高二下学期理科练习题8

高二数学试卷(理科)1
1. 若集合 A ? ?x | x ? 1?, B ? ?0, 1, 2? , ?C R A? ? B ? A. ? 1, 2? B. ?0, 1? C. ?0, 1, 2? C. 1 ? 2i D.

?x | x ? 1?

2. 已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i ,则 z ? A. ? 1 ? 2i B. ? 1 ? 2i 3. “

D. 1 ? 2i

1 ? 1 ”是“ x ? 1”的 x
B. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件 C. 充分必要条件 4. 下列函数中值域为(0, ? ? )的是
1

A. y ? 2 x C. y ?

B. y ?
x

2x ?1
2? x

2 ?1

?1? D. y ? ? ? ?2?

5. 若 log 1 x ? 1,则 x 的取值范围是
2

A. x ?

1 2
2

B. 0 ? x ?

1 2

C. x ?

1 2

D. x ? 0

6. 观 察 x ' ? 2 x, x ' ? 4 x , ?cos x ?? ? ? sin x , 则 归 纳 推 理 可 得 : 若 定 义 在 R 上 的 函 数 f ? x ? 满 足
4 3

? ?

? ?

f ?? x ? ? f ?x ? ,记 g ? x ? 为 f ? x ? 的导函数,则 g ?? x ? =
A. f ? x ? B. ? f ?x ? C. ? g ?x ? D. g ? x ?

xa x ?a ? 1? 的图象的大致形状是 7. 函数 y ? |x|

? 1 1 ? ? 展开式中二项式系数之和为 128,则展开式中 3 的系数是 8. 若 ? 3x ? ? 2 ? 3 x x ? ? 1 1 A. 21 B. -21 C. ? D. 2 2
9. 若 a, b, t , x 都是实数,且 1 ? a ? b, t ? 0 , a ? a ? t ,则 b 与 b ? t 的大小关系是
x x

n

A. b ? b ? t
x

B. b ? b ? t
x

C. b ? b ? t
x

D. 不能确定

10. 由两个 1、两个 2、一个 3、一个 4 这六个数字组成 6 位数,要求相同数字不能相邻,则这样的 6 位数有
.

A. 12 个 B. 48 个 C. 84 个 D. 96 个 11. 设某气象站天气预报准确率为 0.9,则在 3 次预报中恰有 2 次预报准确的概率为__________。 12. 设函数 f ? x ? ? ?
x

?2 x ? 1, x ? 1 ?ax, x ? 1

,满足 f ? f ?0 ?? ? a 2 ,则 a 的值是__________。

13. 曲线 y ? xe ? 2 x ? 1 在点 P(0,1)处的切线方程是__________。 14. 函数 y ? ? sin x ? 2 sin x 的最小值是__________。
3

15. 一个篮球运动员投篮一次得 3 分的概率是 a ,得 2 分的概率是 b ,不得分的概率是 c ( a, b, c ? ?0, 1? ) , 已知他投篮一次得分的数学期望是 2(不计其它得分) ,则 ab 的最大值是__________。 16. 设存在实数 x ? ?

1 ?1 ? , 3 ? ,使不等式 t ? x ? ? e |ln x| 成立,则实数 t 的取值范围是__________。 x ?2 ?
2

17. (本题 10 分)已知函数 g ?x ? ? ax ? 2ax ? 1 ? b?a ? 0? ,在区间 ?2, 3? 上有最大值 4、最小值 1,设函数

f ?x ? ?

g ?x ? 。 (1)求 a 、 b 的值; x

(2)若不等式 f 2

? ?? k ? 2
x

x

? 0 在 x ? ?? 1, 1? 上恒成立,求 k 的取值范围。

18.袋中有红、白两种颜色的小球共 7 个,它们除颜色外完全相同,从中任取 2 个,都是白色小球的概率为

1 , 7

甲、乙两人不放回地从袋中轮流摸取一个小球,甲先取,乙后取,然后再甲取??,直到两人中有一人取到白球时 游戏停止,用 X 表示游戏停止时两人共取小球的个数。 (1)求 P? X ? 4? ; (2)求 EX 。 19. 已知 ?x ? 1? ? a0 ? a1 ?x ? 1? ? a 2 ?x ? 1? ? ? ? a n ?x ? 1? ( n ? 2, n ? N * ) ,
n 2 n

(1)当 n ? 5 时,求 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 的值; (2)设 bn ?

a2 n?n ? 1??n ? 1? 。 , Tn ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,试用数学归纳法证明:当 n ? 2 时, Tn ? n ?3 3 2
x 2 x ? a ? 2a ? , a ? R (1)利用函数单调性的定义,判断函数 t ? 在 ?0, 1? 上 2 3 1? x 1? x2

20.已知函数 f ?x ? ?

