广西桂林市、崇左市、防城港市2013届高考第一次联合模拟考试数学理试卷

广西桂林市、崇左市、防城港市 2013 届高考第一次联合模拟考试 数学试卷(理科)

第Ⅰ卷 注意事项:第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的。 参考公式: 如果事件 A、B 互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立,那么 P(A· B)=P(A)· P(B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概
k k n?k 率 P n ( k ) ? C n p (1 ? p ) (k=0,1,2,…,n)

球的表面积公式 S=4 ? R 2 ,其中 R 表示球的半径 球的体积公式 V= ? R ,其中 R 表示球的半径
3

4 3

一、选择题 1. 已知集合 A={x||x|≤2,x∈R},B={x| x ≤2,x∈Z},则 A∩B= A. (0,2) B. [0,2] C. {0,2} D. {0,1,2}

2. 若(a+4i)i=b+i(a,b∈R) 为虚数单位,则 a+b= ,i A. 3 B. 5 C. -3 D. -5

3. 函数 f(x)=3+sinx,x∈[0,1)的反函数的定义域是 A. [0,1) B. [1,3+sin1) C. [0,4)
a5 a3

D. [0,+ ? ) 的值为

4. 设 S n 是等差数列{a n }的前 n 项和,S 5 =3(a 2 +a 8 ) ,则
1 6 1 3 3 5 5 6

A.

B.

C.

D.
?
2

5. 已知函数 y=2sin(2x+ ? ) ? |< (|

)的图象经过点(0,1) ,则该函数的一条对称轴方程为

·1·

A. x=

?
6

B. x=

?
12

C. x=-

?
12

D. x=-

?
6

6. 已经双曲线 x 2 -m 2 y 2 =m 2 (m>0)的一条渐近线与直线 2x-y+3=0 垂直,则该双曲线的准线 方程为 A. x= ?
4 3 3

B. x= ?

4 5

5

C. x= ?

3 2

D. x= ?

5 2

7. 设(x-b) 8 =b 0 +b 1 x+b 2 x 2 +…+b 8 x 8 ,如果 b 5 +b 8 =-6,则实数 b 的值为 A.
1 2

B. -

1 2

C. 2

D. -2

8. 在△ABC 中,D 为 BC 边上的点, AD = ? AB + ? AC ,则 ?? 的最大值为 A. 1 B.
1 2

C.

1 3

D.

1 4

9. 已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, SA⊥平面 ABC, SA=2 3 , AB=1, AC=2, ∠BAC=60° ,则球 O 的表面积为 A. 4 ? B. 12 ? C. 16 ? D. 64 ?

10. 定义在 R 上的函数 y=f(x)是增函数,且函数 y=f(x-3)的图象关于点(3,0)成中心对称, 若 s,t 满足 f(s -2s) ≥-f(2t-t ) ,则
2 2

A. s≥t

B. s<t
2

C. |s-1|≥|t-1|

D. s+t≥0

11. 设抛物线 C 的方程为 y =4x,O 为坐标原点,P 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过焦点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线于 M、N 两点,若直线 PM 与 ON 相交于点 Q,则 cos∠MQN=
5 5

A.

B. -

5 5

C.

10 10

D. -

10 10

12. 在 8× 棋盘的 64 个方格中,共有由整数个小方格组成的大小或位置不同的正方形的个数为 8 A. 64 B. 128 C. 204 D. 408

第Ⅱ卷 注意事项:第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
·2·

13. 曲线 y=
e

4
x

?1

在点(0,2)处的切线方程为_______.
1 4

14. 若 cos(

?
3

- ? )=

,则 cos(

?
3

+2 ? )=________.

?x ? y ? 1 ? 15. x,y 满足约束条件 ? x ? y ? ? 1 ,目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 a 的取 ?2 x ? y ? 2 ?

值范围是_________. 16. 已知正三棱锥 S-ABC 的高为 3,底面边长为 6,过点 A 向它所对的侧面 SBC 作垂线,垂足 为 O,在 AO 上取一点 P,使
AP PO

=8,则过 P 且平行于底面的截面的面积为______.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 csinA=acosC,a 2 +b 2 =4(a+b)-8, 求 c 的值。

18. (本小题满分 12 分) 在某国际高端经济论坛上,前六位发言的是与会的含有甲、乙的 6 名中国经济学专家,他们的 发言顺序通过随机抽签方式决定. (Ⅰ)求甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率; (Ⅱ)发言中甲、乙两位专家之间的中国专家数记为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的侧面 A 1 ACC 1 与底面 ABC 垂直,AB=BC=CA=4,且 AA 1 ⊥A 1 C, AA 1 =A 1 C.

·3·

(Ⅰ)证明:AC⊥BA 1 ; (Ⅱ)求侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成二面角的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x|x-a|-lnx,a∈R. (Ⅰ)若 a=1,求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值; (Ⅱ)若 f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 如图,已知椭圆 C:
x a
2 2

+

y b

2 2

=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F 1 、F 2 ,A 是椭圆 C 上的一点,

AF 2 ⊥F 1 F 2 ,O 是坐标原点,OB 垂直 AF 1 于 B,且 OF 1 =3OB. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)求 t∈(0,b) ,使得命题“设圆 x +y =t 上任意点 M(x 0 ,y 0 )处的切线交椭圆 C 于 Q 1 、
2 2 2

Q 2 两点,那么 OQ 1 ⊥OQ 2 ”成立.

