重庆市渝中区巴蜀中学2015届高三上学期第一次模拟数学(理)试卷

重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学一模试卷(理科)
一.选择题 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<2},B={x|x>1},则 A∩?UB=( A.{x|1<x<2} B.{x|x≤0} C.{x|1≤x<2} 2.已知在等差数列{an}中,a3+a6+a10+a13=32,则 a8=( A.12 B.8 C .6 3.若( A.4
n

) D.{x|x≤1}

) D.4 )

+ ) 的展开式中, 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n=( B.5 C .6 D.7 =(

4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 A.﹣ B.﹣ C. D.

)

5.已知点 P(x,y)在不等式组

表示的平面区域上运动,则 z=y﹣x 的取值

范围是( ) A.[﹣2,﹣1]

B.[﹣2,1]

C.[﹣1,2]

D.[1,2]

6. 已知向量



的夹角为 120°, 且 ) B.13 C .6

, 若

, 且



则实数 λ 的值为( A.

D.

7.化简 A.1 B.

=(

) C. D.2

8.过双曲线

的一个焦点 F 作一条渐线的垂线,垂足为点 A,

与另一条渐近线交于点 B,若 A. B.

,则此双曲线的离心率为( C .2

) D.

9.已知 a,b 都是负实数,则 A. B.2( ﹣1)

的最小值是( C .2 ﹣1

) D.2( +1)

10.已知函数 f(x)= 的实根个数不可能为( ) A.5 个 B.6 个

,则关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a

C .7 个

D.8 个

二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题 25 分) 11.若复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|=__________.

12.已知不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是__________. 13.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线
2

经过曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0)的焦点,则实数 a 的值为__________.

14.将标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少有一个球,则一 共有__________种放法.

15. 已知△ ABC 中的内角为 A, B, C, 重心为 G, 若 2sinA 则 cosB=__________.

=



三.解答题(共 6 小题 75 分,16,17,18 每小题 13 分,19,20,21 每小题 13 分) 2 2 16.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 时,求 f(x)的值域.

17.已知等差数列{an}的公差 d≠0,a1=2,且 a4,a6,a9 成等比数列. (1)求通项公式 an; n * (2)令 bn=an+1+2 ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn. 18.如图所示,已知点 M(a,3)是抛物线 y =4x 上一定点,直线 AM、BM 的斜率互为相 反数,且与抛物线另交于 A、B 两个不同的点.
2

(1)求点 M 到其准线的距离; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值.

19.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在 x0∈[ ,e](e 是自然对数的底数,e=2.71828…) ,使不等式 2f(x0)≥g(x0) 成立,求实数 a 的取值范围.

2

20.已知 F1,F2 是椭圆 在椭圆上,且 ?

+

=1(a>b>0)的两个焦点,O 为坐标原点,点 P(﹣1,



=0,⊙O 是以 F1F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并

且与椭圆交于不同的两点 A,B (1)求椭圆的标准方程; (2)当 ? =λ,且满足 ≤λ≤ 时,求弦长|AB|的取值范围.

21.已知函数



(1)若函数 f(x)在其定义域内为单调函数,求 a 的取值范围; (2) 若函数 ( f x) 的图象在 x=1 处的切线的斜率为 0, 且 已知 a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较 由. 与 的大小,并说明你的理 ,

重庆市渝中区巴蜀中学 2015 届高考数学一模试卷 (理科)

一.选择题 1.已知全集 U=R,集合 A={x|x<2},B={x|x>1},则 A∩?UB=( ) A.{x|1<x<2} B.{x|x≤0} C.{x|1≤x<2} D.{x|x≤1} 考点:交、并、补集的混合运算. 专题:集合. 分析:求出 CUB={x|x≤1},再进行交集运算可得答案. 解答: 解:CUB={x|x≤1}, ∴A∩(CUB)={x|x≤1}, 故选 D. 点评:本题考查了集合的交、补集运算,利用数轴进行集合运算,直观、形象. 2.已知在等差数列{an}中,a3+a6+a10+a13=32,则 a8=( A.12 B.8 C .6 ) D.4

