2016年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2016 年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷(理科)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 (i 是虚数单位)的虚部是( )

A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 2.已知全集 U=R,函数 y=ln(x﹣1)的定义域为 M,集合 N={x|x2﹣x<0},则下列结论 正确的是( ) A.M∩N=N B.M∩(?UN)=? C.M∪N=U D.M? (?UN) 3.设 a,b,c∈R,则“1,a,b,c,16 为等比数列”是“b=4”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知等差数列{an}满足:a1+a4+a7=2π,则 tan(a2+a6)的值为( ) A.﹣ B.﹣ C. D. )

5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 值为(

A.﹣1 B.

C.2

D.2016 ,侧面 PAB⊥底面 )

6.如图,已知三棱锥 P﹣ABC 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=

ABC,AB=PA=PB=2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是(

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A. ,1, B. ,1,1 C.2,1, D.2,1,1 7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是(



(注:结余=收入﹣支出) A.收入最高值与收入最低值的比是 3:1 B.结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D.前 6 个月的平均收入为 40 万元 8. B, C 的对边分别是 a、 b、 c, 在△ABC 中, 角 A, 若 b2+c2=2a2, 则角 A 的最大值为 ( A. B. C. D. =1(a>b>0)与双曲线 C2:x2﹣



9.已知椭圆 C1:

+

=1 有公共的焦点,C2 的一

条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则椭 圆 C1 的方程是( ) A. +2y2=1 B. + =1 C. + =1 D. +y2=1

10.已知平面向量 , , ,满足| |= ,则| |的最大值为( A. B.2 C. ) D.4

,| |=1,

? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为

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11.已知正三棱锥 P﹣ABC 底面边长为 6,底边 BC 在平面 α 内,绕 BC 旋转该三棱锥,若 某个时刻它在平面 α 上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是( )

A. (0,

] B. (0,

]∪[

,3]

C. (0,

] D. (0,

]∪[3,

]

12.设{an}是有穷数列,且项数 n≥2.定义一个变换 Ψ:将数列 a1,a2,a3,…,an 变成 a3, a4,…,an,an+1,其中 an+1=a1+a2 是变换所产生的一项.从数列 1,2,3…,22016 开始,反 复实施变换 Ψ,直到只剩下一项而不能变换为止,则变换所产生的所有项的和为( ) 2016 2015 4031 A. B.2 +2 C.2016 D.2016 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.二项式( 14. ( ﹣ ﹣ )6 展开式中常数项为 )dx= . .

15. 不等式组

所表示的平面区域为 D. 若直线 y=a (x+1) 与区域 D 有公共点,

则实数 a 的取值范围是 16.已知函数 f(x)= 根 x1、x2,则 x1+x2 的最小值为

. ,若关于 P 的方程 f[f(x)]+m=0 恰有两个不等实 .

三.解答题:本大题共小题,共分.前小题每题满分分,最后一道选做题满分 F'(x) 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内. 17.已知函数 f(x)=sinωx﹣ cosωx+1(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 6π. (1)求 ω 的值; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α﹣ )= ,f(3β+π)= ,求 cos(α+β)的值.

18.2016 年全国高考将有 25 个省市使用新课标全国卷,其中数学试卷最后一题为选做题, 即要求考生从选修 4﹣1(几何证明选讲) 、选修 4﹣4(坐标系与参数方程) 、选修 4﹣5(不 等式选讲)的三道题中任选一道题作答.某数学老师教了高三 A、B 两个理科班共 100 名学 生,为了了解所教学生对这三道题的选做情况,他对一次数学模拟考试进行了统计,结果如 表所示: 课程 选修 4﹣ 选修 4﹣ 选修 4﹣
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人数 班级 A B

1 10 10

4 a 20

5 15 b .

