福建 安徽版01期 2014届高三名校数学理试题分省分项汇编 专题12 概率和统计 Word版含解析

一.基础题组
1.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】根据某市环境保护局公布 2007-2012 这 六年每年的空气质量优良的天数,绘制折线图如图.根据图中信息可知,这六年的每年空气 质量优良天数的中位数是( A. 300 ) C. 315 D. 320

B. 305

2.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】甲、乙两位歌手在“中国好声音” 选拔赛中,5 位评委评分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为 x甲 、 x乙 ,则下 列判断正确的是( ) B. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定 D. x甲 ? x乙 ,乙比甲成绩稳定

A. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定 C. x甲 ? x乙 ,甲比乙成绩稳定
甲 6 7 8 4 0 7 8 9 乙 5 8 3 6 8

3. 【福建省漳州市四地七校 2013 届高三 6 月模拟考数学(理) 】甲、乙两人玩猜数字游戏,先 由甲心中想一个数字,记为 a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为 b ,其中

a, b ? {0,1, 2,3}, 若 | a ? b |? 1, 则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则他们“心有
灵犀”的概率为( A. ) B.

5 16

5 8

C.

9 16

D.

3 8

4.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试数学(理) 】已知正方形 ABCD 的边长为 2 , H 是边 DA 的中点. 在正方形 ABCD 内部随机取一点 P,则满足 PH ? 2 的概率为 ( A. )

? 8

B.

?
8

?

1 4

C.

? 4

D.

?
4

?

1 4

【答案】B. 【解析】

【结束】 5.【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理) 】我们把形如“1234”和“3241” 形式的数称为“锯齿数” (即大小间隔的数) ,由 1,2,3,4 四个数组成一个没有重复数字的四 位数,则该四位数恰好是“锯齿数”的概率为( A. )

1 2

B.

5 12

C.

1 3

D.

1 4

【结束】 6.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理) 】某 车间加工零件的数量 x 与加工时间 y 的统计数据如下表: 零件数 x (个) 加工时间 y (分钟) 10 21 20 30 30 39

? ?a ? 中的 b ? 值为 0.9,则据此回归模型可以预测,加工 100 y ? bx 现已求得上表数据的回归方程 ?

个零件所需要的加工时间约为( A.84 分钟 B.94 分钟 C.102 分钟

) D.112 分钟

【结束】

二.能力题组
1.【安徽省 2013 年马鞍山三模(理) 】从 0,8 中任取一数,从 3,5, 7 中任取两个数字组成无重复 数字的三位数,其中奇数的个数为( ) (A) 24 (B) 18 (C) 12 (D) 6

2.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理) 】已 知 ?ABC 外接圆 O 的半径为 1 ,且 OA ? OB ? ?

??? ? ??? ?

1 ? . ?C ? ,从圆 O 内随机取一个点 M , 3 2
) D.等腰直角三角

若点 M 取自内的概率恰为 A.直角三角形

3 3 ,判断 ?ABC 的形状. ( 4?

B.等边三角形

C.钝角三角形



【结束】 3.【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理) 】给出下列五个命题: ①某班级一共有 52 名学生,现将该班学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的 样本,已知 7 号、33 号、46 号同学在样本中,那么样本中另一位同学的编号为 23; ②一组数据 1,2,3,3,4,5 的平均数、众数、中位数都相同; ③一组数据为 a ,0,1,2,3,若该组数据的平均值为 1,则样本标准差为 2; ④根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为 y ? a ? bx 中,

b ? 2, x ? 1, y ? 3, 则 a ? 1 ;
⑤如图是根据抽样检测后得出的产品样本净重(单位:克)数据绘制的频率分布直方图,已 知样本中产品净重小于 100 克的个数是 36, 则样本中净重大于或等于 98 克并且小于 104 克的 产品的个数是 90.

其中真命题为( A.①②④

) C.②③④ D.③④⑤

B.②④⑤

【结束】 4.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】在区间 [0,2] 上任取两个数 a , b ,能 使函数 f ( x) ? ax ? b ? 1 在区间 [?1,1] 内有零点的概率等于________.

