9颗

9

解析 熟悉正四面体的特征,由题设构造模 型:第k层为k个连续自然数的和;化简通项 再用分组求和法. 依题设,第k层正四面体为1+2+3+…+k= =
1 2 2 1 2 则前k层共有 (1 +2 +…+k )+ (1+2+…+k) 2 2 k (k ? 1)(k ? 2) = ≤60, 6

k2 ? k 2

k ( k ? 1) 2

,

k最大为6,剩下4颗,故选B.

10

1.数列实际应用题常见的数学模型
(1)复利公式.

按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a元,每期利率为r,存期为x期,则本利和 x a (1+ r ) y=① .
(2)单利公式. 利用按单利计算,本金为a元,每期利率 r· x . 为r,存期为x,则本利和y=② a+a·

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(3)产值模型.

原来产值的基数为 N ,平均增长率为 p , x N (1+ p ) 对于时间x的总产值y=③ .
(4)递推与猜证型 递推型有an+1=f(an)与Sn+1=f(Sn)类,猜证 型主要是写出前若干项,猜测结论,并根 据题设条件加以证明. 2.数列与其他知识综合,主要有数列与 不等式、数列与函数、数列与解析几何等 12

题型一 建立等差或等比数列模型解应用题

例1

陈老师购买安居工程集资房72 m 2,单价为1000元 / m 2,

一次性国家财政补贴28800元,学校补贴14400元,余款由个人 负担.房地产开发公司对教师实行分期付款,即各期所付的款 以及各期所付的款到最后一次付款时所生的利息合计,应等于 个人负担的购买房余款的现价以及这个余款现价到最后一次付 款时所生利息之和,每期为一年,等额付款,签订购房合同后 一年付款一次,再过一年又付款一次,等等,共付10次, 10年后 付清.如果按年利率7.5%,每年复利一次计算(即本年利息计入 次年的本金生息),那么每年应付款多少元? (参考数据: 1.0759 ? 1.917,1.07510 ? 2.061,1.07511 ? 2.216)

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分析 ?1? 分期付款,各期所付的款与各期所付款时所生利息
的合计,应等于个人负担的购房余额的现价及这次付款现价 到最后一次付款时所生的利息之和.

? 2 ? 每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息.

解析 设每年付款x元,那么10年后
第一年付款的本利和为a1 ? 1.0759 x元. 第二年付款的本利和为a2 ? 1.0758 x元. 以此类推,

14

则各年付款的本利和?an ? 为等比数列.

第n年付款的本利和为an ? 1.07510? n x元. x?1 ? 1.07510 ? 所以10年付款的本利和为S10 ? 元 1 ? 1.075 个人负担的余额总数为72 ?1000 ? 28800 ? 14400 ? 28800元.

10年后余款的本利和为28800 ?1.07510, 1 ? 1.07510 所以x ? ? 28800 ?1.07510, 1 ? 1.075 28800 ?1.07510 ? 0.075 解得x ? ? 4200(元). 10 1.075 ? 1 答:每年应付款约4200元.

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评析 分期付款中的有关计算关键在于: ?1? 准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额的增值.
(注:最后一次付款没有利息)

? 2 ?明确各期所付的款额连同到最后一次付款时的利息之
和,只有掌握了这一点,才可顺利建立等量关系.

? 3? 掌握等比数列前n项和的计算方法.

16

素材1 某企业进行技术改造,有两种方案,甲 方案:一次性贷款 10 万元,第一年便可获利 1 万元,以后每年比前一年增加 30%的利润;乙 方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元, 以后每年比前一年增加5千元.两种方案的使用 期都是 10 年,到期一次性归还本息 . 若银行两 种形式的贷款都按年息 5% 的复利计算,试比 较两种方案中,哪种获利更多? ( 参考数据: 1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665)

17

解析 甲方案是等比数列,乙方案是等差数列, ①甲方案获利: 1+(1+30%)+(1+30%)2+…+(1+30%)9 ≈42.63(万元),

1.310 ? 1 = 0.3

银行贷款本息:10(1+5%)10≈16.29(万元),
故甲方案纯利:42.63-16.29=26.34(万元),

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②乙方案获利: 1+(1+0.5)+(1+2×0.5)+…+(1+9×0.5)
10 ? 9 2

=10×1+

×0.5=32.50(万元);

银行本息和: 1.05×[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)9]
1.05 ? 1 =1.05× ≈13.21(万元), 0.05
10

故乙方案纯利:32.50-13.21=19.29(万元); 综上可知,甲方案更好.