若从 100 名学生中随机抽取一名,他选做选修 4﹣4 的概率为

(Ⅰ)求 a、b 的值,分别计算两个班没有选选修 4﹣5 的概率; (Ⅱ)若从 A、B 两班分别随机抽取 2 名学生,对其试卷的选做题进行分析,记 4 名学生中 选做 4﹣1 的人数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望(视频率为概率,例如:A 班选 做 4﹣1 的每个学生被抽取到的概率均为 ) . 19.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD= BD 相交于 O,OF⊥平面 ABCD,BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ) 求证:EF∥BC; (Ⅱ)求面 AOF 与平面 BCEF 所成锐二面角的正弦值. ,对角线 AC 与

20.已知曲线 C 上任意一点 P 到点 F(1,0)的距离比到直线 l:x=﹣2 的距离小 1. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)若斜率 k>2 的直线 l 过点 F 且交曲线 C 为 A、B 两点,当线段 AB 的中点 M 到直线 l′:5x+12y+a=0(a>﹣5)的距离为 ,求 a 的取值范围.

21.已知函数 f(x)=6x﹣x6,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,求曲线在点 P 处的切线方程; (Ⅲ)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1,x2 且 x1<x2,求证:x2﹣x1≤6 . ﹣

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE,BE,∠APE 的平分 线与 AE,BE 分别交于 C,D,其中∠APE=30°. (1)求证: ? = ;

(2)求∠PCE 的大小.

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[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2asinθ (a>0) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且 (t 为参数) .

.求实数 a 的取值范围?

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=m﹣|x+1|,m∈R,且 f(x﹣1)≥0 的解集为[﹣2,2]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求 z=a+2b+3c 的最小值.

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2016 年江西省重点中学协作体高考数学二模试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.复数 (i 是虚数单位)的虚部是( )

A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.1 【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数 【解答】解: 则复数 故选:D. 2.已知全集 U=R,函数 y=ln(x﹣1)的定义域为 M,集合 N={x|x2﹣x<0},则下列结论 正确的是( ) A.M∩N=N B.M∩(?UN)=? C.M∪N=U D.M? (?UN) 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】分别解出关于 M,N 的范围,然后判断即可. 【解答】解:由 x﹣1>0,解得:x>1, 故函数 y=ln(x﹣1)的定义域为 M=(1,+∞) , 2 由 x ﹣x<0,解得:0<x<1, 故集合 N={x|x2﹣x<0}=(0,1) , ∴?UN={x|x≥1 或 x≤0}, ∴M? (?UN) , 故选:D. 3.设 a,b,c∈R,则“1,a,b,c,16 为等比数列”是“b=4”的( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ) = , ,则答案可求.

(i 是虚数单位)的虚部是:1.

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先根据数列的第一项和第五项的值,求得公比 q,进而通过等比数列的通项公式求 得第三项 b,再根据充分必要的条件的定义判断即可. 【解答】解:依题意可知 a1=1,a5=16, ∴ =q4=16,

∴q2=4, ∴b=a1q2=4,
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则“1,a,b,c,16 为等比数列”可以推出“b=4”, 但由 b=4 不能推出“1,a,b,c,16 为等比数列”, 故选:A. 4.已知等差数列{an}满足:a1+a4+a7=2π,则 tan(a2+a6)的值为( A.﹣ B.﹣ C. D. )

【考点】等差数列的性质. 【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a4,再由 a2+a6=2a4 即可得到 tan(a2+a6)的值. 【解答】解:在等差数列{an}中,由 a1+a4+a7=2π,得 3a4=2π, ∴tan(a2+a6)=tan2a4=tan 故选:D. 5.某程序框图如图所示,该程序运行后输出的 S 值为( ) =tan . ,

A.﹣1 B.

