高中数学人教A版选修2-2课件1.5.1-1.5.2 曲边梯形的面积 汽车行驶的路程_图文

1.5.1 曲边梯形的面积 1.5.2 汽车行驶的路程 -1- 目目标标导导航航 重难聚焦 典例透析 1.了解定积分的实际背景. 2.了解“以直代曲”“以不变代变”的思想方法. 3.会求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程. -2- 目标导航 重难聚焦 典例透析 1.如何理解求曲边梯形的面积? 剖析:曲线与平行于 y 轴的直线和 x 轴所围成的图形,通常称为 曲边梯形,如图是一个特殊的曲边梯形,也是一个曲边三角形. 要求一个曲边梯形的面积,不能用已有的面积公式计算,为了计 算曲边梯形的面积,可以将它分割成许多个小曲边梯形,每个小曲边 梯形的面积用相应的小矩形的面积近似代替,对这些近似值求和,就 得到曲边梯形面积的近似值.当分割的小矩形的宽无限变短时,这个 近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积. -3- 目标导航 重难聚焦 典例透析 求解步骤为: (1)分割:“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”.例子中以“矩形” 代替“曲边梯形”,分割的等份数越多,这种“代替”就越精确.当n越大 时,所有小矩形的面积和就越逼近曲边梯形的面积.教材采用了“等 分”的办法,即在区间[0,1]上等间隔地插入了(n-1)个点,将它等分成n 个小区间.实际上,在定积分理论中,这种分割应当是任意的,只要保 证每一个小区间的长度都趋向于0就可以了. (2)近似代替:在“近似代替”中,教材在每一个小区间 -1 , 上取左端点,是为了计算方便,事实上,可以取右端点或区间上的任意 点,没有统一的要求.为了运算方便,通常取一些特殊点. (3)求和:把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和. (4)取极限:当小曲边梯形的个数趋向无穷时,各小曲边梯形的面 积之和趋向一个定值,即为曲边梯形的面积. -4- 目标导航 重难聚焦 典例透析 2.如何理解求汽车行驶的路程的方法? 剖析:把求变速直线运动的路程问题,转化为求匀速直线运动的 路程问题.采用的方法仍然是分割、近似代替、求和、取极限.求 变速直线运动的路程和曲边梯形的面积,虽然它们的意义不同,但 都可以归纳出求一个特定形式和的极限. 在求汽车行驶的路程时,教材采取“以不变代变”的方法,把变速直 线运动的路程问题化归为匀速直线运动的路程问题,类比求曲边梯 形面积的思想方法和基本步骤,可得:将区间[0,1]等分成n个小区间, 在每个小区间上,由于速度函数v(t)的变化很小,可以认为汽车近似 于做匀速直线运动,从而求得汽车在每个小区间上行驶路程的近似 值.再求和得s的近似值,最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值,与 求曲边梯形的面积相比,这里采用的“以不变代变”的思想方法更直 观、更容易理解. -5- 目标导航 重难聚焦 典例透析 求解步骤为: (1)分割:n 等分区间[a,b]. (2)近似代替:取点 ξi∈[xi-1,xi]. (3)求和: n ∑ (t) t=1 ·bn-a. (4)取极限:s= n t ∑ (t) n →∞t =1 ·n-a. 知识拓展求和时常用的结论: (1)12+22+32+…+n2= 1 6 ( + 1)(2 + 1); (2)13+23+33+…+n3= (+1) 2 2 . -6- 题型一 题型二 目标导航 重难聚焦 典例透析 求曲边梯形的面积 【例1】 求由直线x=1,x=2和y=0及曲线y=x3所围成的曲边梯形的 面积S. 分析:先作出草图,确定好曲边梯形的大致形状,再利用分割求和 的方法求解. -7- 目标导航 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 解:(1)分割 把所求面积的曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形,用分点 n+1 n , n+2 n , … , n+(n-1) n 把区间[1,2]等分成 n 个小区间 1, n+1 n , n+1 n , n+2 n ,…, n+t n , n+t+1 n ,…, n+(n-1) n ,2 , 每个小区间的长度为Δx= n+t+1 n ? n+t n = 1 n , 过各分点作x 轴的垂线, 把曲边梯形 ABCD 分割成 n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作 ΔS0,ΔS1,…,ΔSn-1. -8- 目标导航 重难聚焦 典例透析 题型一 题型二 (2)近似代替 在区间 + , ++1 上,取其左端点 ξi= + , 用以点ξi 处的函数 值 f(ξi)= 3 为一边,以小区间长 Δx= 1 为另一边的小矩形面积近似代替第i 个小曲边梯形的面积,可以近似 地表示为 ΔSi≈3 ·Δx= + 3 ·1 ( = 0,1,2,3, …,n-1). (3)求和 因为每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积 的近似值,所以 n 个小矩形面积的和就是曲边梯形 ABCD 面积 S 的 近似值,即 n -1 n -1 S= ∑ Δt ≈ ∑ t=0 i=0 n+t n 3 ·1n (t = 0,1,2,3, …,n-1). ① -9- 题型一 题型二 目标导航 重难聚焦 典例透析 (4)取极限 当分点数目越多,即Δx越小时,和式①的值就越接近曲边梯形 ABCD的面积S. 因此,当n→∞,即Δx→0时,和式①的极限就是所求的曲边梯形 ABCD的面积. -10- 题型一 题型二 目标导航 重难聚焦 典例透析 n-1 因为 ∑ t=0 n+t n 3 ·1n = 1 n4 n -1 ∑ (n t=0 + t)3 1 n-1 = n4 ∑ (n3 t=0 + 3n2t + 3nt2 + t3) 1 = n4 n4 + 3n2 n(n

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