【金版新学案】2014-2015学年高二数学人教A版选修2-2课时作业:1.4 Word版含解析

第一章

1.4

一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为 20 cm,要使其体积最大,则高应为( 20 3 A. cm 3 C.20 cm 解析: 设高为 h,体积为 V, 则底面半径 r2=202-h2=400-h2, 1 π ∴V= πr2h= (400h-h3), 3 3 π V′= (400-3h2), 3 令 V′=0, 20 3 20 3 得 h= 或 h=- (舍). 3 3 答案: A 2 2.某厂生产某产品 x(万件)的总成本 C(x)=1 200+ x3(万元),已知产品单价的平方与 75 产品件数 x 成反比,生产 100 万件这样的产品单价为 50 万元,产量定为多少时总利润最大 ( ) A.23 万件 C.50 万件 解析: 设单价为 a,由题意知 k k a2= 且 502= , x 100 ∴k=502×100=25×104, 25×104 500 ∴a = ,即 a= , x x
2

)

B.100 cm 20 D. cm 3

B.25 万件 D.75 万件

总利润 y=a· x-C(x) = 2 500 1 200+ x3? · x-? 75 ? ? x

2 =500× x- x3-1 200, 75 1 2 y′=250x- - x2, 2 25 令 y′=0 得 x=25, ∴产量定为 25 万件时总利润最大. 答案: B 3.用长为 24 m 的钢筋做成一个长方体形框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则 这个长方体体积的最大值为( A.8 m3 C.16 m3 ) B.12 m3 D.24 m3

解析: 设长方体的底面边长为 x,则高为(6-2x)m, ∴0<x<3, 则 V=x2· (6-2x)=6x2-2x3, V′=12x-6x2, 令 V′=0 得 x=2 或 x=0(舍), ∴当 x∈(0,2)时,V 是增函数, 当 x∈(2,3)时,V 是减函数, ∴当 x=2 时,Vmax=4×2=8(m3). 答案: A 4.某公司生产某种产品,固定成本为 20 000 元,每生产一单位产品,成本增加 100 元, 1 ? ?400x-2x2,0≤x≤400, 已知总收益 R 与年产量 x 的关系是 R(x)=? 则总利润最大时,每 ? ?80 000,x>400, 年生产的产量是( A.100 C.200 解析: 设 Q(x)表示产量为 x 时的总利润 则 Q(x)=R(x)-100x-20 000 ) B.150 D.300

1 2 ? ?300x-2x -20 000,0≤x≤400 =? ? ?60 000-100x,x>400 当 0≤x≤400 时,Q′(x)=300-x, 令 Q′(x)=0,则 x=300, 当 0≤x<300 时,Q′(x)>0, 当 300<x≤400 时,Q′(x)<0, ∴当 x=300 时,Q(x)max=Q(300)=25 000. 当 x>400 时,Q′(x)=-100<0, ∴Q(x)单调递减 Q(x)<Q(400). 综上 Q(x)max=Q(300).故选 D. 答案: D 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.某公司规定:对于小于或等于 150 件的订购合同,每件售价为 200 元,对于多于 150 件的订购合同,每超过 1 件,则每件的售价比原来减少 1 元.试问订购________件的合同将 会使公司的收益最大. 解析: 设 x 表示销售的件数,R 表示公司的收益,则 R 等于每件的售价×销售件数. 当 x>150 时,则 R(x)=[200-(x-150)]x=350x-x2. 为求最大收益的件数,不妨认为 R(x)连续可导,求 R′(x)=350-2x.令 R′(x)=0,得 x =175 时,R 有最大值. 答案: 175 6.海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为 30 海里/小时,当速度为 10 海里/小时时,它的燃料费是每小时 25 元,其余费用(无论速度 如何)都是每小时 400 元.如果甲、乙两地相距 800 海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地 的总费用最低,它的航速应为________. 解析: 由题意设燃料费 y 与航速 x 间满足 y=ax3(0≤x≤30), 1 又∵25=a· 103,∴a= . 40 设从甲地到乙地海轮的航速为 v,费用为 y,

800 800 320 000 则 y=av3× v + v ×400=20v2+ v , 320 000 由 y′=40v- =0 得 v=20<30. v2 答案: 20 海里/小时 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.从长为 32 cm,宽为 20 cm 的矩形薄铁皮的四角剪去四个相等的正方形,做一个无 盖的箱子,问剪去的正方形边长为多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少? 解析: 设剪去的正方形的边长为 x cm, 则箱子的容积 V(x)=x(32-2x)(20-2x)(0<x<10) =4x3-104x2+640x, V′(x)=12x2-208x+640 =4(3x2-52x+160) =4(3x-40)(x-4). 令 V′(x)=0, 40 得 x1= (舍去),x2=4. 3 当 0<x<4 时,V′(x)>0, 当 4<x<10 时,V′(x)<0, 所以 V(x)在(0,4)内为增函数, 在(4,10)内为减函数. 因此 V(x)在(0,10)内有唯一的极大值 V(4),且该极大值即为函数 V(x)的最大值,其最大 值 V(4)=4×(32-8)×(20-8)=1 152(cm3). 答:当剪去的正方形边长为 4 cm 时,容器的容积最大,最大容积为 1 152 cm3. 8.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 a x(单位:元/千克)满足关系式 y= +10(x-6)2,其中 3<x<6,a 为常数.已知销售价格为 x-3 5 元/千克时,每日可售出该商品 11 千克. (1)求 a 的值; (2)若该商品的成本为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获 得的利润最大.

a 解析: (1)因为 x=5 时,y=11,所以 +10=11, 2 所以 a=2. 2 (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y= +10(x-6)2, x-3 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3)?

? 2 +10?x-6?2? ?=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. ?x-3 ?

从而,f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]=30(x-4)(x-6). 于是,当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) f(x) (3,4) + 单调递增 4 0 极大值 42 (4,6) - 单调递减

由上表可知,x=4 是函数 f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以,当 x=4 时,函数 f(x)取得最大值,且最大值等于 42. 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. ? 尖子生题库 ?? ☆☆☆

(10 分)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥 墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元,距离为 x 米的相邻两墩之 间的桥面工程费用为(2+ x)x 万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其 他因素,记余下工程的费用为 y 万元. (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 解析: (1)设需新建 n 个桥墩, 则(n+1)x=m, m 即 n= -1. x 所以 y=f(x)=256n+(n+1)(2+ x)x m ? m =256? ? x -1?+ x (2+ x)x



256m +m x+2m-256. x

(2)由(1)知, 256m 1 1 m 3 f′(x)=- 2 + mx- = 2(x -512). x 2 2 2x 2 令 f′(x)=0,得 x2=512,所以 x=64. 当 0<x<64 时, f′(x)<0,f(x)在区间(0,64)内为减函数; 当 64<x<640 时, f′(x)>0,f(x)在区间(64,640)内为增函数. 所以 f(x)在 x=64 处取得最小值, m 640 此时 n= -1= -1=9. x 64 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.
3


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