考点:简单线性规划的应用,几何概型概率的计算. 5.【福建省三明市 2013 年普通高中 5 月毕业班质量检查(理) 】今年我国部分省市出现了人 感染 H7N9 禽流感确诊病例,各地家禽市场受其影响生意冷清.A 市虽未发现 H7N9 疑似病例,但 经抽样有 20%的市民表示还会购买本地家禽.现将频率视为概率,解决下列问题: (Ⅰ)从该市市民中随机抽取 3 位,求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率; (Ⅱ)从该市市民中随机抽取 X 位,若连续抽取到两位 愿意购买本地家禽的市民,或抽取的 ....... 人数达到 4 位,则停止抽取,求 X 的分布列及数学期望. 【答案】 (Ⅰ)

61 ; (Ⅱ)详见解析. 125

【结束】 6.【2013 年福州市高中毕业班质量检查数学(理)试卷】某校高三 2 班有 48 名学生进行了一场 投篮测试,其中男生 28 人,女生 20 人.为了了解其投篮成绩,甲、乙两人分别对全班的学生 进行编号(1~48 号) ,并以不同的方法进行数据抽样,其中一人用的是系统抽样,另一人用的 是分层抽样.若此次投篮考试的成绩大于或等于 80 分视为优秀,小于 80 分视为不优秀,以下 是甲、乙两人分别抽取的样本数据:

编号 3 7 11 15 19 23 27 31 35 39 43 47

性别 男 女 男 男 女 男 男 男 男 女 男 女

投篮成绩 90 60 75 80 85 80 95 80 80 60 75 55

编号 1 8 10 17 23 24 27 31 35 37 41 46

性别 男 男 男 男 男 男 男 女 女 女 女 女

投篮成绩 95 85 85 80 60 90 80 80 65 35 60 75

甲抽取的样本数据

乙抽取的样本数据

(Ⅰ)从甲 抽取的样本数据中任取两名同学的投篮成绩,记“抽到投篮成绩优秀”的人数为 X, . 求 X 的分布列和数学期望; (Ⅱ)请你根据乙 抽取的样本数据完成下列 2×2 列联表,判断是否有 95%以上的把握认为投 . 篮成绩和性别有关? 优秀 男 女 合计 12 非优秀 合计

(Ⅲ)判断甲、乙各用何种抽样方法,并根据(Ⅱ)的结论判断哪种抽样方法更优?说明理 由. 下面的临界值表供参考:

P( K 2 ? k )
k

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

(参考公式: K ?

n(ad ? bc ) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

【答案】 (Ⅰ) X 的分布列为
X
P
0

1

2

5 33

35 66

7 22

故 X 的分布列为
X
P
0

1
35 66

2
7 22

5 33

…………………………………………5 分 ∴ E( X ) ? 0 ?
5 35 7 7 ? 1? ? 2 ? ? . 33 66 22 6

……6 分

7.【安徽省 2013 年马鞍山三模(理) 】 (本小题满分 12 分)甲、乙等 6 名同学参加某高校的自 主招生面试,已知采用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序(序号为 1,2,?,6 ) . (Ⅰ)求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率; (Ⅱ)记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与期望.
4 【答案】 (Ⅰ) ; (Ⅱ)分布列是: 5

?
0 1 2 3 4
E? ? 4 . 3

P

1 3

4 15

1 5

2 15

1 15

【解析】

试题分析: (Ⅰ)用组合计算基本事件数,由等可能性事件的概率计算公式即可求解; (Ⅱ) 利用组合也可以求出随机变量 ? 的分布列,然后根据期望的定义求出 E? . 试题解析: (Ⅰ)只考虑甲、乙两考生的相对位置,用组合计算基本事件数;

8.【福建省宁德一中、罗源一中、尚德中学 2013 届高三下学期第二次联考数学试题(理) 】(本 小题满分 13 分) 为增强市民的节能环保意识,某市面向全市征召义务宣传志愿者.从符合条件的 500 名志愿者中 随机抽取 100 名志愿者,其年龄频率分布直方图如图所示,其中年龄分组区间 是: ?20,25?, ?25,30 ?, ?30,35?, ?35,40 ?, ?40,45? . (I)求图中 x 的值并根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 ?35,40 ? 岁的人数; (II)在抽出的 100 名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名参加中心广场的宣传活动,再从 这 20 名中采用简单随机抽样方法选取 3 名志愿者担任主要负责人.记这 3 名志愿者中“年龄低于 35 岁”的人数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

故 X 的分布列为 X P 所以 EX ? 0 ? 0 1 2 3

14 285

28 95

44 95

11 57
………………………………13 分

14 28 44 11 171 . ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 285 95 95 57 95

考点:1、频率分布直方图;2、概率分布列;3、数学期望.