C.2

D.2016

【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图,进行运行,得到 S 的取值具备周期性,利用周期即可得到程序终 止的条件,即可得到结论. 【解答】解:模拟执行程序,可得 S=2,i=1 满足条件 i≤2016,执行循环体,S= 满足条件 i≤2016,执行循环体,S= =﹣1,i=2, = ,i=3,

满足条件 i≤2016,执行循环体,S=

=2,i=4,

… ∴S 的取值具备周期性,周期数为 3,由于 2016=672×3, ∴当 k=2016 时,满足条件,此时与 i=1 时,输出的结果相同,即 S=2,k=2017,
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当 k=2017 时,不满足条件 k≤2016,此时输出 S=2. 故选:C.

6.如图,已知三棱锥 P﹣ABC 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB=

,侧面 PAB⊥底面 )

ABC,AB=PA=PB=2.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸 x,y,z 分别是(

A.

B. ,1,1 C.2,1, D.2,1,1 ,1, 【考点】简单空间图形的三视图. 【分析】根据题意,结合三视图的特征,得出 x 是等边△PAB 边 AB 上的高,y 是边 AB 的 一半,z 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的中线,分别求出它们的大小即可. 【解答】解:∵三棱锥 P﹣ABC 的底面是等腰直角三角形,且∠ACB= 侧面 PAB⊥底面 ABC,AB=PA=PB=2; ∴x 是等边△PAB 边 AB 上的高,x=2sin60°= y 是边 AB 的一半,y= AB=1, z 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的中线,z= AB=1; ∴x,y,z 分别是 故选:B. ,1,1. ,



7.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是(



(注:结余=收入﹣支出)
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A.收入最高值与收入最低值的比是 3:1 B.结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D.前 6 个月的平均收入为 40 万元 【考点】函数的图象与图象变化. 【分析】根据折现统计图即可判断各选项. 【解答】解:由图可知,收入最高值为 90 万元,收入最低值为 30 万元,其比是 3:1,故 A 正确, 由图可知,结余最高为 7 月份,为 80﹣20=60,故 B 正确, 由图可知,1 至 2 月份的收入的变化率为与 4 至 5 月份的收入的变化率相同,故 C 正确, 由图可知,前 6 个月的平均收入为 (40+60+30+30+50+60)=45 万元,故 D 错误, 故选:D. 8. B, C 的对边分别是 a、 b、 c, 在△ABC 中, 角 A, 若 b2+c2=2a2, 则角 A 的最大值为 ( A. B. C. D. )

【考点】三角形中的几何计算. 【分析】由 b2+c2=2a2 求出 a2,由余弦定理求出 cosA,代入化简后由不等式求出 cosA 的范 围,由 A 的范围和余弦函数的性质求出 A 的范围,即可求出 A 的最大值. 【解答】解:由 b2+c2=2a2,得 a2= (b2+c2) ,

∴由余弦定理得,cosA=

=





当且仅当 b=c 时取等号,则 cosA ∵0<A<π,∴0<A≤ 故选:C.

, ,

,则角 A 的最大值是

9.已知椭圆 C1:

+

=1(a>b>0)与双曲线 C2:x2﹣

=1 有公共的焦点,C2 的一

条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则椭 圆 C1 的方程是( ) A. +2y2=1 B. + =1 C. + =1 D. +y2=1

【考点】椭圆的简单性质. 【分析】双曲线 C2:x2﹣ =1 的焦点(± , 0) ,可得 a2﹣b2=5.取 C2 的一条渐近线 , , 可得|MN|2=4 ( + ) . 再

y=2x, N. 与椭圆相交于点 M, 与椭圆方程联立解得:
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利用以 C1 的长轴(2a)为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分,即可 得出. 【解答】解:双曲线 C2:x2﹣ =1 的焦点(± ,0) ,

∴a2﹣b2=5. 取 C2 的一条渐近线 y=2x,与椭圆相交于点 M,N. 联立 ,解得 = , = ,

∴|MN|2=4(

+

)=



∵以 C1 的长轴(2a)为直径的圆相交于 A、B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等分, ∴ = ×(2a)2,与 a2﹣b2=5 联立.

