2014届高考数学一轮复习 第6章 第1节《不等关系与不等式》名师首选练习题 新人教A版

第六章

第一节

不等关系与不等式

一、选择题 1.设 a,b∈R,若 b-|a|>0,则下列不等式中正确的是 A.a-b>0 B.a+b>0 C.a2-b2>0 D.a3+b3<0 2.设 x,y∈R,则“x≥2 且 y≥2”是“x2+ y2≥ 4”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.若 a>b,则下列不等式正确的是 1 1 A. < a b C.a2>b2 B.a3>b3 D.a >|b|

(

)

(

)

(

)

1 1 4.设 a,b 为正实数,则“a<b”是“ a- <b- ”成立的 a b

(

)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.x=(a+3)(a-5)与 y=(a+2) (a-4)的大小关系是 ( ) A.x>y B.x=y C.x<y D.不能确定 6.若 x>y>1,且 0<a<1,则①ax<ay;②logax>logay;③x-a>y-a;④logxa<logya. 其中不成立的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二 、填空题 a b 1 1 7.已知 a+b >0,则 + 与 + 的大小关系是________. b2 a2 a b 1 1 8.以下四 个不等式:①a<0<b,②b<a<0,③b<0<a,④0<b<a,其中是 < 成立的充分条件 a b 有________. π π 3π 9.已知 0<α -β < , <α +2β < ,则 α +β 的取值范围是________. 2 2 2 三、解答题 10.比较 x3 与 x2-x+1 的大小.

11.若 a>b>0,c<d<0,e<0,

1

e 求证: ? a-c?

e > 2 ? b-d?

. 2

x2 x3 12.设 x,y 为实数,满足 3≤xy2≤8,4≤ ≤9,求 的最大值. y y4

详解答案 一、选择题 1.解析:由 b>|a|,可得-b<a<b.由 a<b,可得 a-b<0,所以选项 A 错误.由-b<a, 可得 a+b> 0,所以选项 B 正确.由 b>|a|,两边平方得 b2>a2,则 a2-b2<0,所以选 项 C 错误.由-b<a,可得-b3<a3,则 a3+b3>0,所以选项 D 错误. 答案:B 2.解析:因为 x≥2 且 y≥2? x2+y2≥4 易证,所以充分性满足,反之,不成立, 7 如 x=y= ,满足 x2+y2≥4,但不满足 x≥2 且 y≥2,所以 x≥2 且 y≥2 是 4 x2+y2≥4 的充分而不必要条件. 答 案:A 1 1 3.解析:若 a=1,b=-3,则 > ,a2<b2,a<|b|,知 A、C、D 错误;函数 f(x)=x3,f′(x) a b =3x2≥0,函数 f (x)=x3 为增函数,若 a>b,则 a3>b3. 答案:B 4.解析:∵a>0,b>0,a<b, 1 1 1 1 ∴ > ,由不等式的性质 a- <b- . a b a b 1 1 ∴由 a<b 可得出 a- <b- ; a b 1 1 1 1 当 a- <b- 时,可得(a-b)-( - )<0, a b a b 1 即(a-b)(1+ )<0. ab 又∵a>0,b>0,∴a-b<0.

2

1 1 ∴a<b,故由 a- <b- 可得出 a<b. a b 1 1 ∴“a<b”是“a- <b- ”成立的充要条件. a b 答案:C 5.解析:∵x-y=a2+3a-5a-15-a2-2a+4a+8=-7<0, ∴x<y. 答案:C 6.解析:∵x>y>1,0<a<1, ∴ax<ay,logax<logay,故①成立,②不成立. xa>ya>0,∴x-a<y-a,③不成立. 1 1 又 logax<logay<0,∴ > . logax logay 即 logxa>logya,∴④也不成立. 答案:C 二、填空题 a b 1 1 a-b b-a 7.解析: + -( + )= + b2 a2 a b b2 a2 1 1 ? =(a-b)( - )= b2 a2 ? a+b? ∴ ? a-b? a2b2 a+b? ? a-b? a2b2 2 .

∵a+b>0,(a-b)2≥0, 2 ≥0.

a b 1 1 ∴ + ≥ + . b2 a2 a b a b 1 1 答案: + ≥ + b2 a2 a b 1 1 1 1 8.解析:a<0<b? < ,但 < a<0<b,故①符合要求; a b a b 1 1 1 1 b<a<0? < ,但 < b<a<0,故②符合要求; a b a b 1 1 1 1 b<0<a < ,因此③不是 < 成立的充分条件; a b a b 1 1 0<b<a? < 0< b<a,因此④正确. a b 答案:①②④ 9.解析:设 α +β =A(α -β )+B(α +2β ) =(A+B)α +(2B-A)β .

?A+B=1, ? ∴? ? ?2B-A=1.

?B=2, ? 3 ∴? 1 ?A=3. ?

3

1 2 ∴α +β = (α -β )+ (α +2β ). 3 3

? π? ∵α -β ∈?0, ?, 2? ?
1 ? π? ∴ (α -β )∈?0, ?. 6? 3 ?

?π 3π ? ∵α +2β ∈? , ?, 2 ? ?2
2 ?π ? ∴ (α +2β )∈? ,π ?. 3 ?3 ? ∴α +β ∈?

?π ,7π ?. 6 ? ?3 ?

?π 7π ? ∴α +β 的取值范围是? , ?. 6 ? ?3
答案:?

?π ,7π ? 6 ? ?3 ?

三、解答题 10.解:x3-(x2-x+1)=x3-x2+x-1=x2(x-1)+(x-1)=(x-1)(x2+1). ∵x2+1>0, ∴当 x>1 时,(x-1)(x2+1)>0,即 x3>x2-x+1; 当 x=1 时,(x-1)(x2+1)=0,即 x3=x2-x+1; 当 x<1 时,(x-1)(x2+1)<0,即 x3<x2-x+1. 11.证明:∵c<d<0,∴-c>-d>0. 又∵a>b>0, ∴a-c>b-d>0. ∴(a-c)2>(b-d)2>0. 1 ∴0< < ? a-c? 2 ? 1 b-d? > 2 ? . 2 e b-d? . 2

e 又∵e<0,∴ ? a-c?

12.解:法一:由题设知,实数 x,y 均为正实数, 则条件可化为 lg3≤lgx+2lgy≤lg8,lg4≤2lgx-lgy≤lg9,
? ?lg3≤a+2b≤3lg2 令 lgx=a,lgy=b,则有? ?2lg2≤2a-b≤2lg3 ?



x3 又设 t= ,则 lgt=3lgx-4lgy=3a-4b, y4 令 3a-4b=m(a+2b)+n(2a-b),解得 m=-1,n=2, 即 lgt=-(a+2b)+2(2a-b)≤-lg3+4lg3=lg27, x3 ∴ 的最大值是 27. y4 x2 x4 法二:将 4≤ ≤9 两边分别平方得,16≤ ≤81,① y y2 1 1 1 又由 3≤xy2≤8 可得, ≤ ≤ ,② 8 xy2 3

4

x3 x3 由①×②得,2≤ ≤27,即 的最大值是 27. y4 y4

5


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