函数与方程(组)、不等式的联系

函数与方程(组) 、不等式的联系
万事万物都处于普遍联系之中,数学各知识之间也是如此.运用联系的观点来 认识一次函数、方程和不等式,对于提高大家的认知水平和解题能力是大有裨益 的. 一次函数和一元一次方程的联系 任何一个一元一次方程都可以化简成 ax+b=0(a≠0,a,b 为常数)的形式,其解恰 好就是一次函数 y=ax+b(a≠0,a,b 为常数)的函数值为 0 时,自变量 x 的取值,反映在 图象上,就是直线 y=ax+b 与 x 轴的交点横坐标. 例1 一次函数 y= ?
1 x+2 图象与 x 轴的交点 A 的坐标是 2

, 与y轴

的交点 B 的坐标是

.
1 x+2=0,将一次函 2

析解: 由于 x 轴上所有点的纵坐标都为 0,故令 y=0,即有 ?

数图象与 x 轴的交点问题转化为一元一次方程的问题.解得 x=2,因此点 A 的坐标 是(4,0).同理,令 x=0,得到一元一次方程 y=2,即点 B 的坐标是(0,2). 一次函数和一元一次不等式的联系 任何一个一元一次不等式都可以化简成 ax+b>0(或 ax+b<0)(a≠0,a,b 为常数) 的形式, 其解恰好就是一次函数 y=ax+b(a≠0,a,b 为常数)的函数值大于(或小于 0) 时,自变量 x 的取值范围,反映在图象上,就是直线 y=ax+b 在 x 轴上方的部分(或 x 轴下方的部分)对应的自变量 x 的取值范围. 例 2 一 次 函 数 y=2x-4 的 图 象 如 图 1 所 示 , 当 x 时,其在 x 轴的下方.
O x y

时,其函数值大于 0; 当 x

析解:令 y>0,即 2x-4>0,解不等式得 x>2;图象在 x 轴的下 方就是指 y<0,从而 2x-4<0,解不等式得 x<2. 一次函数和二元一次方程组的联系 任何一个二元一次方程都可以看作一次函数 ,反过来 , 任 何一个一次函数解析式都是二元一次方程,从而一次函数解析式----直线上点的坐 标就是二元一次方程的解 ;进一步说 ,任何二元一次方程组都对应两个一次函数 , 也就对应两条直线.从数的角度看,解方程组相当于求自变量为何值时两个函数的 值相等,以及求该函数值.反映在图象上, 解方程组相当于求两条直线的交点坐标.
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图1

例 3

如图 2,已知函数 y ? ax ? b 和 y ? kx 的图象

? y ? ax ? b 交于点 P, 则根据图象可得,关于 ? 的二元一次 ? y ? kx

方程组的解是

.

析解 : 求方程组的解实际上就是求两条直线交点的 坐标 . 从图 2 直接看出函数图象的交点 (-4,-2), 即关于
? x ? ?4, ? y ? ax ? b 的二元一次方程组的解是 ? ? ? y ? kx ? y ? ?2.
图2

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