解得 b2=5,a2=10. ∴椭圆 C1: 故选:C. 10.已知平面向量 , , ,满足| |= ,则| |的最大值为( A. B.2 C. ) D.4 ,| |=1, ? =﹣1,且 ﹣ 与 ﹣ 的夹角为 =1.

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】根据条件便可得出向量 与 的夹角为 并连接 AC,BC,这样由此可得到 点共圆,从而当 OC 为圆的直径时 最大.并且可以得到 , 这样便可得出 AC= OC 的值,这样即可得出 【解答】解:根据条件, ∴ ∴向量 夹角为 ; ;
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,然后可作



,这便说明 O,A,C,B 四

, 从而在 Rt△AOC 中可以求出

的最大值. ;

如图,作



,连接 AC,BC,则:

; ∴ 又 ; ;

∴O,A,C,B 四点共圆; ∴当 OC 为圆的直径时, ∴此时 ,

最大; , ;





∴ 整理得 2cos∠AOC=sin∠AOC; ∴tan∠AOC=2; ∴ ; ∴ ∴ ; . ;



即 的最大值为 故选:C.

11.已知正三棱锥 P﹣ABC 底面边长为 6,底边 BC 在平面 α 内,绕 BC 旋转该三棱锥,若 某个时刻它在平面 α 上的正投影是等腰直角三角形,则此三棱锥高的取值范围是( )

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A. (0,

] B. (0,

]∪[

,3]

C. (0,

] D. (0,

]∪[3,

]

【考点】棱锥的结构特征. 【分析】利用选择题的特点,借助题中答案的端点值判断,当△PBC 在平面 α 内时,它在 平面 α 上的正投影是等腰直角三角形,再求出 P 不在平面 α 内时的部分范围,结合选项得 答案. 【解答】解:设正三棱锥 P﹣ABC 的高为 h, 在△ABC 中,设其中心为 O,BC 中点为 E,则 OE= × 当 h= 时,PE= ,PB= = , ,△PBC 为等腰直角三角形,即

当△PBC 在平面 α 内时符合, P 不在平面 α 内时,设 p 在 α 内的投影为 P',PP'=d,∵△P'BC 为等腰直角三角形,故 P'E=3 ? PE= 又 PE= >3, = >3,

∴h2>6,∴h> . 由选项可知 B 符合, 故选:B. 12.设{an}是有穷数列,且项数 n≥2.定义一个变换 Ψ:将数列 a1,a2,a3,…,an 变成 a3, a4,…,an,an+1,其中 an+1=a1+a2 是变换所产生的一项.从数列 1,2,3…,22016 开始,反 复实施变换 Ψ,直到只剩下一项而不能变换为止,则变换所产生的所有项的和为( ) 2016 2015 4031 A. B.2 +2 C.2016 D.2016 【考点】数列的求和. 【分析】利用 Ψ 变换的意义,从数列 1,2,3,…,22016 开始,反复实施变换 Ψ22015 次得 到:1+2,3+4,…,+22016;…依此类推,反复实施变换 Ψ22016﹣2015 次得到:1+2+3+…+22015, ++…+,再经过一次 η 变换即可得到 1+2+3+…+22016, 因为经过每一次 Ψ 变换得到所有项的和 2015 4031 2015 2016 为2 +2 ,共需要经过 1+2+…+2 +1=2 次 Ψ 变换,即可得到答案. 2016 【解答】解:从数列 1,2,3,…,2 开始,反复实施变换 Ψ22015 次得到:1+2,3+4,…, +22016; 对上述数列反复实施变换 Ψ22014 次得到 1+2+3+4,5+6+7+8,…,+++22016; … 依此类推,反复实施变换 Ψ22016﹣2015 次得到:1+2+3+…+22015,++…+, 再经过一次 Ψ 变换即可得到 1+2+3+…+22016,
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∵经过每一次 Ψ 变换得到所有项的和都为 =22015+24031, 共需要经过 1+2+…+22015+1= 则变换所产生的所有项的和为 2016. 故选:C. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.二项式( ﹣ )6 展开式中常数项为 60 . 次 Ψ 变换.

