立体几何初步空间几何与点线面考前冲刺专题练习(四)含答案人教版高中数学

高中数学专题复习
《立体几何初步空间几何与点线面》单元过关检 测
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1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明

评卷人 得分

一、选择题

1 . 如 图 , 在 正 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , P 为 对 角 线 BD1 的 三 等 分 点 , 则 P 到 各 顶
点的距离的不同取值有

D1 A1
DP

C1 B1
C

A

B

()

A.3 个 考北京卷(文))

B.4 个

C.5 个

D.6 个(2020 年高

2.正三棱柱侧面的一条对角线长为 2,且与底面成 45°角,则此三棱柱的体积 为( )

A. 6 2

B. 6

C. 6 6

D. 6 (2020 全国 3

4 文 3)

3 . 对 于 平 面 ? 和 共 面 的 直 线 m 、 n, 下 列 命 题 中 真 命 题 是

( )C

( A ) 若 m ? ?, m ? n, 则 n∥?

( B ) 若 m∥?,n∥?,则 m∥n

( C ) 若 m ? ?, n∥?,则 m∥n 等 , 则 m∥n ( 2 0 2 0 福 建 )

(D)若 m 、 n 与? 所成的角相

4.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正 方形,
且底面边长与各侧棱长相等,这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等.设四 棱锥、

三 棱 锥 、 三 棱 柱 的 高 分 别 为 h1 , h2 , h , 则 h1 : h2 : h ?

( ).

(A) 3 :1:1 (D) 3 :2: 3

(B) 3 :2:2

(C) 3:2: 2

5.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面α 及β 之外的两条不同直线,
给出四个论断:① m ? n ②α ?β ③ m ?β ④ n ?α
以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命 题:___________________.

6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为 6 和 4 的矩形,则它的体积为 ()

8 A.9 3

B.4 3

2 C.9 3

D.4

3



8 3

3

解析:分侧面矩形长、宽分别为 6 和 4 或 4 和 6 两种情况

7.下列命题中正确的有--------------------------------------------------------------------------------( )

①三点确定一个平面;②两两相交的三条直线必在同一平面内;③任意三点都不 共线的空间四点必共面;④空间三条相交于同一点的直线在同一平面内

(A) 1 个

(B) 2 个

(C) 3 个

(D) 0

8.已知直线 a 与平面 ? ,则在平面 ? 内必存在直线与直线 a -----------------------
-------------------------------------------------( )

(A)平行 (B)相交

(C)异面

(D)垂直

9 . 若 点 E、 F、 G、 H顺 次 为 空 间 四 边 形 ABCD 四 边 A B、 B C、 C、D D的A中 点 , 且 E G ? 3, F H? 4, 则 AC2 ? BD2 等 于 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-------------------( )

(A) 25

(B) 50

(C) 100

(D) 20

10.若对任意的长方体 A,都存在一个与 A等高的长方体 B ,使得 B 与 A的侧面 积之比和体积之比都等于 k ,则 k 的取值范围是( )

A. k ? 0

B. 0? k ?1

C. k ?1

D. k ?1

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

1 1 . 如 果 OA ‖ O1A1 , OB ‖ O1B1 , 那 么 ?AOB 与 ?A1O1B1
系)

(填关

12.有一个各条棱长均为 a 的正四棱锥形礼品(如图所示),现用一张正方形包 装纸将其完全包住,要求包装时不能剪裁,但可以折叠,则包装纸的最小边长应
为▲ .

13 .

设 平 面 ?,?, 直 线 a,b , 集 合

A ? ?与?垂 直 ?,的B ? ?平与?垂面 直 ?的, M平? ?与a面垂直的直线?,

N ? ?与b垂直的直线?, 给 出 下 列 命 题 :

① 若 A ? B ? ?, 则 ? // ?; ② 若 ? // ? , 则 A ? B ;

③ 若 a,b 为 异 面 直 线 , 则 M ? N ? ? ; ④ 若 a,b 相 交 , 则 M ? N;

其中不正确的命题序号是___ ★

.(1),(3),(4)

14 . 已 知 矩 形 相 邻 两 边 的 长 分 别 为
a和2a(a ? 0),用此矩形卷成圆柱,则所得的圆柱的体积为

1 5 . 已 知 直 线 a、b、a?、 b?, a b? A, a? ??b .A? 与ab 所 成 的 锐 角 ( 或 直 角 ) 为 ? , a? 与 b? 所 成 的 锐 角 ( 或 直 角 ) 为 ? ? , 则 a // a? 且 b // b? 是 ? ?? ? 的
_________________条件
16.在空间,给出如下命题:①垂直于同一条直线的两条直线平行;②四边形的

一边不可能既和它的邻边垂直,又和它的对边垂直;③两组对边相等的四边形是 平行四边形。其中正确的命题个数是_____个。

评卷人 得分

三、解答题

17 . 如 图 , 直 四 棱 柱

ABCD



中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD= ,AA1=3,E 为 CD 上一点,DE=1,EC=3

A1B1C1D1

(1)

证明:BE⊥平面 BB1C1C;

(2)

求点 B1 到平面 EA1C1 的距离(2020 年高考江西卷(文))

1 8 . 如 图 , 在 正 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 已 知 AA1 ? 6 , AB ? 2 , M , N 分 别 是 棱 BB1 , CC1上 的 点 , 且 BM ? 4 , CN ? 2 .

