第一章§4不等式的证明第3课时 学案 高中数学选修4-5 北师大版

第 3 课时 几何法、反证法 1.了解几何法的证明过程,并会用几何法证明简单的不等式. 2.掌握反证法,并会用反证法证明不等式. 1.几何法 通过构造几何图形,利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为______. 【做一做 1】已知 x,y,z∈(0,1).求证:x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 2.反证法 反证法证不等式是:先假设所要证的不等式不成立,也就是说不等式的反面成立,以此 为出发点,结合已知条件,进行推理论证,最后推出矛盾的结果,从而断定假设错误,因而 确定要证的不等式成立. 它的步骤是: (1)作出否定____的假设; (2)进行推理, 导出____; (3)否定假设, 肯定____. 1 1 【做一做 2】如果 a>b>0,证明 2< 2. a b 答案: 1.几何法 【做一做 1】分析:构造一个边长为 1 的正三角形,利用三角形的面积关系来证明. 证明:如图,构造正三角形 ABC,设其边长为 1,BD=x,AF=y,CE=z,则根据面积 关系 S△ABC>S△BDF+S△DCE+S△AEF, 得 1· 1· sin 60° >x(1-y)sin 60° +y(1-z)sin 60° +z(1-x)sin 60° . 整理,得 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)<1. 即得证. 2.(1)结论 (2)矛盾 (3)结论 1 1 【做一做 2】分析:先假设 2≥ 2成立,从假设出发,推出矛盾. a b 2 2 1 1 1 1 b -a 证明:假设 2≥ 2,则 2- 2= 2 2 ≥0. a b a b ab 2 2 2 2 ∵a>b>0,∴a b >0,b -a =(b+a)(b-a)≥0. ∵a>b>0,∴b+a>0, ∴b-a≥0,即 b≥a. 这与已知 a>b 矛盾. 1 1 ∴假设不成立,即 2< 2成立. a b 1.反证法中的数学语言 剖析:反证法适宜证明“存在性问题”,“唯一性问题”,带有“至少有一个”或“至多有一 个”等字样的问题,或者说“正难则反”,直接证明有困难时,常采用反证法,下面列举一些 常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设. 常见 至少有 至多有 唯一 不是 全 都是 词语 一个 一个 一个 否定 一个也 有两个或 没有或有 是 不全 不都是 假设 没有 两个以上 两个以上 对数学语言的否定假设要准确,以免造成原则性的错误,有时在使用反证法时,对假设 的否定也可以举一些特例来说明矛盾,尤其在一些选择题中,更是如此. 2.用反证法证明不等式 剖析:(1)用反证法证明,就是从结论的反面出发,要求结论反面的情况只有有限多种, 然后证明这种反面的结论都是不可能的, 是与已知条件、 已知事实或已证明过的定理相矛盾 的. (2)要证不等式 M>N,先假设 M≤N,由题设及其他性质推出矛盾,从而肯定 M>N 成 立.凡涉及的证明不等式为否定性命题,唯一性命题或是含“至多”、“至少”等字句时,可考 虑使用反证法. (3)用反证法证明不等式要把握三点: ①必须先否定结论,对于结论的反面出现的多种可能要逐一论证,缺少任何一种可能, 证明都是不完全的. ②反证法必须从否定结论进行推理, 且必须根据这一条件进行论证; 否则, 仅否定结论, 不从结论的反面出发进行论证,就不是反证法. ③推导出来的矛盾可以是多种多样的,有的与已知条件相矛盾,有的与假设相矛盾,有 的与定理、公理相违背,有的与已知的事实相矛盾等等,但推导出的矛盾必须是明显的. 题型一 用几何法证明不等式 【例 1】已知 a>0,b>0,c>0,求证: a2-ab+b2+ b2-bc+c2≥ a2+ac+c2, 1 1 1 当且仅当 = + 时取等号. b a c 分析:从三个根式的结构特点,容易联想到余弦定理,于是可构造图形,利用余弦定理 来证明. 反思: 利用几何法证明不等式的关键是构造几何图形, 先要研究所证不等式两边的结构 特点, 再把其中的字母当作图形的边长, 最后用几何图形中的不等关系来表示所要证明的不 等式. 题型二 用反证法证明不等式 1+b 1+a 【例 2】已知 a>0,b>0,且 a+b>2.求证: , 中至少有一个小于 2. a b 分析:由于题目的结论比较复杂,讨论起来比较繁琐,宜采用反证法. 反思:从“正难则反”的角度考虑,即要证明不等式 A>B,先假设 A≤B.由题设及其他 性质推出矛盾,从而肯定 A>B.凡涉及到证明不等式为否定命题,唯一性命题式含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,可以考虑用反证法. 答案: 【例 1】证明:如图,作 OA=a,OB=b,OC=c,∠AOB=∠BOC=60° ,则∠AOC= 2 2 2 2 2 2 120° ,AB= a -ab+b ,BC= b -bc+c ,AC= a +ac+c . 由几何知识知,AB+BC≥AC, ∴ a2-ab+b2+ b2-bc+c2≥ a2+ac+c2, 当且仅当 A,B,C 三点共线时等号成立. 1 1 1 此时有 absin 60° + bcsin 60° = acsin 120° , 2 2 2 即 ab+bc=ac. 1 1 1 故当且仅当 = + 时,取得等号. b a c 1+b 1+a 【例 2】证明:假设 , 都不小于 2, a b 1+b 1+a 即 ≥2, ≥2. a b ∵a>0,b>0,∴1+b≥2a,1+a≥2b. 两式相加,得 1+b+1+a≥2(a+b). 即 a+b≤2,这与已知 a+b>2 矛盾. 故假设不成立. 1+b 1+a 因此, , 中至少有一个小于 2. a b 1 若二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1]内至少有一个值 c,使 f(c) >0,则实数 p 的取值范围是( ). 3? 1? 1 2? A.? B.? C.(-1,0) D.? ?-3,2? ?-2,5? ?-2,3? 2

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