【考点】二项式定理的应用. 【分析】先求得二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 0,求得 r 的值,即可求得 常数项的值. 【解答】解:二项式( 令 ﹣ )6 的展开式的通项公式为 Tr+1= ?22=60, ?(﹣2)r? ,

=0,求得 r=2,故展开式中常数项为

故答案为:60.

14.

( ﹣

)dx=

ln2﹣



【考点】定积分. 【分析】求出被积函数的原函数,然后分别代入积分上限和下限作差得答案. 【解答】解: 故答案为: ( ﹣ . )dx= = .

15. 不等式组

所表示的平面区域为 D. 若直线 y=a (x+1) 与区域 D 有公共点,

则实数 a 的取值范围是



【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合进行求解 即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域图示: 因为 y=a(x+1)过定点 C(﹣1,0) . 当 a≤0 时,直线 y=a(x+1)与区域 D 有公共点,满足条件. 当 a>0 时,当直线 y=a(x+1)过点 A 时,由公共点,

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,即 A(3,3) ,

代入 y=a(x+1)得 4a=3,a= , 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点. 此时 0<a≤ . 综上所述,a≤ . 故答案为: .

16.已知函数 f(x)=

,若关于 P 的方程 f[f(x)]+m=0 恰有两个不等实

根 x1、x2,则 x1+x2 的最小值为 1﹣ln2 . 【考点】函数的零点与方程根的关系. 【分析】可判断 f(x)<0 恒成立;从而化简方程为 f(x)=﹣lnm,从而作图辅助,可知存 在实数 a(a≤﹣1) ,使﹣2x1=a=﹣ 求导,从而确定最值. 【解答】解:∵f(x)= ∴f[f(x)]=﹣e﹣f(x) , ∵f[f(x)]+m=0, ∴﹣e﹣f(x)+m=0,即 f(x)=﹣lnm; 作函数 f(x)= ,y=﹣lnm 的图象如下, ,∴f(x)<0 恒成立; ,从而可得 x1+x2=﹣ ﹣ln(﹣a) ,再构造函数,

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结合图象可知,存在实数 a(a≤﹣1) ,使﹣2x1=a=﹣ 故 x1+x2=﹣ ﹣ln(﹣a) , 令 g(a)=﹣ ﹣ln(﹣a) ,则 g′(a)=﹣ 故当 a=﹣2 时,x1+x2 有最大值 1﹣ln2; 故答案为:1﹣ln2. ,



三.解答题:本大题共小题,共分.前小题每题满分分,最后一道选做题满分 F'(x) 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答应写在答题卡上的指定区域内. 17.已知函数 f(x)=sinωx﹣ cosωx+1(其中 ω>0,x∈R)的最小正周期为 6π. (1)求 ω 的值; (2)设 α,β∈[0, ],f(3α﹣ )= ,f(3β+π)= ,求 cos(α+β)的值.

【考点】三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 【分析】 (1)首先根据三角函数的恒等变换把函数关系式变形成正弦型函数,进一步利用周 期求出函数关系式. (2)根据(1)的结论,利用关系变换求出对应的 sin (α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ 的值. 【解答】解: (1)函数 f(x)=sinωx﹣ 由于:函数的最小正周期为 6π. 所以: 解得:ω= (2)由(1)知:f(x)=2sin( x﹣ =
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,最后求出 cos

cosωx+1=2sin(ωx﹣

)+1

)+1

所以:

所以:sin α,β∈[0, 所以:sin ],根据同角三角函数恒等式, ,

所以:cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ=﹣

18.2016 年全国高考将有 25 个省市使用新课标全国卷,其中数学试卷最后一题为选做题, 即要求考生从选修 4﹣1(几何证明选讲) 、选修 4﹣4(坐标系与参数方程) 、选修 4﹣5(不 等式选讲)的三道题中任选一道题作答.某数学老师教了高三 A、B 两个理科班共 100 名学 生,为了了解所教学生对这三道题的选做情况,他对一次数学模拟考试进行了统计,结果如 表所示: 课程 选修 4﹣ 选修 4﹣ 选修 4﹣ 人数 1 4 5 班级 A 10 a 15 B 10 20 b 若从 100 名学生中随机抽取一名,他选做选修 4﹣4 的概率为 .