【结束】 9.【安徽省六校教育研究会 2014 届高三素质测试数学(理) 】 (本小题满分 12 分)小明参加完高 考后,某日路过一家电子游戏室,注意到一台电子游戏机的规则是:你可在 1,2,3,4,5,6 点中选一个,押上赌注 a 元。掷 3 枚骰子,如果所押的点数出现 1 次、2 次、3 次,那么原来的 赌注仍还给你,并且你还分别可以收到赌注的 1 倍、2 倍、3 倍的奖励。如果所押的点数不出 现,那么赌注就被庄家没收。 (1)求掷 3 枚骰子,至少出现 1 枚为 1 点的概率; (2)如果小明准备尝试一次,请你计算一下他获利的期望值,并给小明一个正确的建议。

【结束】 10. 【安徽省示范高中 2014 届高三上学期第一次联考数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 某数学老师对本校 2013 届高三学生某次联考的数学成绩进行分析,按 1:50 进行分层抽样抽 取的 20 名学生的成绩进行分析,分数用茎叶图记录如图所示(部分数据丢失) ,得到频率分 布表如下:

(1)求表中 a, b 的值及分数在 [90,100) 范围内的学生数,并估计这次考试全校学生数学成绩 及格率(分数在 [90,150] 范围为及格) ; (2)从大于等于 110 分的学生中随机选 2 名学生得分,求 2 名学生的平均得分大于等于 130 分的概率.

由茎叶图可知分数 [100,110) 范围内的人数为 4 人,

【结束】 11. 【福建省漳州市四地七校 2013 届高三 6 月模拟考数学(理) 】 (本小题满分 13 分) 按照新课程的要求, 高中学生在每学期都要至少参加一次社会实践活动(以下简称活动). 该校 高 2010 级一班 50 名学生在上学期参加活动的次数统计如图所示. (I)求该班学生参加活动的人均次数 x ; (II)从该班中任意选两名学生,求他们参加活动次数恰好相等的概率 P0 . (III)从该班中任选两名学生,用 ? 表示这两人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量 ? 的 分布列及数学期望 E? .

三.拔高题组
1. 【安徽省 2013 年马鞍山三模 (理) 】 已知随机变量 X 服从正态分布 N (3, ? 2 ) , 且 P( X ? ) 58 0 . ? 则 P(1 ? X ? 3) ? ( (A) 0.6 ) (B) 0.4 (C) 0.3 (D) 0.2 ,

2.【福建省三明市 2013 年普通高中 5 月毕业班质量检查(理) 】已知随机变量 ? ? N (0, ? ) ,
2

若 P(? ? 2) ? 0.8 ,则 P(? ? ?2) ? 【答案】 0.2 . 【解析】



试题分析: 由正态分布的密度函数知,P ?? ? ?2 ? ? P ?? ? 2 ? ? 1 ? P ?? ? 2 ? ? 1 ? 0.8 ? 0.2 . 考点:正态分布 【结束】

3.【安徽省池州一中 2014 届高三第一次月考数学(理) 】 (本小题满分 12 分) 甲、乙两人进行围棋比赛,规定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一方比对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为 p ? p ? 第二局比赛结束时比赛停止的概率为 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ)设 X 表示比赛停止时已比赛的局数,求随机变量 X 的分布列和数学期望 E ? X ? .

? ?

1? ? ,且各局胜负相互独立.已知 2?

5 . 9

则随机变量的分布列为 X P 故 E ? X ? ? 2? 2 4 6

5 9

20 81

16 81

5 20 16 266 .????12 分 ? 4? ? 6? ? 9 81 81 81

考点:1.互斥和独立事件的概率;2.分布列和期望.


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