的单调性; (2)若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 在 ?0, 1? 上的最大值 M ?a ? 。 21.设函数 f ?x ? ? ln x ?

a ? 1? 在 ? 0, ? 内有极值。 e? x ?1 ?

(1)求实数 a 的取值范围; (2)若 m, n 分别为 f ? x ? 的极大值和极小值,记 S ? m ? n ,求 S 的取值范围。 (注: e 为自然对数的底数)

.

【试题答案】
一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分) 1—5 AABDB 6—10 CBAAC 二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 0.243 14. -3 12. 0 或 2 15. 13. y ? 3x ? 1 16. t ?

1 6

1 3

三、解答题: (本大题共 5 小题,共 52 分) 17. 解: (1)由于函数 g ? x ? 的对称轴为直线 x ? 1, a ? 0 ,所以 g ? x ? 在 ?2, 3? 单调递增, 则?

? g ?2 ? ? 1 ,解得: a ? 1, b ? 0 。 (4 分) ? g ?3? ? 4

(2)由(1)知: f ?x ? ? x ?

1 ?2 x
2 2

2 ? 1 ? ? 1 ? 所以 f 2 ? k ? 2 ? 0 ? k ? ? x ? ? x ? 1 ? ? x ? 1? (6 分) 2 ?2 ? ?2 ?
x x

? ?

因为 x ? ?? 1, 1? ,所以
2

1 ?1 ? ? ? , 2? , x 2 ?2 ?

? 1 ? 所以 ? x ? 1? 的最小值为 0。 (9 分) ?2 ?
所以 k ? 0 (10 分) 18. 解: (1)设白色小球有 m 个,则由题设可知, 所以 P? X ? 4? ?
2 Cm 1 (2 分) ? ,解得 m ? 3 。 2 C7 7

4 3 2 3 3 (4 分) ? ? ? ? 7 6 5 4 35

(2)由题设可知,X 的可能取值是 1,2,3,4,5

3 4 3 2 , P? X ? 2 ? ? ? ? 。 7 7 6 7 4 3 3 6 , P? X ? 3? ? ? ? ? 7 6 5 35 4 3 2 1 1 (8 分) P ? X ? 5? ? ? ? ? ? 7 6 5 4 35 3 2 6 3 1 所以 EX ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4? ? 5? ? 2 (10 分) 7 7 35 35 35 P? X ? 1? ?
19. 解: (1)记 f ? x ? ? ? x ? 1? ,
5

则 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? a5 ? f ?2? ? f ?1? ? 3 ? 2 (4 分)
5 5

(2)设 x ? 1 ? y ,则原展开式变为: ? y ? 2? ? a0 ? a1 y ? a 2 y ? ... ? a n y ,
n 2 n

.

则 a2 ? Cn 2
2

n?2

所以 bn ?

a2 ? n?n ? 1? (6 分) 2 n ?3

当 n ? 2 时, T2 ? 2, b2 ? 2 ,结论成立 假设 n ? k 时成立,即 Tk ? 那么 n ? k ? 1时,

k ?k ? 1??k ? 1? 3

Tk ?1 ? Tk ? bk ?1 ?

k ?k ? 1??k ? 1? ? ?k ? 1?k 3

? k ? 1 ? k ?k ? 1??k ? 2? ? k ?k ? 1?? ? 1? ? 3 ? 3 ?

?

?k ? 1???k ? 1? ? 1???k ? 1? ? 1? ,结论成立。 (9 分)
3 n?n ? 1??n ? 1? 。 (10 分) 3

所以当 n ? 2 时, Tn ?

