2013年泉州市质检附答案(文科)

保密★启用前

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查


注意事项:







本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) .本试卷共 6 页,满分 150 分.考试时间 120 分钟.

1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答 题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案 使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式: 样本数据 x1 、 x2 、?、 xn 的标准差:

s?

1 ?( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x)2 ??? ? xn ? x ?? ? ,其中 x 为样本平均数; n

柱体体积公式: V ? Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高;

1 Sh ,其中 S 为底面面积, h 为高; 3 4 3 2 球的表面积、体积公式: S ? 4? R , V ? ? R ,其中 R 为球的半径. 3
锥体体积公式: V ?

第Ⅰ卷(选择题
目要求的.

共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

1.已知全集 U ? ?0,1, 2,3, 4? , A ? {1, 2,3} , B ? {0, 2} ,则 A ? (CU B) 等于 A. ?1,2,3,4?
2

B. ?0,1,2,3?

C. ?1, 2?

D. ?1,3?

2.命题“ ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0 ”的否定是 A. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

B. ?x ? R, x ? 2x ? 2 ? 0
2

C. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

D. ?x ? R, x ? 2 x ? 2 ? 0
2

市质检文科试题 第 1 页(共 10 页)

3.若直线 l : x ? y ? a ? 0 经过圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 0 的圆心,则 a 的值为 A. ?1 B. 1 C. ?2 D. 2

4.阅读如图所示的程序框图,执行框图所表达的算法,则输出的结果是 A. 2 B. 6 C. 24 D. 48

5.若直线 l 与幂函数 y ? xn 的图象相切于点 A (2,8) ,则直线 l 的方程为 A. 12 x ? y ? 16 ? 0 C. 12 x ? y ? 16 ? 0 B. 4 x ? y ? 0 D. 6 x ? y ? 4 ? 0

6. 函数 f ( x) ? sin x 的图象向左平移 A. x ? ?

?
4

? 个单位后,所得图象的一条对称轴是 4 ? ? 3? B. x ? C. x ? D. x ? 4 2 4

x2 y 2 x2 ? y 2 ? 1的两个顶点,且离心率为 2,则 7. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两个焦点恰为椭圆 a b 4
该双曲线的标准方程为 A. x ?
2

y2 ?1 3

B.

x2 y 2 ? ?1 4 12

C.

x2 ? y2 ? 1 3

D.

x2 y 2 ? ?1 12 4

8.某几何体的三视图及其相应的度量信息如图所示,则该几何体的表面积为 A. 20 ? 4 2 B. 24 C. 24 ? 4 2 D. 28

2 9.已知单位向量 a 、 b ,满足 a ? b ,则函数 f ( x) ? ( xa ? b) ( x ? R )

A. 既是奇函数又是偶函数 C. 是偶函数

B. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 是奇函数

10.给出以下四个说法: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每间隔 20 分钟抽取一件产品进行某项指标的检测 ,这样的抽 样是分层抽样; ②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;
2

? ? ③在回归直线方程 y ? 0.2 x ? 12 中,当解释变量 x 每增加一个单位时,预报变量 y 平均增加 0.2 个单位
④对分类变量 X 与 Y ,若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小,则判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大 其中正确的说法是 A.①④ B.②④ C.①③ D.②③
2

市质检文科试题 第 2 页(共 10 页)

11.对于定义域为 R 的函数 f ( x ) ,若存在非零实数 x0 ,使函数 f ( x ) 在 (??, x0 ) 和 ( x0 , ??) 上均有零点, 则称 x0 为函数 f ( x ) 的一个“界点” .则下列四个函数中,不存在“界点”的是 A. f ( x) ? x2 ? bx ?1(b ?R) C. f ( x) ? 2 ? x ?1 B. f ( x) ? 2x ? x 2 D. f ( x) ? sin x ? x

12.我国齐梁时代的数学家祖暅(公元前 5-6 世纪)提出了一条原理: “幂势既同,则积不容异. ”这句话的 意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所截,如果截得的 两个截面的面积总是相等,那么这两个几何体的体积相等. 设:由曲线 x2 ? 4 y 和直线 x ? 4 , y ? 0 所围成的平面图形,绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?1 ; 由同时满足 x ? 0 , x2 ? y 2 ? 16 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 的点 ( x, y ) 构成的平面图形, 绕 y 轴旋转一周所得到的旋转体为 ?2 .根据祖暅原理等知识,通过考察 ?2 可以得到 ?1 的体积为 A. 16? B. 32? C. 64? D. 128?

