2019高考数学一轮复习第四章三角函数4.1三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式课件文_图文

高考文数 第四章 三角函数 §4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系及诱导公式 知识清单 考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1.象限角 2.终边相同的角 3.弧度制 (1)角度制与弧度制的互化 180 ? ? 1°=① ? 180 ? ? rad;1 rad=② ? ? ? ? ° ? . (2)弧长及扇形面积公式 弧长公式:③ l=|α|r . 扇形面积公式:④ r为扇形半径. 1 S= 2 ? ?|α|r 1 lr2 = 2 ,其中|α|为圆心角弧度数的绝对值, 4.任意角的三角函数的定义 设角α终边上任意一点的坐标为(x,y),它与原点的距离为r,则 ⑤ y y x sin α = ,tan αx = r = ,cos α r ? ? ?. 5.三角函数值在各象限的符号 ? 上述符号可简记为:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 6.三角函数线 各象限内的三角函数线如下表: 当角α的终边与x轴重合时,正弦线、正切线分别变成一个点,此时 角α的正弦值和正切值都为0;当角α的终边与y轴重合时,余弦线变成一 个点,正切线不存在,此时角α的余弦值为0,正切值不存在. 7.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:⑥ sin2α+cos2α=1 ; sin α ? π ? α ? k ? ? , k ? Z ? tan α= cos α ? 2 ? ? (2)商数关系:⑦ ?? . 8.诱导公式 角“? ±α(k∈Z)”的三角函数的记忆口诀为“奇变偶不变, 2 符号看象限”. 拓展延伸 1.由三角函数线得出的重要结论 ① k? ? ② ? 2.两个常用结论 ?? ? 时 当α ∈? ,①sin α<α<tan α;②sin α+cos α>1. 0, ? ? ? 2? 3.常用同角三角函数公式的变形 ①sin2α=1-cos2α;②cos2α=1-sin2α;③(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;④sin α= 2 sin 2 α 2 tan α cos αtan α;⑤sin α=?2=?;⑥ cos α=?=?. sin α ? cos 2 α 1 ? tan 2 α 2 cos 2 α 1 sin 2 α ? cos 2 α 1 ? tan 2α 4.正确理解“奇变偶不变,符号看象限” ? “奇”“偶”指的是k· ? +α(k∈Z)中的整数k是奇数还是偶数.“变”与 2 “不变”是相对于对偶关系而言的,sin α与cos α对偶.“符号看象限” 指的是在k· ? +α(k∈Z)中,将α看成锐角时,k· ? +α(k∈Z)的终边所在的象限. 2 2 ? ? 方法技巧 方法 1 定义法求三角函数值 定义法求三角函数值有两种情况: (1)已知角α的终边上一点P的坐标,则可先求出P到原点的距离r,然后用 三角函数的定义求解; (2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上的一点坐标,求出 此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若直线的倾 斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值. 例1 已知角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边 在直线y=2x上,则cos 2θ=? ( B ) A.-? 4 5 3 5 B.-? C.? 2 3 D.? 3 4 解题导引 方法一:在角θ的终边上任取一点P,根据直线方程 设出点P的坐标? 根据三角函数定义分别 求出sin θ与cos θ? 方法二:求出tan θ? 代入求值 利用二倍角公式求出cos 2θ cos 2θ ? sin 2θ 1 ? tan 2θ 利用cos 2θ=?2 =? cos θ ? sin 2θ 1 ? tan 2θ 解析 解法一:设角θ的终边上任一点为P(k,2k), k 2 ? (2k )2 =?5 |k|. 则r=? 5 k, 当k>0时,r=? ∴sin θ=? =? ,cos θ=? =?, ? 5? ?2 5? 3 2 2 ∴cos 2θ=cos θ-sin θ=? ? -? =? . ? 5 5 5 ? ? ? ? 5 k, 当k<0时,r=-? 2k 5k 2 5 5 k 5k 5 5 ? ? k 5k 2 2 ∴sin θ=-? =-? ,cos θ=-? =-?. ? 5? ∴cos 2θ=cos2θ-sin2θ=? ? ? ? 5 ? 3 ,故选B. 综上可得,cos 2θ=-? 5 2k 5k 2 5 5 5 5 ? 2 ? 2 5? 3 -? ? . ? =-? 5 ? 5 ? ? 2 解法二:因为该直线的斜率k=2=tan θ, cos 2θ ? sin 2θ 1 ? tan 2θ 3 所以cos 2θ=?2 =? =-? .故选B. cos θ ? sin 2θ 1 ? tan 2θ 5 方法 2 同角三角函数的基本关系及诱导公式的应用方法 1.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握三角函数 诱导公式与同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形用.同角三角 函数的基本关系本身就是一个恒等式,但也可以看作一个方程,当已知 同角三角函数的另外一个关系式时,可以和同角三角函数的基本关系组 成方程组,通过解方程组达到解决问题的目的. 2.利用诱导公式求解问题的关键是先观察角,后看函数名.一般是先将负 角化成正角,再化为0°~360°的角,最后化成锐角求其函数值.在化简过程 中牢记“奇变偶不变,符号看象限”的原则. ? 例2 (1)(2017江西上饶一模,14)已知? <α<π,3sin 2α=2cos α, 2 9? ? = 则sin ? α ? ? ? ? ? 2 ? ; 1 (2)已知α是三角形的内角,且sin α+cos α=? ,则tan α= 5 . 解析

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