【名师一号】届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练数列的概念及其函数特征理北师大版-精


计时双基练二十九

数列的概念及其函数特征
A 组 基础必做 )

1.下列公式可作为数列{an}:1,2,1,2,1,2,?的通项公式的是( A.an=1 C.an=2-?sin ?-1? +1 B.an= 2
n

? ?

nπ ?

? 2 ?
nπ ?

?-1? D.an= 2

n-1

+3

解析 由 an=2-?sin 答案 C

? ?

?可得 a1=1,a2=2,a3=1,a4=2,?。 2 ?
2

2.数列{an}的前 n 项积为 n ,那么当 n≥2 时,an=( A.2n-1 C. ?n+1?
2

)

B.n D.
2

2

n2
?n-1?
2

n

2

Tn n2 解析 设数列{an}的前 n 项积为 Tn,则 Tn=n ,当 n≥2 时,an= = 。 Tn-1 ?n-1?2
答案 D 3.已知数列{an},an=2n -10n+3(n∈N+),则它的最小项是( A.2 或 4 C.2 或 3 B.3 或 4 D.4
2

)

? 5?2 19 解析 an=2?n- ? - ,故当 n=2 或 3 时,an 最小。 ? 2? 2
答案 C 4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn+Sm=Sn+m(m,n∈N+)且 a1=6,那么 a10=( A.10 C.6 B.60 D.54 )

解析 由 Sn+Sm=Sn+m,得 S1+S9=S10,又由于 a10=S10-S9=S1=a1=6,故 a10=6。 答案 C 5.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=2an-1,则满足 ≤2 的正整数 n 的集合为( A.{1,2} C.{1,2,3} B.{1,2,3,4} D.{1,2,4}

an n

)

解析 因为 Sn=2an-1,所以当 n≥2 时,Sn-1=2an-1-1,两式相减得 an=2an-2an-1, 整理得 an=2an-1,所以数列{an}是公比为 2 的等比数列,又因为 a1=2a1-1,解得 a1=1, 故数列{an}的通项公式为 an=2
n-1

。而 ≤2,即 2

an n

n-1

≤2n,所以有 n=1,2,3,4。
1

答案 B 6.数列{an}满足 a1=2,an= A.2 C.3 解析 由 an=

an+1-1 ,其前 n 项积为 Tn,则 T2 016=( an+1+1
B.1 D.-6

)

an+1-1 1+an ,得 an+1= ,而 a1=2, an+1+1 1-an

1 1 则有 a2=-3,a3=- ,a4= ,a5=2, 2 3 故数列{an}是以 4 为周期的周期数列,且 a1a2a3a4=1, 所以 T2 016=(a1a2a3a4) =1 =1。 答案 B 7.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3-3×2 ,n∈N ,则 an=________。 解析 分情况讨论: ①当 n=1 时,a1=S1=3-3×2 =-3; ②当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3-3×2 )-(3-3×2 综合①②,得 an=-3×2 答案 -3×2
n-1 n-1 n n-1
1 504 504

n

*

)=-3×2

n-1





8.数列{an}满足:a1+3a2+5a3+?+(2n-1)·an=(n-1)·3 {an}的通项公式 an=________。

n+1

+3(n∈N+),则数列

解析 a1+3a2+5a3+?+(2n-3)·an-1+(2n-1)·an=(n-1)·3
n

n+1

+3,把 n 换成 n

-1 得,a1+3a2+5a3+?+(2n-3)·an-1=(n-2)·3 +3,两式相减得(2n-1)an=(n- 1)·3
n+1

-(n-2)·3 =(2n-1)·3 ,故 an=3 。
n

n

n

n

答案 3

9.在一个数列中,如果? n∈N ,都有 anan+1an+2=k(k 为常数),那么这个数列叫做等 积数列,k 叫做这个数列的公积。已知数列{an}是等积数列,且 a1=1,a2=2,公积为 8,则

*

a1+a2+a3+?+a12=________。
解析 依题意得数列{an}是周期为 3 的数列,且 a1=1,a2=2,a3=4,因此 a1+a2+a3 +?+a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28。 答案 28 10.数列{an}的通项公式是 an=n -7n+6。 (1)这个数列的第 4 项是多少? (2)150 是不是这个数列的项?若是这个数列的项,它是第几项? (3)该数列从第几项开始各项都是正数? 解 (1)当 n=4 时,a4=4 -4×7+6=-6。
2
2 2