第Ⅱ卷(非选择题

共 90 分)


二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.将答案填在答题卡的相应位置. 13.已知 (a ? i)i ? ?1 ? 2i ( a ? R , i 是虚数单位) ,则 a 的值为

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.已知 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3, ?
2 2



15.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 sin A ? sin B ? 2sin B ? sin C ,c ? 3b ,则角 A 的值为 .

16.利用计算机随机模拟方法计算 y ? x2 与 y ? 4 所围成的区域 ? 的面积时,可以先运行以下算法步骤: 第一步:利用计算机产生两个在 0 ? 1 区间内的均匀随机数 a , b ;

第二步:对随机数 a , b 实施变换: ?

?a1 ? 4 ? a ? 2, 得到点 A ? a1 , b1 ? ; ? b1 ? 4b,

2 第三步:判断点 A ? a1 , b1 ? 的坐标是否满足 b1 ? a1 ;
2 第四步:累计所产生的点 A 的个数 m ,及满足 b1 ? a1 的点 A 的个数 n ;

第五步:判断 m 是否小于 M (一个设定的数).若是,则回到第一步,否则,输出 n 并终止算法. 若设定的 M ? 100 ,且输出的 n ? 34 ,则据此用随机模拟方法可以估计出区域 ? 的面积为 (保留两位小数) .
市质检文科试题 第 3 页(共 10 页)

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 {an } 中, a3 ? 3 , a1 ? a4 ? 5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an ? an ?1

18.(本小题满分 12 分) 为了解某社区家庭的月均用水量(单位:吨) ,现从该社区随机抽查 100 户,获得每户某年的月均用水 量,并制作了频率分布表和频率分布直方图(如图). (Ⅰ)分别求出频率分布表中 a、 b 的值,并估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率; (Ⅱ)设 A 、 A2 、 A3 是户月均用水量为 [0, 2) 的居民代表, B1 、 B2 是户月均用水量为 [2, 4] 的居民 1 代表. 现从这五位居民代表中任选两人参加水价论证会,请列举出所有不同的选法,并求居民 代表 B1 、 B2 至少有一人被选中的概率.

19.(本小题满分 12 分) 如图,抛物线 C 的顶点为坐标原点 O ,焦点 F 在 y 轴上,准线 l 与 圆 x ? y ? 1相切.
2 2

(Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若点 A、B 在抛物线 C 上,且 FB ? 2OA ,求点 A 的坐标.

??? ?

??? ?

市质检文科试题 第 4 页(共 10 页)

20.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点, 对于函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x , 称向量 OM ? (a, b) 为函数 f ( x ) 的伴随向量, 同时称函数 f ( x ) 为向量 OM 的伴随函数. (Ⅰ)设函数 g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ?

???? ?

???? ?
? 2

???? ? ?? ? ? x ? ,试求 g ( x) 的伴随向量 OM 的模; ?2 ?

(Ⅱ)记 ON ? (1, 3) 的伴随函数为 h( x) ,求使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0, 等实数解的实数 t 的取值范围.

????

?
2

] 内恒有两个不相

21.(本小题满分 12 分) 如图, E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A 、 B 的点,矩形 ABCD 所在的平面垂直于该半圆所在的平 面,且 AB ? 2 AD ? 2 . (Ⅰ)求证: EA ? EC ; (Ⅱ)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F . ①试证: EF / / AB ; ②若 EF ? 1 ,求三棱锥 E ? ADF 的体积.

22.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3e ? a ( e ? 2.71828 ?是自然对数的底数)的最小值为 3 .
x

(Ⅰ)求实数 a 的值;
2 2 (Ⅱ)已知 b ? R 且 x ? 0 ,试解关于 x 的不等式 lnf ( x) ? ln3 ? x ? (2b ?1) x ? 3b ;

(Ⅲ)已知 m ? Z 且 m ? 1 .若存在实数 t ?[?1, ??) ,使得对任意的 x ? [1, m ] ,都有 f ( x ? t ) ? 3ex , 试求 m 的最大值.

市质检文科试题 第 5 页(共 10 页)

泉州市 2013 届普通中学高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准
说明: 一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解 法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半;如果后继部分的解答 有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 60 分. 1. D 7. A 2.C 8.A 3.B 9.C 4.B 10.D 5. A 11.D 6. B 12.B

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 16 分. 13. 1 14. 11 15.

? 3

16. 10.56

三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.本小题主要考查等差数列、数列求和等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想等. 满分 12 分. 解: (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d ,由 ?