(Ⅰ)求 a、b 的值,分别计算两个班没有选选修 4﹣5 的概率; (Ⅱ)若从 A、B 两班分别随机抽取 2 名学生,对其试卷的选做题进行分析,记 4 名学生中 选做 4﹣1 的人数为随机变量 X,求 X 的分布列和数学期望(视频率为概率,例如:A 班选 做 4﹣1 的每个学生被抽取到的概率均为 ) . 【考点】离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 【分析】 (Ⅰ)从 100 名学生中随机抽取一名,他选做选修 4﹣4 的概率为 ,由此列出方

程级求出 a,从而能求出 b,进而能求出 A 班没有选做选修 4﹣5 的概率和 B 班没有选做选 修 4﹣5 的概率. (Ⅱ)由题意知,A、B 两班每人选选修 4﹣1 的概率均为 ,随机变量 X 服从二项分布 X~ B(4, ) ,由此能求出 X 的分布列和数学期望. 【解答】解: (Ⅰ)∵从 100 名学生中随机抽取一名,他选做选修 4﹣4 的概率为 ∴由题意,得: ,解得 a=25, ,

∴b=100﹣(15+25+10+10+20)=20,
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A 班没有选做选修 4﹣5 的概率 B 班没有选做选修 4﹣5 的概率 p2= = .



(Ⅱ)由题意知,A、B 两班每人选选修 4﹣1 的概率均为 , ∴随机变量 X 服从二项分布,即 X~B(4, ) , ∴P(X=i)= ∴X 的分布列为: X 0 P ∴ . ,i=0,1,2,3,4,

1

2

3

4

19.如图,在五面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 为菱形,且∠BAD= BD 相交于 O,OF⊥平面 ABCD,BC=CE=DE=2EF=2. (Ⅰ) 求证:EF∥BC; (Ⅱ)求面 AOF 与平面 BCEF 所成锐二面角的正弦值.

,对角线 AC 与

【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的性质. 【分析】 (Ⅰ)由 AD∥BC,得 BC∥面 ADEF,由此能证明 EF∥BC. (Ⅱ)以 O 为坐标原点,OA,OB,OF 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系,由 此能求出面 AOF 与面 BCEF 所成的锐二面角的正弦值. 【解答】 (本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)∵四边形 ABCD 为菱形 ∴AD∥BC,且 BC?面 ADEF,AD? 面 ADEF, ∴BC∥面 ADEF,且面 ADEF∩面 BCEF=EF, … ∴EF∥BC. 解: (Ⅱ)∵FO⊥面 ABCD,∴FO⊥AO,FO⊥OB 又∵OB⊥AO,以 O 为坐标原点,OA,OB,OF 分别为 x 轴, y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系, 取 CD 的中点 M,连 OM,EM.易证 EM⊥平面 ABCD. 又∵BC=CE=DE=2EF=2,得出以下各点坐标: B(0,1,0) ,C(﹣ ,0,0) ,D(0,﹣1,0) ,
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F(0,0, 向量 =(﹣

) ,E(﹣ , ,

,﹣ , ) ,向量

) , =(﹣ ,﹣1,0) ,向量 , ,

设面 BCFE 的法向量为:

,得到





时,

=(﹣1,

,1) , ,

面 AOF 的一个法向量

设面 AOF 与面 BCEF 所成的锐二面角为 θ, 则 cosθ= = = ,∴sinθ= .