考点:等差数列的前 n 项和. 专题:等差数列与等比数列. 分析:由等差数列的性质易得 a3+a13=a6+a10=2a8,代入已知求解可得. 解答: 解:由等差数列的性质可得 a3+a13=a6+a10=2a8, ∵a3+a6+a10+a13=32,∴4a8=32 解得 a8=8 故选:B 点评:本题考查等差数列的性质,属基础题.
n

3.若( A.4

+ ) 的展开式中, 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n=( B.5 C .6 D.7

)

考点:二项式定理的应用. 专题:二项式定理. 分析:本题对于二项式系数的和可以通过赋值令 x=1 来求解,而各项二项式系数之和由二 n 项式系数公式可知为 2 ,最后通过比值关系为 64 即可求出 n 的值. 解答: 解:令 ( + ) 中 x 为 1 得各项系数和为 4
n n n

又展开式的各项二项式系数和为 2 ∵各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 ∴ =64

解得 n=6 故选:C. 点评: 本题考查求展开式的各项系数和的重要方法是赋值法、 考查利用二项展开式的通项公 n 式解决二项展开式的特定项问题,解答关键是利用展开式的各项的二项式系数的和为 2

4.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) ,则 A.﹣ B.﹣ C. D.

=(

)

考点:奇函数;函数的周期性. 专题:计算题. 分析:由题意得 =f(﹣ )=﹣f( ) ,代入已知条件进行运算.

解答: 解:∵f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤x≤1 时,f(x)=2x(1﹣x) , ∴ =f(﹣ )=﹣f( )=﹣2× (1﹣ )=﹣ ,

故选:A. 点评:本题考查函数的周期性和奇偶性的应用,以及求函数的值.

5.已知点 P(x,y)在不等式组

表示的平面区域上运动,则 z=y﹣x 的取值

范围是( ) A.[﹣2,﹣1]

B.[﹣2,1]

C.[﹣1,2]

D.[1,2]

考点:简单线性规划. 专题:数形结合. 分析:①画可行域②z 为目标函数纵截距③画直线 0=y﹣x.平移可得直线过 A 或 B 时 z 有最值. 解答: 解:画可行域如图,画直线 0=y﹣x, 平移直线 0=y﹣x 过点 A(0,1)时 z 有最大值 1; 平移直线 0=y﹣x 过点 B(2,0)时 z 有最小值﹣2; 则 z=y﹣x 的取值范围是[﹣2,1] 故选 B.

点评:本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.

6. 已知向量



的夹角为 120°, 且 ) B.13 C .6

, 若

, 且



则实数 λ 的值为( A.

D.

考点:向量加减混合运算及其几何意义. 专题:平面向量及应用. 分析:利用向量垂直与数量积之间的关系即可得出. 解答: 解:∵ ∴ 又向量 ∴
2

,且 =

, =0. , = =﹣3.

= 与 =
2

的夹角为 120°,且

∴3 ﹣λ?2 +(λ﹣1)×(﹣3)=0, 解得 λ= .

故选:D. 点评:本题考查了向量垂直与数量积之间的关系,属于基础题. 7.化简 A.1 B. =( ) C. D.2

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:三角函数的求值. 分析: 原式分子利用二倍角的余弦函数公式化简, 分母中被开方数利用同角三角函数间基本 关系, 完全平方公式以及二次根式的性质化简, 约分后再利用两角和与差的正弦函数公式变 形,约分即可得到结果. 解答: 解:原式 = = = =

, 故选:C. 点评:此题考查了同角三角函数间基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键.

8.过双曲线

的一个焦点 F 作一条渐线的垂线,垂足为点 A,

与另一条渐近线交于点 B,若

,则此双曲线的离心率为(

)

A.

B.

C .2

D.

考点:双曲线的简单性质. 专题:计算题;数形结合. 分析:先由 ,得出 A 为线段 FB 的中点,再借助于图象分析出其中一条渐近线对应

的倾斜角的度数,找到 a,b 之间的等量关系,进而求出双曲线的离心率. 解答: 解:如图因为 ,所以 A 为线段 FB 的中点,

∴∠2=∠4,又∠1=∠3,∠2+∠3=90°,所以∠1=∠2+∠4=2∠2=∠3. 故∠2+∠3=90°=3∠2?∠2=30°?∠1=60°? ∴ 故选:C. =4?e=2. .