?

a1 ? 2d ? 3,

?a1 ? (a1 ? 3d ) ? 5.

?????????? 2 分

解得 ?

?a1 ? 1, ? d ? 1.

?????????? 4 分

所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n . (Ⅱ)因为 an ? n ,所以 an?1 ? n ? 1, bn ?

?????????? 6 分

1 1 1 ? ? ,???????? 9 分 n(n ? 1) n n ? 1
1 n 1 1 n ) ? 1? ? .?? 12 分 n ?1 n ?1 n ?1

所以 S n ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

18.本小题主要考查频率分布表、频率分布直方图和古典概型、统计等基础知识,考查数据处理能力、运 算求解能力以及应用意识,考查必然与或然思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可得 a ? 0.5 ? 0.5 ? 0.25 ,????? 2 分
市质检文科试题 第 6 页(共 10 页)

∴月均用水量为 [1.5, 2) 的频数为 25. 故 2b ? 100 ? 92 ? 8 ,得 b ? 4 . ?????????? 4 分 ??? 5 分

由频率分布表可知,户月均用水量不超过 3 吨的频率为 0.92 ,

根据样本估计总体的思想, 估计该社区家庭月均用水量不超过 3 吨的频率为 0.92 . ??? 6分 (Ⅱ)由 A 、 A2 、 A3 、 B1 、 B2 五代表中任选 2 人共有如下 10 种不同选法,分别为: ( A1,A2 ) , 1

( A1,A3 ) ,( A1,B1 ) ,( A1,B2 ) ,( A2,A3 ) ,( A2,B1 ) ,( A2,B2 ) ,( A3,B1 ) ,( A3,B2 ) ,

( B1,B2 ) .

?????????? 8 分

记 B1 、 2 至少有一人被选中” “ 的事件为 A , 事件 A 包含的基本事件为: A1,B1 ) , A1,B2 ) , B ( (

( A2,B1 ) , ( A2,B2 ) , ( A3,B1 ) , ( A3,B2 ) , ( B1,B2 ) , 共 包 含 7 个 基 本 事 件
数. ?????? 10 分

又基本事件的总数为 10 ,所以 P ( A) ?

7 . 10 7 . 10
???????? 12 分

即居民代表 B1 、 B2 至少有一人被选中的概率为

19.本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查 函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)依题意,可设抛物线 C 的方程为 x ? 2 py( p ? 0) ,
2

其准线 l 的方程为 y ? ?
2 2

p . 2

?????????? 2 分

∵准线 l 与圆 x ? y ? 1相切, ∴所以圆心 (0, 0) 到直线 l 的距离 d ? 0 ? (? 故抛物线 C 的方程为: x ? 4 y .
2

p ) ? 1 ,解得 p ? 2 . ??? 4 分 2

?????????? 5 分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 ?

? x12 ? 4 y1 , ????① 2 ? x2 ? 4 y 2 .

???????? 6 分

∵ F (0,1) , FB ? ( x2 , y2 ?1) , OA ? ( x1 , y1 ) , FB ? 2OA , ∴ ( x2 , y2 ? 1) ? 2( x1 , y1 ) ? (2 x1 , 2 y1 ) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

市质检文科试题 第 7 页(共 10 页)

即 ?

? x2 ? 2 x1 , ????② ? y2 ? 2 y1 ? 1.

??????? 9 分

2 2 ②代入①,得 4x1 ? 8 y1 ? 4 , x1 ? 2 y1 ? 1 , 2 又 x1 ? 4 y1 ,所以 4 y1 ? 2 y1 ? 1 ,解得 y1 ?

1 , x1 ? ? 2 , 2

即 A( 2, ) 或 ( ? 2, ) .

1 2

1 2

?????????? 12 分

20.本小题主要考查平面向量和三角函数等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查化归与转 化思想、函数与方程思想、数形结合思想以及分类与整合思想等. 解: (Ⅰ)∵ g ( x) ? sin( ? x) ? 2cos ? ∴ OM ? (2,1) . 故 OM ?

? 2

?? ? ? x ? ? 2sin x ? cos x , ?2 ?

?????? 2 分

???? ?

?????????? 4 分 ????????? 5 分

???? ?

22 ? 12 ? 5 .

(Ⅱ)由已知可得 h( x) ? sin x ? 3 cos x ? 2sin( x ? ∵0 ? x ?

?
3

) ,????????? 7 分

?
2

, ∴

?
3

? x?

?
3

?