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评析:这是一道比较简单的数列应用问题, 立通项公式并运用所学过的公式求解.

由于本息与利润是熟悉的概念,因此只建

20

题型二

数列与平面向量等的综合

例2 已知点 A(1,0),B(0,1) 和互不相同的点 列P1,P2,P3,…,Pn,…,且满足
OP n

=an OA +bn OB (n∈N*),其中{an}、{bn} 分别为等差数列和等比数列,O为坐标原 点,若P1是线段AB的中点. (1)求a1,b1的值; (2)讨论:点P1,P2,P3,…,Pn,…是否共线.

21

解析 (1)因为P1是线段AB的中点, 所以 OP = 1
1 1 + OB OA 2 2

,

又OP =a1 OA +b1 OB ,且 OA , OB 不共线, 1 1 由平面向量基本定理,知a1=b1= . (2)由 OP =an OA +bn OB(n∈N*), n 得 OP =(an,bn). n
2

设{an}的公差为d,{bn}的公比为q, 则由于P1,P2,P3,…,Pn,…互不相同, 所以d=0,q=1不会同时成立.

22

1°若d=0且q≠1,则an=a1= (n∈N*) 1 P , P , P ,…, P ,… 都在直线 x = 上; ? 1 2 3 n

1 2

2°若q=1且d≠0,则bn= ?P1,P2,P3,…,Pn,…都在直线y=
?P n?1P n

1 2

2

1 2

上;

3°若d≠0且q≠1,P1,P2,P3,…,Pn,… =(an-an-1,bn-bn-1)与 Pn Pn?1 =(an+1-an,bn+1-bn) 共线(n>1,n∈N*) ? (an-an-1)(bn+1-bn)-(an+1-an)(bn-bn-1)=0 ? d(bn+1-bn)-d(bn-bn-1)=0 ? (bn+1-bn)=(bn-bn-1) ?q=1,与q≠1矛盾, 23 . 所以当d≠0且q≠1时,P1,P2,P3,…,Pn,…不共线

评析:本题是数列与平面向量综合的基本题 型,以平面向量共线为载体构造数列递推关 系或等式,从而得到数列通项及属性,使得 问题得到解决.

24

题型三 数列与算法的创新整合

例3 读下列算法,指出当输入的四个数 依次为1,1,0,0时,输出的结果是什么? S1:输入a,b,c,n; S2:n=n+1; S3:a=2a; S4:b=b+2; S5:c=c+ab; S6:若c≤500,则转S2; S7:输出n,c. 25

解析 从数列的角度看算法,则 S3 可以看作 an+1=2an ; S4 可以看作 bn+1=bn+2 ; S5 可以看作 cn+1=cn+an· bn,输入的四个数依次为1,1,0,0, 即a0=1,b0=1,c0=0,n=0, 故an=2n,bn=2n+1, cn=a1b1+a2b2+…+anbn =3×2+5×22+7×23+…+(2n+1)×2n. 因为c1=3×2=6,c2=6+5×4=26,c3=26+7×8=82,

c4=82+9×16=226,c5=226+11×32=578>500, 执 行S7,故输出的结果是5,578. 26

题型四

数列与函数的综合应用

例4 (2011 蚌埠模拟) 已知f ? x ? ? log a x(a ? 0且a ? 1), 设f ? a1 ?,f ? a2 ?, ?,f ? an ? (n ? N* )是首项为4,公差为2
的等差数列.

