【全国百强校】江苏省如东高级中学2016届高三上学期期中考试数学试题(原卷版)

江苏省如东高级中学 2016 届高三上学期期中考试数学试题 一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.若集合 A ? {1, 2}, B ? {3, 2 } ,且 A ? B ? {2} ,则实数 a 的值为________ a 2.若 sin? ? 2 cos ? ,则 sin 2? ? 2 cos 2 ? 的值为________ 3.已知命题 p : ?x ? R, x 2 ? 2 x ? a ? 0 是真命题,则实数 a 的取值范围是________ 4.已知直线 l 过直线 x ? y ? 2 ? 0 和 2 x ? y ? 1 ? 0 的交点, 且与直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 垂直, 则直线 l 的方程为 ________ 5.椭圆 x2 y 2 ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为________ 16 7 6.函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x( ?? ? x ? 0) 的单调增区间是________ a (a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a 的值为________ x x 8.设函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数, 且在区间 [0, ??) 上单调递增, 则满足不等式 () f 1 ? f (lg ) 的 x 取 10 7.已知函数 y ? x 2 ? 值范围是________ 9.在锐角 ?ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, a ? 8, b ? 10 , ?ABC 的面积为 20 3 , 则 ?ABC 的最大角 的正切值是________ ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? BA ? BC ? 的值为________ 10.在 ?ABC 中,若 AB ? 5, AC ? 12,| AB ? AC |?| BC | ,则 ??? | BC | 11.已知 a 为正实数,函数 f ( x) ? x ? 2 x ? a ,且对任意的 x ? [0, a ] ,都有 f ( x) ? [ ?a, a ] ,则实数 a 的取 2 值范围为________ 12.若直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 与椭圆 mx ? ny ? 1 交于点 C,D,点 M 为 CD 的中点,直线 OM(O 为原点)的斜 2 2 率为 1 ,且 OC ? OD ,则 m ? n ? ________ 2 ? x 1 ? xe ? , x ? 0, , 若函数 y ? f ( f ( x) ? a ) 有四个零点,则实数 a 的所有可能取值构成的 13.已知函数 f ( x) ? ? e 2 ? ? x ? 2 x, x ? 0 集合是________ 14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(?2, 0) ,点 B 是圆 C : ( x ? 2) ? y ? 4 上的点,点 M 为 AB 中点, 2 2 若直线 l : y ? kx ? 5k 上存在点 P,使得 ?OPM ? 30? ,则实数 k 的取值范围为________ 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A, ? , ? 为常数, 且 A ? 0, ? ? 0, ? (1)求函数 f ( x) 的解析式 (2)若 f (? ) ? ? 2 ?? ? ? 2 ) 的部分图像如图所示. 6 ? ? , 0 ? ? ? , ,求 f (2? ? ) 的值 5 2 12 16.(本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, ?B ? 45? ,D 是边 BC 上一点, AD ? 5, CD ? 3, AC ? 7 (1)求 ?ADC 的值, (2)求 BA ? DA 的值 17.(本小题满分 14 分) 已知直线 l 与圆 C : x ? y ? 2 x ? 4 y ? a ? 0 相交于 A,B 两点,弦 AB 的中点为 M (0,1) 2 2 ??? ? ??? ? (1)求实数 a 的取值范围以及直线 l 的方程; (2)若以 AB 为直径的圆过原点 O,求圆 C 的方程. 18.(本小题满分 16 分) 如图,地图上有一竖直放置的圆形标志物,圆心为 C,与地面的接触点为 G.与圆形标志物在同一平面内的 地面上点 P 处有一个观测点, 且 PG=50m.在观测点正前方 10m 处 (即 PD=10m) 有一个高位 10m (即 ED=10m) 的广告牌遮住了视线,因此在观测点所能看到的圆形标志的最大部分即为图中从 A 到 F 的圆弧. (1)若圆形标志物半径为 25m,以 PG 所在直线为 X 轴,G 为坐标原点,建立直角坐标系,求圆 C 和直线 PF 的方程; (2)若在点 P 处观测该圆形标志的最大视角(即 ?APF )的正切值为 41 ,求该圆形标志物的半径. 39 19.(本小题满分 16 分) 已知椭圆 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,F 为椭圆的右焦点,点 A,B 分别为椭圆的上下顶点,过点 B 作 AF 的垂 a 2 b2 线,垂足为 M. (1)若 a ? 2 , ?ABM 的面积为 1,求椭圆方程; (2)是否存在椭圆,使得点 B 关于直线 AF 对称的点 D 仍在椭圆上,若存在,求椭圆的离心率的值;若不存 在,说明理由. 20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R ) 2 (1)若 a ? 2 ,求函数 f ( x) 的极值; (2)已知函数 f ( x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线为 l ,若此切线在点 A 处穿过 y ? f ( x ) 的图像(即函数 f ( x

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