点评:本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查,是考查基本知识,属于基础题.

9.已知 a,b 都是负实数,则 A. B.2( ﹣1)

的最小值是( C .2 ﹣1

) D.2( +1)

考点:函数的最值及其几何意义. 专题:计算题. 分析:把所给的式子直接通分相加,把分子整理出含有分母的形式,做到分子常数化,分子 和分母同除以分母,把原式的分母变化成具有基本不等式的形式,求出最小值. 解答: 解:直接通分相加得 = =1﹣

=1﹣

因为 a,b 都是负实数,所以 ,

都为正实数

那么上式分母中的分母可以利用基本不等式求出最小值 最小值为为 2 分母有最小值,即 有最大值

那么 1﹣

可得最小值

最小值:2 ﹣2 故选 B. 点评: 本题考查函数的最值及其几何意义, 本题解题的关键是整理出原式含有基本不等式的 形式,可以应用基本不等式求最值.

10.已知函数 f(x)= 的实根个数不可能为( ) A.5 个 B.6 个 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:函数的性质及应用.

,则关于 x 的方程 f(x+ ﹣2)=a

C .7 个

D.8 个

分析:以 f(x)=1 的特殊情形为突破口,解出 x=1 或 3 或 或﹣4,将 x+ ﹣2 是为整体, 利用换元的思想方法进一步讨论, 解答: 解:因为 f(x)=1 时,x=1 或 3 或 或﹣4,则当 a=1 时,x+ ﹣2=1 或 3 或 或﹣ 4, 又因为,x+ ﹣2≥0 或≤﹣4, 所以当,x+ ﹣2=﹣4 时只有一个 x=﹣2 与之对应.

其它情况都有 2 个 x 值与之对应,故此时所求的方程有 7 个根. 当 1<a<2 时,y=f(x)与 y=a 有 4 个交点,故有 8 个根; 当 a=2 时,y=f(x)与 y=a 有 3 个交点,故有 6 个根; 综上:不可能有 5 个根,故选 A. 其图象如下图所示: 故选:A. 点评:本题重点考查了分段函数、函数的零点等知识,属于中档题. 二.填空题(每小题 5 分,共 5 小题 25 分) 11.若复数 z= (i 为虚数单位) ,则|z|= .

考点:复数求模. 专题:计算题. 分析:对复数分子与分母同时求模即可. 解答: 解:|z|= = = .

故答案为: . 点评:本题考查复数模的求法,考查计算能力. 12.已知不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,则实数 a 的取值范围是(﹣∞,3) .

考点:绝对值不等式的解法. 专题:不等式的解法及应用. 分析:根据绝对值的意义可得|x+1|+|x﹣2|的最小值为 3,再由不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集 为 R,可得 a 的范围. 解答: 解:由于|x+1|+|x﹣2|表示数轴上的点 x 到﹣1、2 对应点的距离之和,它的最小值 为 3, 故由不等式|x+1|+|x﹣2|>a 的解集为 R,可得 a<3, 故答案为: (﹣∞,3) . 点评:本题主要考查绝对值的意义,绝对值不等式的解法,体现了转化的数学思想,属于基 础题. 13.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线
2

经过曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0)的焦点,则实数 a 的值为 4.