?1? 设a为常数,求证: ?an ? 是等比数列; ? 2 ? 若bn ? an f ? an ?, ?bn ? 是前n项和是Sn,当a ?
分析

2时,求S n .

利用函数的有关知识得出an的表达式,再利用

表达式解决其他问题.

27

解析 ?1? 证明:f ? an ? ? 4 ? ? n ? 1? ? 2 ? 2n ? 2.
因为log a an ? 2n ? 2,所以an ? a 2n ? 2 . an a 2n?2 a 2n?2 所以 ? 2? n ?1?? 2 ? 2 n ? a 2 (n ? 2)为定值. an ?1 a a 所以?an ? 为等比数列.
2n ? 2 2n ? 2 2n ? 2 2 b ? a f a ? a log a ? 2 n ? 2 a . ? ? n n ? n? ? ? a

当a ? 2时,bn ? ? 2n ? 2 ? ( 2) 2n ? 2 ? ? n ? 1? 2n ?2 . Sn ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? 4 ? 25 ? ? ? ? n ? 1? ? 2n ?2, ① 2Sn ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? 4 ? 26 ? ? ? n ? 2n ?2 ? ? n ? 1? ? 2n ?3,②

28

① ? ②,得 ? Sn ? 2 ? 23 ? 24 ? 25 ? ?? 2n ?2 ? ? n ? 1? ? 2n ?3 24 ?1 ? 2n ? 1? ? 16 ? ? ? n ? 1? ? 2n ?3 1? 2 ? 16 ? 2n ?3 ? 24 ? ? n ? 1? ? 2n ?3 ? ?n 2n ?3 . 所以Sn ? n 2n ?3 .

评析

数列与函数的综合问题主要有以下两类: ?1?已

知函数条件,解决数列问题,此类问题一般利用函数的 性质、图象研究数列问题; ? 2 ?已知数列条件,解决函数 问题,解决些类问题一般要充分利用数列的范围、公式、 求和方法对式子化简变形.

29

素材2

(2011 安庆模拟) 设等比数列?an ?的前n项和S n,

首项a1 ? 1,公比q ? f (? ) ?

?
1? ?

(? ? ?1, 0).数列?bn ? 满

1 足b1 ? ,bn ? f ? bn ?1 ? (n ? N*,n ? 2) 2 ?1? 证明:Sn ? (1 ? ? ) ? ? an;

? 2 ? 求数列?bn ?的通项公式;
1 ? 3? 若? ? 1,记cn ? an ( ? 1),数列?cn ?的前n项和为Tn, bn 求证:当n ? 2时, 2 ? Tn ? 4.

30

解析

a1 ?1 ? q n ? ?1? 证明:因为Sn ? 1? q ? a1 [1 ? ? 1?

?
1? ?

?n ]

?

1? ?

? (1 ? ? )[1 ? ( )n ] 1? ? ? (1 ? ? ) ? ? ( ) n ?1 . 1? ? 又因为an ? a1 ( ) ?( ) n ?1, 1? ? 1? ? 所以S n ? (1 ? ? ) ? ? an .

?

?

?

n ?1

?

31

? 2 ? f (? ) ?

?
1? ?

,所以bn ?

bn ?1 1 1 ,所以 ? ? 1, 1 ? bn ?1 bn bn ?1

1 1 所以{ }是首项为 ? 2,公差为1的等差数列, bn b1 1 1 所以 ? 2 ? ? n ? 1? ? n ? 1,即bn ? . bn n ?1 1 n ?1 ? 3? 证明:当? ? 1时,an ? ( ) , 2 1 1 n ?1 所以cn ? an ( ? 1) ? n( ) , bn 2 1 1 2 1 n ?1 所以Tn ? 1 ? 2( ) ? 3( ) ? ? ? n( ) , 2 2 2 1 1 1 1 1 所以 Tn ? ? 2( ) 2 ? 3( )3 ? ? ? n( ) n , 2 2 2 2 2

32

两式相减得 1 1 1 2 1 n ?1 1 n Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) 2 2 2 2 2 1 n 1 n ? 2[1 ? ( ) ] ? n( ) . 2 2 1 n ?2 1 n ?1 所以Tn ? 4 ? ( ) ? n( ) ? 4. 2 2 又因为Tn ?1 ? Tn ? 0,所以Tn 单调递增,所以Tn ? T2 ? 2. 故当n ? 2时, 2 ? Tn ? 4.

