2019版高考数学(理科)(5年高考+3年模拟)B版课件 §4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关系和诱导公式_图文

§4.1 三角函数的概念、同角三角函数的关 系和诱导公式 五年高考 A组 若sin α=? ,则cos(α-β)= 1 3 自主命题·北京卷题组 (2017北京,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称. . ? 答案 7 9 解析 本题考查同角三角函数的关系,诱导公式,两角差的余弦公式. 解法一:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z). 1 3 1 3 ∵sin α=? ,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=? (k∈Z). 当cos α=?1 ? sin 2 α =? 时,cos β=-? , ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=? ×? ?? 2 2 3 2 2 2 2 当cos α=-?1 ? sin 2 α =-? 时,cos β=? , 3 3 ? 2 2? 2 2 1 1 7 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=? ×? =-? . ?? ? ×? +? ? 3 ? ? 2 2? 1 1 7 ×? =-? . ? +? 3 3 9 3 ? ? 2 2 3 2 2 3 3 3 3 9 7. 综上,cos(α-β)=-? 9 解法二:由已知得β=(2k+1)π-α(k∈Z), ∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α,cos β=cos[(2k+1)π-α] =-cos α,k∈Z. 1 3 1 9 7 9 当sin α=? 时,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-cos2α+sin2α=-(1-sin2α)+sin2α=2sin2α-1=2×? -1=-? . B组 统一命题、省(区、市)卷题组 ? 3 5 ?? ? 1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos? ,则sin 2α=? ( ? ? α ? =? A.? 7 25 B.? 1 5 C.-? 1 5 ?4 7 D.-? 25 ) ? ? ? ? 2 ? ? α ?? 答案 D 解法一:sin 2α=cos? ? ? 2α ? =cos? ? 4 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 7 ?? ? ?3? =2cos ? .故选D. ? ? α ? -1=2× ? ? -1=-? 25 ?5? ?4 ? 2 ? 2 2 2 解法二:cos? ?cos α+sin α=? ?1+sin 2α=?,∴sin 2α=-?.故选D. ? ? α ? =? (cos α+sin α)=? ?? ?4 ? ? 3 5 3 2 5 18 25 7 25 2.(2014大纲全国,3,5分)设a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,则( A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.c>a>b ) 答案 C ∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a. sin 35? >sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故选C. cos35? 3 2 3.(2016课标全国Ⅲ,5,5分)若tan α=? ) 4 ,则cos α+2sin 2α=? ( 64 48 A.? B.? 25 25 16 C.1 D.? 25 又∵c=tan 35°=? 答案 A 选A. 3 1 ? 4 ? 3 64 cos α ? 4sin α cos α 1 ? 4 tan α 当tan α=? 时,原式=cos2α+4sin αcos α=? 2 =? 2 = 9 4 =? ,故 2 4 tan α ? 1 sin α ? cos α ? 1 25 16 2 ? 解后反思 将所求式子的分母1用sin2α+cos2α代替,然后分子、分母同除以cos2α,得到关于tan α 的式子,这是解决本题的关键. 评析 本题主要考查三角恒等变换,用sin2α+cos2α代替1是解题关键. 4.(2018课标全国Ⅱ,15,5分)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= 答案 -? 解析 本题主要考查两角和与差的正弦公式. 由sin α+cos β=1,cos α+sin β=0, 两式平方相加,得2+2sin αcos β+2cos αsin β=1, 整理得sin(α+β)=-? . 1 2 1 2 . 解题技巧 利用平方关系:sin2α+cos2α=1,进行整体运算是求解三角函数问题时常用的技巧,应 熟练掌握. 5.(2018浙江,18,14分)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P ?? ,? ? . ? ? 5 5? ? 3 4? (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=? 13 ,求cos β的值. 解析 本题主要考查三角函数的定义及其恒等变换等基础知识,同时考查运算求解能力. 4 ? 3 4? (1)由角α的终边过点P? , ? ? , ? ? 得sin α=-? 5 ? 5 4 所以sin(α+π)=-sin α=? . 5 ? 5 5? 5 3 ? 3 4 ? 得cos α=-? (2)由角α的终边过点P? , ?? ,? ? 5? 5 12 由sin(α+β)=?得cos(α+β)=±?. 13 13 56 或cos β=? 16 . 所以cos β=-? 65 65 5 由β=(α+β)-α得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α, 思路分析 (1)由三角函数的定义得sin α的值,由诱导公式得sin(α+π)的值. (2)由三角函数的定义得cos α的值,由同角三角函数的基本关系式得cos(α+β)的值,由两角差的 余弦公式得cos β的值. ,? 6.(2015广东,

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