故面 AOF 与面 BCEF 所成的锐二面角的正弦值为

.…

20.已知曲线 C 上任意一点 P 到点 F(1,0)的距离比到直线 l:x=﹣2 的距离小 1. (Ⅰ)求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)若斜率 k>2 的直线 l 过点 F 且交曲线 C 为 A、B 两点,当线段 AB 的中点 M 到直线 l′:5x+12y+a=0(a>﹣5)的距离为 ,求 a 的取值范围.

【考点】轨迹方程. 【分析】 (Ⅰ)由已知得:P 到点 F(1,0)的距离比到直线 l:x=﹣1 的距离相等,由抛物 线的定义得曲线 C 为抛物线,即可求曲线 C 的轨迹方程; (Ⅱ)联立直线方程与抛物线方程,消去 y,得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0,利用线段 AB 的 中点 M 到直线 l′:5x+12y+a=0(a>﹣5)的距离为 ,用 k 表示 a,即可求 a 的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)由已知得:P 到点 F(1,0)的距离比到直线 l:x=﹣1 的距离相等
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∴由抛物线的定义得曲线 C 为抛物线,

=1

…4 分 ∴轨迹方程为:y2=4x. (Ⅱ)由已知得直线 l:y=k(x﹣1) (k>2) 联立直线方程与抛物线方程,消去 y,得 k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) 、M(x0,y0) , 则 ,∴

于是点 M 到直线 l′的距离为





由 k>2 及 a>﹣5 得: 即 a=﹣ ﹣ ﹣4=﹣10 +

由 k>2 知 < ∴﹣ <a<﹣4

∴由 a>﹣5 得:a 的取值范围为(﹣5,﹣4) . …12 分 21.已知函数 f(x)=6x﹣x6,x∈R. (Ⅰ)求函数 f(x)的极值; (Ⅱ)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,求曲线在点 P 处的切线方程; (Ⅲ)若方程 f(x)=a(a 为实数)有两个实数根 x1,x2 且 x1<x2,求证:x2﹣x1≤6 . 【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (Ⅰ)求出 f(x)的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出函 数的极值即可; (Ⅱ)设出 P 点的坐标,求出坐标,代入切线方程即可; (Ⅲ)设 设方程 h(x)=a 的根为 ,令 F(x)=f(x)﹣g(x) ,设方程 g(x)=a 的根为 ,根据函数的单调性求出 x2﹣x1≤ ﹣ , ﹣

,从而证出结

论. 【解答】解: (Ⅰ)由已知得:f′(x)=6(1﹣x5) 由 f′(x)=0 得:x=1 又 当 x<1 时,f′(x)>0,f(x)单调递增, 当 x>1 时,f′(x)<0,f(x)单调递减, ∴当 x=1 时 f(x)取得极大值,极大值为 f(1)=5,无极小值.…
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(Ⅱ)设 P(x0,0) ,则

,f'(x0)=﹣30, , …

曲线 f(x)在点 P 处的切线方程为: 即 曲线在点 P 处的切线方程为: (Ⅲ)设 即

,令 F(x)=f(x)﹣g(x) ,则 F'(x)=f'(x)+30

由于 f′(x)=6﹣6x5 在 R 单调递减,故 F′(x)在 R 单调递减,又∵F′(x0)=0, ∴当 x∈(﹣∞,x0)时 F'(x)>0,当 x∈(x0,+∞)时,F′(x)<0, ∴F(x) 在(﹣∞,x0)单调递增,在(x0,+∞)单调递减, ∴? x∈R,F(x)≤F(x0)=0,即? x∈R,都有 f(x)≤g(x) ; 设方程 g(x)=a 的根为 ,∴ = ﹣ . )

∵g(x)在 R 单调递减,且 g(x2)≥f(x2)=a=g( ∴x2< ,

设曲线 y=f(x) 在点原点处的切线方程为:y=h(x) ,则易得 h(x)=6x, 6 ? x∈R,有 f(x)﹣h(x)=﹣x ≤0,即 f(x)≤h(x) , 设方程 h(x)=a 的根为 ,则 = , )=a=f(x1)≤h(x1) ,