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备选题

某渔场养鱼,第一年 鱼的重量增长率为200%,

以后每年增长率都是前一年的一半.

?1?当饲养4年后,鱼的重量是原来的多少倍? ? 2 ? 如果由于某种原因,每年的损失预计为重量的10%,那
么经过多少年后,鱼的总重量开始减少?

解析 ?1? 设原来鱼的重量为a1,第n年鱼的重量为an,
依题意得: a1 ? a ?1 ? 200% ? ? 3a, a2 ? 3a ?1 ? 100% ? ? 6a, 1 2 a3 ? 6a[1 ? 200% ? ( ) ] ? 9a, 2 1 3 45 a4 ? 9a[1 ? 200% ? ( ) ] ? a, 2 4

34

a4 45 所以 ? ? 11.25, a 4 所以4年后鱼的重量是原来的11.25倍. 1 ), ? 2 ?由?1? 得an ?1 ? an (1 ? 2n ? 1 若每年损失预计为重量的10%, 1 9 设第n年开始减少,即an ? an (1 ? )? , 2n ? 1 10 解得2n ?1 ? 9(n ? N* ), 所以n ? 5,故5年后鱼的重量开始减少.

35

1.数列作为特殊的函数,在中学数学中占 有相当重要的位置,涉及实际应用的开放性 问题广泛而多样,诸如圆钢堆垒、增减率、 银行信贷、浓度匹配、养老保险等问题. 解答数列应用问题,应充分运用观察、 归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、 递推数列的模型,再综合运用其他相关知识 来解决问题 .建立数列模型时,应明确是等差 数列模型还是等比数列的模型,或是递推数 列模型?是求an,还是求Sn,或是求n? 36

2.数列综合问题的常用处理方法. (1) 数列是一种特殊的函数,因此解数 列题应注意运用函数与方程的思想与方法.

(2) 等价转换思想是解数列有关问题的 基本思想方法,复杂的数列求和问题经常 转化为等差、等比或常见的特殊数列的求 和问题.

37

(3) 由特殊到一般及由一般到特殊的思 想是解决数列问题的重要思想 .已知数列的 前若干项求通项,由有限的特殊事例,推 测出一般性的结论,都是利用此法实现的. (4) 分类讨论的问题在数列解答题中常 会遇到.如等比数列中,经常要对公式q进行 讨论 .如已知 Sn求an时,要对n=1,n≥2时,进 行分类讨论.

38

已知?an ? 是递增数列,且对任意n ? N*都有an ? n2 ? ? n ( ) 恒成立,则实数l的取值范围是
7 A. (? , ? ?) 2 C. [?2, ? ?) B.(0, ? ?) D. (?3, ? ?)
2

错解

an ? n ? ? n ? (n ? ) ? ,对称轴n ? ? . 2 4 2
2

?

?2

?

当n ? 1时为递增数列,则 ? 从而? ? ?2,故选C.

?

2

? 1,

39

错解分析 数列是特殊的函数,用函数的观点研究数列,
往往忽视其“特殊性”,即定义域为N*,从而导致审题错误.

正解 因为?an ? 是递增数列,
所以an ?1 ? an,即? n ? 1? ? ? ? n ? 1? ? n 2 ? ? n,
2

所以? ? ?2n ? 1对于n ? N* 恒成立, 而 ? 2n ? 1在n ? 1时取得最大值 ? 3, 所以? ? ?3,故选D.

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