人教版高中数学必修一1.1.3集合的基本运算(二)ppt课件_图文

1.1.3 学习目标 集合的基本运算(二) 1.理解在给定集合中一个集合的补集的含义, 会求给定子集的补集. 2.能运用 Venn 图及补集知识解决有关问题. 自学导引 1.一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有 元素,那么就称这个集合为全集 ,通常记作 U . 2.对于一个集合 A,由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素 组成的集合称为集合A相对于全集U的补集 , 简称为集合 A 的 补集 ,记作 ? A ,即 CU A ={x|x∈U,且x?A} . U 3.补集与全集的性质 (1) CU U= ? ;(2) CU? = U ;(3) CU ( CU A)= A (4)A∪ CU A=U ;(5)A∩ CU A=? . ;( CU A)∩( CU B)={6} . ; 4.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B ={1,3,5,7}, 则 A∩( CU B)={2,4} 对点讲练 知识点一 补集定义的应用 例 1 已知全集 U,集合 A={1,3,5,7,9}, CU A ={2,4,6,8}, CU B={1,4,6,8,9},求集合 B. 解 如图所示,借助 Venn 图, 得 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, ∵ CU B={1,4,6,8,9}, ∴B={2,3,5,7}. 规律方法 根据补集定义,借助Venn图,可直观地 求出全集,此类问题,当集合中元素个数较少时, 可借助Venn图;当集合中元素无限时,可借助数 轴,利用数轴分析法求解. 变式迁移 1 设 U=R,A={x | a≤x≤b }, 解 C A={x|x>4 或 x<3},求 a,b 的值. U x< a }. ∵A = {x| a≤x≤b} , ∴ CU A = {x|x>b 或 又 CU A={x|x>4 或 x<3},∴ a=3,b=4. 知识点二 交、并、补的综合运算 例 2 已知全集 U={x |x≤4},集合 A={x |-2<x <3},B ={x |-3<x≤3}.求 CU A,A∩B,CU (A∩B), C 解 U (A)∩B. 把全集 U 和集合 A,B 在数轴上表示如下 : 由图可知 CU A={x |x≤-2 或 3≤x≤4}, A∩B={x|-2<x<3}, C (A∩B)={x|x≤-2 或 3≤x≤4}, U ( CU A)∩B={x|-3<x≤-2 或 x=3}. 规律方法 求解用不等式表示的数集间的集合运算 时,一般要借助于数轴,此法的特点是简单直观, 同时要注意各个端点的画法及取到与否. 变式迁移 2 已知全集 U={x |-5≤x≤3}, A={x |-5≤x< -1},B={x |-1≤x<1}.求 CU A, CU B,( CU A)∩ ( CU B),( CU A)∪( CU B),CU (A∩B),CU (A∪B),并指 出其中相等的集合. 解 U C A={x|-1≤x≤3}, U C B={x|-5≤x<-1 或 1≤x≤3}, ( CU A)∩( CU B)={x|1≤x≤3}, ( CU A)∪( CU B)={x|-5≤x≤3}, C (A∩B)={x|-5≤ x≤3}, U C (A∪B)={x|1≤ x≤3}, U 相等的集合:( CU A)∩( CU B)= CU (A∪B), ( CU A)∪( CU B)= CU (A∩B). 知识点三 利用集合间的关系求参数 例 3 (1)已知全集 U={1,2,3,4,5},A={x |x2-5x+ q=0, x∈U},求 CU A; (2)设 U={2,3, a2+2a-3},A={b,2},CU A={5}, 求实数 a 和 b 的值. (1)解 设 x1、x2 为方程 x2-5x+q=0 的两根, 则 x1+x2=5, 5 ∴x1≠x2(否则 x1=x2=2 ? U,这与 A?U 矛盾). 而由 A?U 知 x1、x2∈U,又 1+4=2+3=5, ∴q= 4 或 q=6. ∴ CU A={2,3,5}或 CU A={1,4,5}. (2)分析 由题目可获得以下主要信息: ①全集 U 中有元素 2,A 中有元素 2. ② CU A={5},∴5∈U 且 5 ? A. ③3∈U 但 3 ? ( CU A),∴3∈A. 解答本题可根 CU 据 解出 a、b 即可. ?a2+2a-3=5 ? A={5},得出? ? ?3=b 解 由题意,利用 Venn 图, ?b ? 3 ? 2 ?a ? 2 a ? 3 ? 5 可得方程组 将②式变形为 a2+2a-8=0, 解得 a=-4 或 a=2. ?a ? ?4 ?a ? 2 或? ∴? 为所求. ?B ? 3 ?b ? 3 规律方法 符号 CU A 存在的前提是 A?U, 这也 是解有关补集问题的一个隐含条件,充分利用 题目中的隐含条件也是我们解题的一个突破 口,若 x∈U,则 x∈A 和 x∈ CU A 二者必居其 一,不仅如此,结合 Venn 图及全集与补集的 概念,不难得到如下性质: A ∪ ( CU A) = U , A ∩( CU A)= ? , CU ( CU A)=A. 变式迁移 3 已知 U=R,A={x |x2+px+12=0}, B={x |x2-5x+q=0},若( CU A)∩B={2}, ( CU B)∩A={4},求 A∪B. 解 由 CU (A)∩B={2},∴2∈B 且 2 ? A. 由 A∩( CU B)={4}, ∴4∈A 且 4 ? B. 2 ? ?4 +4p+12=0 分别代入得? 2 , ? ?2 -5×2+q=0 ∴p=-7,q=6,∴A={3,4},B={2,3}, ∴A∪B={2,3,4}. 课堂小结 1.补集与全集是两个密不可分的概念,同一个集合在

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