⑴ 求 异 面 直 线 AM 与 A1C1 所 成 角 的 余 弦 值 ;

⑵ 求 二 面 角 M ? AN? A1 的 正 弦 值 .

B

M

B1

C

N

C1

A

( 第 22 题

A1

图)

1 9 . 如 图 , 在 长 方 体 ABCD ? A1B1C1D1 中 , AA1 ? AD ? 1, AB ? 2, E 、 F 分 别

为 C1D1 、 A1D1 的 中 点 .
( 1 ) 求 证 : DE ?平 面 B CE; ( 2 ) 求 证 : AF // 平 面 B DE.
( 3 ) 能 否 在 面 BB1C 1C 内 找 一 点 G , 使 A F ? DG 若 能 , 请 找 出 所 有 可 能 的 位 置 并 证
明,若不能,请说明理由.

20.如图,以长方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A、C 及另两个顶点为顶点构造四面 体.

(1)若该四面体的四个面都是直角三角形,试写出一个这样的四面体(不要求

证明);
(2)我们将四面体中两条无公共端点的棱叫做对棱,若 该四面体的任一对对棱垂直,试写出一个这样的四面体 (不要求证明);
(3)若该四面体的任一对对棱相等,试写出一个这样的

D1
+ A1
D +

C1
+ B1
C +

四面体(不要求证明),并计算它的体积与长方体的体 A

B

积的比.

【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除

评卷人 得分

一、选择题

1.B 2.A 3.C 4.B 5. 若②③④则① 或若①③④则② 6.D

7. 8. 9. 10.
第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明

评卷人 得分

二、填空题

11. 12.()a 13. 14. 15. 16.0
评卷人 得分

三、解答题

17 . 解 .(1) 证 明 : 过 B 作 CD 的 垂 线 交 CD 于 F, 则
BF ? AD ? 2, EF ? AB ? DE ? 1, FC ? 2

在 Rt?BFE中,BE= 3 ,Rt?BFC中,BC= 6 .

在 ?BCE中,因为BE2 ? BC2=9=EC2 , 故 BE ? BC

由 BB1 ? 平面ABCD,得BE ? BB1,所以BE ? 平面BB1C1C

(2)

三棱锥E

?

A1

B1 C的 1 体积

V=1 3

A A1?

S = ?A1 B1 C1

2

在Rt?A1D1C1中,A1C1= A1D12 ? D1C12 =3 2 ,

同 理 , EC1= EC2 ? CC12 =3 2 ,EA1= AD2 ? ED2 ? AA12 =2 3

因 此 S?A1C1E ? 3 5 . 设 点 B 1 到 平 面 EA1C1 的 距 离 为 d , 则 三棱锥B1 ? EA1C1的体积

V=1 3

?

d

?

S = ?A1EC1

5d , 从 而

5d ?

2,d ?

10 5

1 8 . ⑴ 以 AC 的 中 点 为 原 点 O , 分 别 以 OA, OB所 在 直 线 为 x, z 轴 , 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 O ? x y (z 如 图 ) . 则 O(0,0,0) , A(1,0,0) , C(?1,0,0) , B(0,0, 3) , N(?1,2,0) , M (0, 4, 3) , A1(1,6,0) , C1(?1,6,0) .

所 以 AM ? (? 1, 4, 3,) A1C1 ? (?2,0,0) .

所 以 cos ? AM , A1C1 ??

AM AM

A1C1 A1C1

? 2

2 ? 5, 20 10

所 以 异 面 直 线 AM 与 A1C1 所 成 角 的 余 弦 值 为 5 .…………………………………………5 分
10 ⑵ 平 面 ANA1 的 一 个 法 向 量 为 m ? ( 0, 0,1.)

设 平 面 AMN的 法 向 量 为 n ? (x, y , z ), 因 为 AM ? (?1, 4, 3,) AN ? (?2, 2,0) ,



??n ?

?

AM

,



??? ?

x

+

4

y

+

3z ? 0, 令 x ?1, 则 n ? (1, 1?,

3.)

??n ? AN, ???2x + 2y ? 0,

所 以 c o s? m ,n ? ? m n ?? 3 ? ? 1 5 ,

mn 5

5

所以二面角

M ? ?A1 N的

正A 弦





1 . 0 ……………………………………………10 分 5

19.

20.(1)如四面体 A1-ABC 或四面体 C1-ABC 或四面体 A1-ACD 或四面体 C1ACD; ---4 分

(2)如四面体 B1-ABC 或四面体 D1-ACD; ---8 分

----------------------

(3)如四面体 A-B1CD1(3 分 ); ----11 分

---------------------

设 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 分 别 为 a, b, c , 则

abc? 4? 1 6

a

b

c ?

1

.---------14 分

abc

3


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