(2)令 an=150,即 n -7n+6=150,n -7n-144=0。解得 n=16 或 n=-9(舍去), 即 150 是这个数列的第 16 项。 (3)令 an=n -7n+6>0,解得 n>6 或 n<1(舍)。 ∴从第 7 项起各项都是正数。 1 2 1 * 11.已知 Sn 为正项数列{an}的前 n 项和,且满足 Sn= an+ an(n∈N )。 2 2 (1)求 a1,a2,a3,a4 的值; (2)求数列{an}的通项公式。 解 1 2 1 * (1)由 Sn= an+ an(n∈N ),可得 2 2 1 2 1 2
2

2

2

a1= a2 1+ a1,解得 a1=1; S2=a1+a2= a2 2+ a2,解得 a2=2;
同理,a3=3,a4=4。 1 2 1 (2)Sn= an+ an,① 2 2 1 2 1 当 n≥2 时,Sn-1= an-1+ an-1,② 2 2 ①-②得(an-an-1-1)(an+an-1)=0。 由于 an+an-1≠0, 所以 an-an-1=1, 又由(1)知 a1=1, 故数列{an}是首项为 1,公差为 1 的等差数列,故 an=n。 B 组 培优演练 1.对于数列{an},“an+1>|an|(n=1,2,?)”是“{an}为递增数列”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当 an+1>|an|(n=1,2,?)时, ∵|an|≥an,∴an+1>an,∴{an}为递增数列。当{an}为递增数列时,若该数列为-2,0,1, 则 a2>|a1| 不成立,即知 an + 1>|an|(n= 1,2 ,?)不一定成立。故综上知,“an + 1>|an|(n = 1,2,?)”是“{an}为递增数列”的充分不必要条件。 答案 B 2.(2015·河北石家庄调研)如图,一个类似杨辉三角的数阵,则第 n(n≥2)行的第 2
3

1 2

1 2

)

个数为________。 1 3 3 5 6 5

7 11 11 7 9 18 22 18 9 ? 解析 由题意可知:图中每行的第二个数分别为 3,6,11,18,?,即 a2=3,a3=6,a4 =11,a5=18,?,∴a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,?,an-an-1=2n-3,∴累加得:

an-a2=3+5+7+?+(2n-3),∴an=n2-2n+3。
答案 n -2n+3
2

?7?n 则当 a 取得最大值时, 3. 已知数列{an}的通项公式为 an=(n+2)? ? , n 等于________。 n ?8?
解析 由题意知?
? ?an≥an-1, ?an≥an+1, ?
n-1

?7? ≥?n+1??7? ? ? ?8? ??n+2?? ?8? ? ? ? ?7? ≥?n+3??7? ? ?8? ? ??n+2?? ?8? ? ?
n n



解得? 。

? ?n≤6, ?n≥5。 ?

n+1

∴n=5 或 6。 答案 5 或 6 4.已知数列{an}中,an=1+ 1

a+2?n-1?

(n∈N ,a∈R,且 a≠0)。

*

(1)若 a=-7,求数列{an}中的最大项和最小项的值; (2)若对任意的 n∈N ,都有 an≤a6 成立,求 a 的取值范围。 解 (1)∵an=1+ 1
*

a+2?n-1?

(n∈N ,a∈R,且 a≠0),

*

1 又∵a=-7,∴an=1+ 。 2n-9 结合函数 f(x)=1+ 1 的单调性, 2x-9

可知 1>a1>a2>a3>a4,

a5>a6>a7>?>an>1(n∈N*)。
∴数列{an}中的最大项为 a5=2,最小项为 a4=0。

4

1 2 1 (2)an=1+ =1+ 。 a+2?n-1? 2-a n- 2 ∵对任意的 n∈N ,都有 an≤a6 成立, 1 2 结合函数 f(x)=1+ 的单调性, 2-a x- 2 2-a 知 5< <6,∴-10<a<-8。 2 故 a 的取值范围为(-10,-8)。
*

5


相关文档

2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练28数列的概念及其函数特征文北师大版
2017届高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练29数列的概念及其函数特征理北师大版
【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练29 数列的概念及其函数特征 理 北师大版
高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练数列的概念及其函数特征理北师大创新
【名师一号】2017届高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练28 数列的概念及其函数特征 文 北师大版
高考数学大一轮总复习第五章数列计时双基练数列的概念及其函数特征理北师大版讲义
电脑版