∵h(x)在 R 单调递增,且 h( ∴ ≤x1 ﹣ ﹣ . =( ﹣

∴x2﹣x1≤ 即 x2﹣x1≤

)﹣ =

﹣ ,

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,过点 P 作圆 O 的割线 PBA 与切线 PE,E 为切点,连接 AE,BE,∠APE 的平分 线与 AE,BE 分别交于 C,D,其中∠APE=30°. (1)求证: ? = ;

(2)求∠PCE 的大小.

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【考点】与圆有关的比例线段;平行线分线段成比例定理;弦切角. 【分析】 (1)由题意可知,∠EPC=∠APC,∠PEB=∠PAC,从而△PED∽△PAC,由此能 证明 .

(2)由∠EPC=∠APC,∠PEB=∠PAC,得∠CDE=∠ECD,由此能求出∠PCE 的大小. 【解答】 (本小题满分 10 分) (1)证明:由题意可知,∠EPC=∠APC,∠PEB=∠PAC, 则△PED∽△PAC,则 又 ,则 , .

(2)解:由∠EPC=∠APC,∠PEB=∠PAC, 得∠CDE=∠ECD, 在△ECD 中,∠CED=30°, ∴∠PCE=75°. [选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ρ=2asinθ (a>0) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的 正半轴建立平面直角坐标系,设直线 l 的参数方程为 (t 为参数) .

(Ⅰ)求圆 C 的标准方程和直线 l 的普通方程; (Ⅱ)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,且 .求实数 a 的取值范围? 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)利用极坐标方程进行转化即可求圆 C 的标准方程,消去参数即可求直线 l 的 普通方程; (Ⅱ)利用直线和圆相交的弦长公式进行转化求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)∵ρ=2asinθ (a>0) . 2 ∴ρ =2aρsinθ, 即 x2+y2=2ay,即 x2+(y﹣a)2=a2, (a>0) . 2 2 2 则圆 C 的标准方程为 x +(y﹣a) =a , (a>0) . 由 ,消去参数 t 得 4x﹣3y+5=0,

即直线 l 的普通方程为 4x﹣3y+5=0; (Ⅱ)由圆的方程得圆心 C(0,a) ,半径 R=a,

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则圆心到直线的距离 d= ∵ ∴2 . ≥ a,



即 a2﹣d2≥ a2, 则 d2≤ 即 d≤ , 则 则﹣ ≤ ≤ , ≤ , ,







≤a≤10.

即实数 a 的取值范围是

≤a≤10.

[选修 4-5:不等式选讲] 24.已知函数 f(x)=m﹣|x+1|,m∈R,且 f(x﹣1)≥0 的解集为[﹣2,2]. (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)若 a,b,c∈R+,且 + + =m,求 z=a+2b+3c 的最小值.

【考点】柯西不等式在函数极值中的应用. 【分析】 (Ⅰ)由条件可得 f(x﹣1)=m﹣|x|,故有 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣2,2],即可 求出 m 的值. (Ⅱ)由柯西不等式得 z=a+2b+3c=(a+2b+3c) ( + + )

,即可求 z=a+2b+3c 的最小值. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x﹣1)=m﹣|x|,f(x﹣1)≥0 等价于|x|≤m, 由|x|≤m 有解,得 m≥0,且其解集为{x|﹣m≤x≤m}. 又 f(x﹣1)≥0 的解集为[﹣2,2],故 m=2.…5 分 (Ⅱ)由(1)知 + + =2,又 a,b,c∈R+,由柯西不等式得 + ) (当且仅当 a= ,b= ,c= 时取等号)
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z=a+2b+3c=(a+2b+3c) ( +

∴z=a+2b+3c 的最小值为 .…10 分

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2016 年 9 月 4 日

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