20. 解: (1)设 0 ? x1 ? x2 ? 1 , 则 t1 ? t 2 ?
2 x1 x2 x1 1 ? x 2 ? x 2 1 ? x12 ? ? 2 2 1 ? x12 1 ? x 2 1 ? x12 1 ? x 2

?

?

?

??

?

?

?

?

?x1 ? x 2 ??1 ? x1 x 2 ?

?1 ? x ??1 ? x ?
2 1 2 2

(2 分)

因为 0 ? x1 ? x2 ? 1 ,所以 x1 ? x 2 ? 0 , 1 ? x1 x2 ? 0 ,所以 t1 ? t 2 (3 分) 所以 t ?

x 在 ?0, 1? 上单调递增。 (4 分) 1? x2
? ? 1? (5 分) 2? ?

(2)由(1)可知,当 x ? ?0, 1? 时, t ? ?0,

2 ? ? t ? 3a ? , t ? [0, a ) ? 2 ? 3 g ?t ? ?| t ? a | ?2a ? ? ? , 2 3 ? t ? a ? , t ? [ a, ? ? ) ? 3 ?
①若 a ?

1 2 ? 1? ,则 g ?t ? 在 ?0, ? 上单调递减, g ?t ? 的最大值为 3a ? (6 分) 2 3 ? 2? 1 ? 1? (7 分) , g ?t ? 在 [0, a) 上单调递减,在 ? a, ? 上单调递增, 2 ? 2?
7 2 1 ?1? ?1? , g ? ? ? a ? , g ?0? ? g ? ? ? 2a ? 6 2 3 ?2? ?2?

②若 0 ? a ?

且 g ?0 ? ? 3a ?

.

1 1 2 (8 分) ? a ? 时, g ?t ? 的最大值为 3a ? , 4 2 3 1 7 当 0 ? a ? 时, g ?t ? 的最大值为 a ? (9 分) 4 6
所以当

? 2 ?1 ? 3a ? , a ? ? , ? ? ? ? ? 3 ?4 ? (10 分) 综上, M ?a ? ? ? ?a ? 7 , a ? (0, 1 ] ? 6 4 ?
21. 解: f ? x ? 的定义域为 0 ? x ? 1, x ? 1 (1 分) (1) f ?? x ? ?

1 a x 2 ? ?a ? 2 ?x ? 1 ? ? (2 分) 2 x ? x ? 1?2 x? x ? 1?

由 f ??x ? ? 0 在 ? 0,
2

? ?

1? ? 内有解, e?

令 g ?x ? ? x ? ?a ? 2?x ? 1 ? ?x ? ? ??x ? ? ? , 不妨设 0 ? ? ?

1 1 ,则 ? ? ? e (3 分) e ?
?1? ?e? 1 a?2 (4 分) ? ?1 ? 0 , e e2

所以 g ?0? ? 1 ? 0, g ? ? ? 解得: a ? e ?

1 ? 2 (5 分) e

(2)由 f ?? x ? ? 0 得 0 ? x ? ? 或 x ? ? , 由 f ??x ? ? 0 得 ? ? x ? 1 或 1 ? x ? ? 所以 f ? x ? 在 ?0, ? ? 内递增,在 ?? , 1? 内递减, 在 ?1, ? ? 内递减,在 ?? , ? ? ? 内递增, (7 分) 所以 m ? f ?? ?, n ? f ?? ? 因为 ? ? ? ? a ? 2, ? ? ? ? 1, 所以 S ? m ? n ? f ?? ? ? f ?? ? ? ln ? ?

a a ? ln ? ? ? ?1 ? ?1

1 ? ?2 ln ? ? a ?

2 ? ?? ? ? ?
1

?

?? ? ?2 ln ? ? ? ?
1

1

?

(9 分)

记 h?? ? ? ?2 ln ? ? ? ?

?

, h??? ? ? ?

?

?1?

1

?2

? 0,

.

所以 h?? ? 在 ?0, ? ? ? 单调递减,所以 h?? ? ? h?e ? ? ?2 ? e ? 又当 ? ? ?? 时, h?? ? ? ?? 所以 S ? ? ? ?, ? 2 ? e ?

1 (11 分) e

? ?

1? ? (12 分) e?

.


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