高中数学第三章函数的应用3_1_1方程的根与函数的零点课件新人教版_图文

3.1 函数与方程 3.1.1 方程的根与函数的零点 目标定位 1. 了解函数零点的概念,了解函数零点与 方程根的联系.2.理解并掌握连续函数在某个区间上存 在零点的判定方法.3.能利用函数的图象和性质判断函 数零点的个数. 自 主 预 习 1.函数的零点 f(x)=0 的实数x叫做函数y=f(x)的 对于函数y=f(x),我们把使_______ 零点. 2.方程、函数、图象之间的关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y 有零点 =f(x)_________. 3.函数零点存在的判定方法 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断 ________的一条曲线, f(a)· f(b)<0 ,那么,函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点, 并且有 _________ f(c)=0 ,这个 c 也就是方程 f(x) = 0 即存在 c∈(a , b) ,使得 _________ 的根. 温馨提示 判定函数零点的两个条件缺一不可,否则不一定存 在零点;反过来,若函数 y = f(x) 在区间 (a , b) 内有零点,则 f(a)· f(b)<0不一定成立. 即 时 自 测 1.思考判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数的零点是一个点.( ) (2)若函数 y=f(x)满足在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且 f(a)· f(b)<0,那么,函数 y=f(x)在(a,b) 内有唯一零点.( ) (3)函数 y=f(x)满足 f(a)· f(b)>0,函数 y=f(x)也可能有零 点.( ) 提示 (1)错.函数的零点是一个数,而不是一个点. (2)错.有零点但不一定唯一. (3)对.如:f(x)=x2,x∈[-1,1]. 答案 (1)× (2)× (3)√ 2.下列函数没有零点的是( A.f(x)=0 C.f(x)=x -2 解析 2 ) B.f(x)=3 1 D.f(x)=x-x 函数 f(x)=3 不能满足 f(x)=0,因此没 有零点;函数 f(x)=0 有无数个零点;函数 f(x) 1 =x -2 有两个零点, 为 ± 2; 函数 f(x)=x-x有 2 两个零点,为± 1. 答案 B 3.若 4 是函数 f(x)=ax2-2log2x 的零点,则 a 的值等于( A.4 B.-4 1 C.- 4 1 D. 4 ) 解析 由题意知 f(4)=0,即 16a-2log24=0, 1 解得 a= . 4 答案 D 4.函数f(x)=x2-5x的零点是________. 解析 由 f(x) = x2 - 5x = 0 ,解得 x = 0 或 x = 5 , 所以函数f(x)的零点为0或5. 答案 0或5 类型一 求函数的零点 【例1】 指出下列函数的零点: (1)f(x)=x2-3x+2的零点是________; (2)f(x)=x4-1的零点是________; (3)若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3, 则a=________,b=________. 解析 (1)令 f(x)=0,即(x-1)(x-2)=0,所以零点为 1 和 2. (2)由 x4-1=0,得(x2+1)(x-1)(x+1)=0,所以 x=± 1,所以 函数 f(x)=x4-1 的零点是 1 和-1. (3)由于函数 f(x)=x2-ax-b 的两个零点是 2 和 3,所以是 2 和 3 是方程 x2-ax-b=0 的两个根, 所以 2+3=-(-a), 2×3 =-b,所以 a=5,b=-6. 答案 (1)1和2 (2)1和-1 (3)5;-6 规律方法 求函数零点的两种方法:(1)代数法:求方程f(x)= 0 的实数根; (2) 几何法:对于不能用求根公式的方程,可以 将它与函数 y = f(x) 的图象联系起来,并利用函数的性质找出 零点. 【训练1】 (1)函数f(x)=2x-1的零点是________; (2)若f(x)=ax-b(b≠0)有一个零点3,则函数g(x)=bx2+3ax 的零点是________. 解析 (1)由 2x-1=0,得 x=0,故函数的零点为 0. (2)因为 f(x)=ax-b 的零点是 3, 所以 f(3)=0, 即 3a-b=0, 也就是 b=3a.所以 g(x)=bx2+3ax=bx2+bx=bx(x+1). 所以方程 g(x)=0 的两个根为-1 和 0,即函数 g(x)的零点为 -1 和 0. 答案 (1)0 (2)-1和0 类型二 判断函数零点所在区间 【例 2】 在下列区间中,函数 f(x)=ex+4x-3 的零点 所在的区间为( ? 1 ? A.?-4,0? ? ? ) ? 1? B.?0,4? ? ? ?1 1? C.?4,2? ? ? ?1 3? D.?2,4? ? ? 解析 ?1? 4 ? ? ∵f 4 = ? ? ?1? e - 2 < 0 , f ?2? = ? ? e-1>0, ?1? ?1? ?1 1? ∴f?4?· f?2?<0,∴零点在?4,2?上. ? ? ? ? ? ? 答案 C 规律方法 (1)判断零点所在区间有两种方法:一是利用零点 存在定理,二是利用函数图象.(2)要正确理解和运用函数零点 的性质在函数零点所在区间的判断中的应用,若f(x)图象在[a, b] 上连续,且 f(a)· f(b) < 0 ,则 f(x) 在 (a , b) 上必有零点,若 f(a)· f(b)>0,则f(x)在(a,b)上不一定没有零点. 【训练2】方程lg x+x=0的根所在的区间可能是( A.(-∞,0) C.(1,2) B.(0.1,1) D.(2,4) ) 解析 由于lg x有意义,所以x>0,令f(x)=lg x+x,显 然f(x)在

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