??
6



故 h( x) ??1,2? . ∵当 x ? ?0,

????????? 9 分

? ?? 时,函数 h( x) 单调递增,且 h( x) ? ? 3, 2 ? ; ? ? ? 6? ?

当 x ??

?? ? ? 时,函数 h( x) 单调递减,且 h( x) ??1,2? . , ? 6 2? ?

∴使得关于 x 的方程 h( x) ? t ? 0 在 [0,

?
2

] 内恒有两个不相等实数解的实数 t 的取值范围为

t ? ? 3, 2 . ?

?

? 12 分

21.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及棱锥体积等基础知识,考查空间想象能力、推 理论证能力及运算求解能力,考查化归与转化思想等.满分 12 分. 解: (Ⅰ)∵平面 ABCD ? 平面 ABE , 面 ABCD ? 面 ABE ? AB , BC ? AB , BC ? 面 ABCD , ∴ BC ? 面 ABE . ?????????? 2 分 ?????????? 3 分

又∵ AE ? 面 ABE ,∴ BC ? AE . ∵ E 在以 AB 为直径的半圆上,∴ AE ? BE ,

又∵ BE ? BC ? B , BC、BE ? 面 BCE ,∴ AE ? 面 BCE .????? 4 分
市质检文科试题 第 8 页(共 10 页)

又∵ CE ? 面 BCE ,∴ EA ? EC . (Ⅱ)① ∵ AB / / CD , AB ? 面 CED , CD ? 面 CED , ∴ AB / / 平面 CED .? 6 分

????????? 5 分

又∵ AB ? 面 ABE ,平面 ABE ? 平面 CED ? EF , ∴ AB / / EF . ?????? 8 分

②取 AB 中点 O , EF 的中点 O ' , 在 RT ?OO ' F 中, OF ? 1 , O ' F ?

1 3 ,∴ OO ' ? . 2 2

(Ⅰ)已证得 BC ? 面 ABE ,又已知 AD / / BC , ∴ AD ? 平面 ABE .????? 10 分 故 VE ? ADF ? VD ? AEF ?

1 1 1 3 ? S ?AEF ? AD ? ? ? EF ? OO '? AD ? . ? 12 分 3 3 2 12

22.本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、 分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等.满分 14 分. 解: (Ⅰ)因为 x ? R ,所以 x ? 0 ,故 f ( x) ? 3e ? a ? 3e0 ? a ? 3 ? a ,
x

因为函数 f ( x ) 的最小值为 3 ,所以 a ? 0 . (Ⅱ)由(Ⅰ)得, f ( x) ? 3e .
x

?????? 3 分

当 x ? 0 时, ln f ( x) ? ln(3e ) ? ln 3 ? ln e ? ln 3 ? x ? ? x ? ln 3 ,??? 5 分
x x

故不等式 ln f ( x) ? ln 3 ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b2 可化为: ?x ? x2 ? (2b ?1) x ? 3b ,
2

即 x ? 2bx ? 3b ? 0 ,
2 2

?????? 6 分

得 ( x ? 3b)( x ? b) ? 0 , 所以,当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? ?3b ; 当 b ? 0 时,不等式的解为 x ? b . (Ⅲ)∵当 t ?[?1, ??) 且 x ? [1, m] 时, x ? t ? 0 , ∴ f ( x ? t ) ? 3ex ? e
x ?t

????? 8 分

? ex ? t ? 1 ? ln x ? x .

∴原命题等价转化为:存在实数 t ?[?1, ??) , 使得不等式 t ? 1 ? ln x ? x 对任意 x ? [1, m] 恒成 立. ????? 10 分

令 h( x) ? 1 ? ln x ? x( x ? 0) .
市质检文科试题 第 9 页(共 10 页)

∵ h ( x) ?
'

1 ? 1 ? 0 ,∴函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数. ????? 11 分 x
????? 12 分

又∵ x ? [1, m] ,∴ h( x) min ? h(m) ? 1 ? ln m ? m .

∴要使得对 x ? [1, m] , t 值恒存在,只须 1 ? ln m ? m ? ?1 .???? 13 分 ∵ h(3) ? ln 3 ? 2 ? ln( ? ) ? ln

1 3 e e

1 1 4 1 ? ?1 , h(4) ? ln 4 ? 3 ? ln( ? 2 ) ? ln ? ?1 e e e e

且函数 h( x) 在 (0, ??) 为减函数, ∴满足条件的最大整数 m 的值为 3.?? 14 分

市质检文科试题 第 10 页(共 10 页)


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