考点:参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 专题:选作题;坐标系和参数方程. 分析:将直线的参数方程和极坐标方程化为普通方程和直角坐标方程,即可得出结论. 2 2 解答: 解:由 ρsin θ=2acosθ(a>0)得 y =2ax, (a>0) ,



,消去参数 t 可得 x﹣y﹣2=0,

∵曲线

经过曲线 C:ρsin θ=2acosθ(a>0)的焦点,

2

∴由 =2 可得 a=4, 故答案为:4. 点评:本题考查直线的参数方程和极坐标方程,属基础题. 14.将标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少有一个球,则一 共有 150 种放法. 考点:计数原理的应用. 专题:排列组合. 分析:先把 5 个不同的求分为(3,1,1)或(2,2,1)两组,求出分组的种数,再分配到 分配到三个不同的盒子里即可

解答: 解:标号为 1,2,3,4,5 的五个球放入 3 个不同的盒子,每个盒子至少有一个球, 分为(3,1,1)或(2,2,1)三组,共有 再分配到三个不同的盒子里,共有 25 + =25,

=150 种

故答案为:150 点评:本题考查了分组分配的问题,关键是分组,属于中档题

15. 已知△ ABC 中的内角为 A, B, C, 重心为 G, 若 2sinA 则 cosB= .

=



考点:向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用. 分析:利用正弦定理化简已知表达式,通过 不共线,求出 a、b、c 的关系,利用余

弦定理求解即可. 解答: 解:设 a,b,c 为角 A,B,C 所对的边,由正弦定理 2sinA 可得 2a + +3c = ,则 2a = + = , 不共线,则 2a﹣3c=0, , , ,即 2a= =3c , =﹣3c =﹣3c(﹣ ) ,

即(2a﹣3c) 又因∵ ∴

∴ 故答案为: .



点评:本题考查平面向量在几何中的应用,余弦定理以及正弦定理的应用,考查计算能力. 三.解答题(共 6 小题 75 分,16,17,18 每小题 13 分,19,20,21 每小题 13 分) 2 2 16.已知函数 f(x)=(sinx+cosx) +2cos x﹣2. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)当 时,求 f(x)的值域.

考点:两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的定义域和值域.

专题:三角函数的图像与性质. 分析: (I)利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简 f(x)的解析式,利用三角函数的性质, 可得 f(x)的单调递增区间. (II)当 时,根据正弦函数的定义域和值域求得﹣ ≤f(x)≤1,从而得到

f(x)的值域. 解答: 解: (I)由题意可得 , 令 2kπ﹣ ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈z,求得 kπ﹣ ,kπ+ ≤ ≤x≤kπ+ ],k∈z. , ,k∈z,

可得 f(x)的单调递增区间为[kπ﹣ (II)当 ﹣1≤sin(2x+ ∴﹣ 故当 )≤ , 时, ≤2x+

≤f(x)≤1, 时,求 f(x)的最大值为 1,最小值为﹣ ,值域为[﹣ ,1].

点评:本题主要二倍角公式、两角和差的三角公式的应用,正弦函数的单调区间、正弦函数 的定义域和值域,属于中档题. 17.已知等差数列{an}的公差 d≠0,a1=2,且 a4,a6,a9 成等比数列. (1)求通项公式 an; n * (2)令 bn=an+1+2 ,n∈N ,求数列{bn}的前 n 项的和 Tn. 考点:数列的求和;等差数列的性质. 专题:等差数列与等比数列. 分析: (1)首先利用已知条件求出等差数列的首项和公差,进一步求出数列的通项公式. (2)根据(1)的结论,利用分类的方法求数列的和. 解答: 解: (1) d =a1d, 因为 d≠0, 则 d=a1=2. 所以 an=2+(n﹣1)?2=2n (2)因为 ,
1 2 n 2



所以 Tn=2(1+2+3+…+n)+n+(2 +2 +…+2 ) = =n +2n+2
2 n+1

﹣2

点评:本题考查的知识要点:数列通项公式的求法,利用分类求和的方法求数列的和.属于 基础题型. 18.如图所示,已知点 M(a,3)是抛物线 y =4x 上一定点,直线 AM、BM 的斜率互为相 反数,且与抛物线另交于 A、B 两个不同的点. (1)求点 M 到其准线的距离; (2)求证:直线 AB 的斜率为定值.
2

考点:直线与圆锥曲线的综合问题. 专题:圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (1)由已知得 3 =4a,
2

,由此能求出点 M 到其准线的距离.

(2)设直线 MA 的方程为:

,联立

,得

,由已知条件推导出



,由此能证明直线 AB

的斜率为定值. 2 解答: (1)解:∵M(a,3)是抛物线 y =4x 上一定点 ∴3 =4a, ∵抛物线 y =4x 的准线方程为 x=﹣1 ∴点 M 到其准线的距离为: .
2 2

(2)证明:由题知直线 MA、MB 的斜率存在且不为 0, 设直线 MA 的方程为: ,

联立

,得





,∴



∵直线 AM、BM 的斜率互为相反数

∴直线 MA 的方程为:y﹣3=﹣k(x﹣ ) , 同理可得: ,



=

=

=

=﹣ ,

∴直线 AB 的斜率为定值﹣ .

点评: 本题考查点到准线的距离的求法, 考查直线的斜率这定理的证明, 解题时要认真审题, 注意函数与方程思想的合理运用. 19.已知函数 f(x)=xlnx,g(x)=﹣x +ax﹣3. (1)求函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在 x0∈[ ,e](e 是自然对数的底数,e=2.71828…) ,使不等式 2f(x0)≥g(x0) 成立,求实数 a 的取值范围. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 专题:导数的综合应用. 分析: (1)由已知知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=lnx+1,由此利用导数性质 能求出函数 f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)由已知得 a≤2lnx+x+ ,x∈[ ,e],设 h(x)=2lnx+x+ ,x∈[ ,e],则 ,x∈[ ,e],由此利用导数性质能求出实数 a 的取值 解答: 解: (1)由已知知函数 f(x)的定义域为(0,+∞) ,f′(x)=lnx+1, 当 x∈(0, ) ,f′(x)<0,f(x)单调递减, 当 x∈( ) ,f′(x)>0,f(x)单调递增,
2

①0<t<t+2< ,没有最小值;

②0<t< <t+2,即 0<t< 时,f(x)min=f( )=﹣ ; ③ ,即 t 时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt.





(2)∵不等式 2f(x0)≥g(x0)成立,即 2x0lnx0≥﹣ ∴a≤2lnx+x+ ,x∈[ ,e], 设 h(x)=2lnx+x+ ,x∈[ ,e], ,x∈[ ,e],





①x∈[ ,1)时,h′(x)<0,h(x)单调递减, ②x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)单调递增, ∴h(x)max=h(e)=2+e+ ,对一切 x0∈[ ,e]使不等式 2f(x0)≥g(x0)成立, ∴a≤h(x)max=2+e+ . 点评:本题重点考查利用导数研究函数的性质,利用函数的性质解决不等式、方程问题.重 点考查学生的代数推理论证能力.解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.

20.已知 F1,F2 是椭圆 在椭圆上,且 ?

+

=1(a>b>0)的两个焦点,O 为坐标原点,点 P(﹣1,



=0,⊙O 是以 F1F2 为直径的圆,直线 l:y=kx+m 与⊙O 相切,并

且与椭圆交于不同的两点 A,B (1)求椭圆的标准方程; (2)当 ? =λ,且满足 ≤λ≤ 时,求弦长|AB|的取值范围.

考点:直线与圆锥曲线的关系. 专题:综合题. 分析: (1) 依题意, 易得 PF1⊥F1F2, 进而可得 c=1, 根据椭圆的方程与性质可得 a =b +c ,联立解可得 a 、b 、c 的值,即可得答案;
2 2 2 2 2 2

+

=1,

(2) 根据题意, 直线 l 与⊙x +y =1 相切, 则圆心到直线的距离等于圆的半径 1, 即

2

2

=1,

变形为 m =k +1, 联立椭圆与直线的方程, 即

2

2

, 得 (1+2k ) x +4kmx+2m ﹣2=0,

2

2

2

设由直线 l 与椭圆交于不同的两点 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则△ >0,解可得 k≠0,可得 x1+x2=﹣ ,x1?x2=﹣ ,进而将其代入 y1?y2=(kx1+m) (kx2+m)可得 y1?y2

关于 k 的表达式,又由

=x1?x2+y1?y2=

=

,结合题意 ≤λ≤ ,解可得 ≤k ≤1,

2

根据弦长公式可得|AB|=2 [ ,2]分析易得答案. ?

,设 u=k +k ( ≤k ≤1) ,则 ≤u≤2,将|AB|用 u

4

2

2

表示出来,由 u

解答: 解: (1)依题意,由 ∴c=1, 将点 p 坐标代入椭圆方程可得 解得 a =2,b =1,c =1, ∴椭圆的方程为 +y =1.
2 2 2 2 2 2

=0,可得 PF1⊥F1F2,

+

=1,又由 a =b +c ,

2

2

2

(2)直线 l:y=kx+m 与⊙x +y =1 相切,则

=1,即 m =k +1,

2

2

由直线 l 与椭圆交于不同的两点 A、B,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由
2

,得(1+2k )x +4kmx+2m ﹣2=0,
2 2 2 2

2

2

2

△ =(4km) ﹣4×(1+2k ) (2m ﹣2)>0,化简可得 2k >1+m , x1+x2=﹣ ,x1?x2= ,

y1?y2=(kx1+m) (kx2+m)=k x1?x2+km(x1+x2)+m =

2

2

=



=x1?x2+y1?y2=

=





≤ ,解可得 ≤k ≤1,

2

|AB|=
4 2 2

=2

设 u=k +k ( ≤k ≤1) , 则 ≤u≤2,|AB|=2 分析易得, =2 ,u∈[ ,2]

≤|AB|≤ .

点评:本题考查直线与椭圆的位置关系,解此类题目,一般要联系直线与圆锥曲线的方程, 得到一元二次方程,利用根与系数的关系来求解.

21.已知函数



(1)若函数 f(x)在其定义域内为单调函数,求 a 的取值范围; (2) 若函数 ( f x) 的图象在 x=1 处的切线的斜率为 0, 且 已知 a1=4,求证:an≥2n+2; (3)在(2)的条件下,试比较 由. 考点:数列与不等式的综合;数列与函数的综合. 专题:综合题;压轴题. 分析: (1)根据函数单调性与导数的关系,f(x)在其定义域内为单调函数,在(0,+∞) 内 f′(x)恒大于 0 或恒小于 0,转化为恒成立问题去解决. (2)根据导数的几何意义,f'(1)=0,求出 a,确定 f(x) ,f′(x)继而得出 an+1 的表达 式,最后用数学归纳法证明. (3)在(2)的条件下,将各项适当放缩,能得出 合等比数列求和公式化简不等式左边,去与 比较. 解答: 解: (1)f(1)=a﹣b=0?a=b, ∴ ∴ , . ,再结 与 的大小,并说明你的理 ,

要使函数 f(x)在定义域(0,+∞)内为单调函数,则在(0,+∞)内 f′(x)恒大于 0 或 恒小于 0,

当 当 a>0 时,要使 当 a<0 时, 要使

在(0,+∞)内恒成立; 恒成立,则 恒成立, 则 ,解得 a>1, , 解得 a<﹣1,

所以 a 的取值范围为 a>1 或 a<﹣1 或 a=0. (2)根据题意得:f'(1)=0,即 a+a﹣2=0,得 a=1,∴ 于是 , ,

用数学归纳法证明如下: 当 n=1 时,a1=4≥2×1+2,不等式成立; 假设当 n=k 时,不等式 ak≥2k+2 成立,即 ak﹣2k≥2 也成立, 当 n=k+1 时,ak+1=ak(ak﹣2k)+1≥(2k+2)×2+1=4k+5>2(k+1)+2, 所以当 n=k+1,不等式也成立, 综上得对所有 n∈N 时 5,都有 an≥2n+2. (3)由(2)得 an=an﹣1[an﹣1﹣2(n﹣1)+1≥an﹣1[2(n﹣1)+2﹣2n+2]+1=2an﹣1+1, 于是 an+1≥2(an﹣1+1) (n≥2) , 所以 a2+1≥2(a1+1) ,a3+1≥2(a2+1)…an+1≥2(an﹣1+1) , 累乘得: 所以 , .
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点评:本题考查函数单调性与导数的关系,数学归纳法,等比数列求和,考查分析解决、转 化、放缩,计算等能力与方法.是难题.


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