·4·

22. (本小题满分 12 分) 已知各项均为正数的数列{a n }满足 a n ? 1 =2a n +a n a n ? 1 ,且 a 2 +a 4 =2a 3 +4,其中 n∈N * .
2 2

(Ⅰ)若 b n =

1 an 1

,求数列{b n }的通项公式;

(Ⅱ)证明:

1 ? b1

+

1 1 ? b2

+…+

1 1 ? bn

>

n

2

n ? 1 ? bn

(n≥2).

·5·

【试题答案】
评分说明: 1. 第一题选择题,选对得分,不选、错选或多选一律得 0 分. 2. 第二题填空题,不给中间分. 3. 解答与证明题,本答案给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据 试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则. 4. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度, 可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分 的解答有较严重的错误,就不再给分. 5. 解答右侧所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 6. 只给整数分数. 一、选择题 题号 答案 1 D 2 C 3 B 4 D 5 A 6 B 7 A 8 D 9 C 10 C 11 D 12 C

二、填空题 13. x+y-2=0 14.
7 8

15. (-4,2)

16.

3

三、解答与证明题 17. (本小题满分 10 分) 解:由正弦定理得 sinCsinA=sinAcosC. 因为 0<A< ? ,所以 sinA>0.从而 sinC=cosC. 又 cosC ? 0,所以 tanC=1,故 C=
2 2

2分

?
4

.
2 2

5分 7分

由 a +b =4(a+b)-8,得(a-2) +(b-2) =0,则 a=2,b=2.
2 2 2 又由余弦定理得 c =a +b -2abcosC=8-4 2 ,

9分 10 分

所以 c= 8 ? 4 2 .
·6·

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设“甲、乙两位专家恰好排在前两位出场”为事件 A,则 P(A)=
A2 A4 A6
6 2 4

=

1 15

.
1 15

3分

答:甲、乙两位专家恰好排在前两位出场的概率为 (Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3,4.
A2 A5 A6
2
6 2 5

. 5分

4分

P( ? =0)=

=

1 3

,P( ? =1)=

4 A2 A4 A6
6

2

4

=

4 15



P( ? =2)=

A4 A2 A3 A6
4

2

3

6

=

1 5

,P( ? =3)=

A4 A2 A2 A6
6

3

2

2

=

2 15



P( ? =4)=

A4 A2 A6
6

2

=

1 15

.

9分

? 的分布列为 ?

0
1 3

1
4 15

2
3 15

3
2 15

4
1 15

P

10 分 ∴E ? =0× +1×
3 1 4

+2× +3×
5

1

2

+4×

1

=

4 3

.

12 分

15

15

15

19. (本小题满分 12 分)

(Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连结 OA 1 ,OB,BA 1 ,则
A 1 C ? AA 1 ? ? ? A 1 O ? AC , AO ? CO ?

2分
·7·

AB ? BC ? ? ? BO ? AC . AO ? CO ?

4分

∴AC⊥面 BOA 1 . ∵BA 1 ? 面 BOA 1 ,∴AC⊥BA 1 .

5分 6分

(Ⅱ)解法一:∵面 A 1 ACC 1 ⊥面 ABC,A 1 O⊥AC, ∴A 1 O⊥面 ABC. 7分

过点 O 作 OH⊥AB 于 H,连结 A 1 H,则 A 1 H⊥AB, ∴∠A 1 HO 为所求二面角的平面角. 在等边△ ABC 中,OH= 3 ,A 1 H= 7 . 9分
OH A1 H 21 7

∴cos∠A 1 HO=

=

.

11 分

∴侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成的二面角为 arccos

21 7

.

12 分

解法二:以 O 为坐标原点,OB,OC,OA 1 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标 系, 7分

则 A(0,-2,0) ,B(2 3 ,0,0) ,C(0,2,0) 1 (0,0,2) ,A , C 1 (0,4,2) ,设 n=(x,y,z)是面 A 1 ABB 1 的一个法向量,则 n⊥ AA 1 ,n⊥ AB , ∵ AA 1 =(0,2,2) AB =(2 3 ,2,0) , , 8分

·8·

∴?
?

? y ? z ? 0, 3x ? y ? 0.

取 x=1,得 n=(1,- 3 , 3 ).

9分 10 分 11 分

易知平面 ABC 的法向量为 m=(0,0,1) , 所以 cos<m,n>=
m ?n |m |?|n |

=

21 7

.

∴ 侧面 A 1 ABB 1 与底面 ABC 所成的二面角为 arccos 20. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)若 a=1 ,则 f(x)=x|x-1|-lnx. 当 x∈[1,e]时,f(x)=x 2 -x-lnx,f′(x)=2x-1-

21 7

.

12 分

1 x
2

=

2x

2

? x ?1 x

>0,

所以 f(x)在[1,e]上单调递增,∴f(x) m ax =f(e)=e -e-1. (Ⅱ)函数 f(x)的定义域为(0,+ ? ). 由 f(x)>0,得|x-a|> (i)当 x∈(0,1)时,|x-a|≥0, 所以 a∈R; (ii)当 x=1 时,|1-a|≥0,
ln x x ln x x ln x x

4分 . *

<0,不等式*恒成立, 5分

=0,所以 a ? 1;
ln x x

6分 恒成立或 a>x+
ln x x

(iii)当 x>1 时,不等式*恒成立等价于 a<x-
ln x x
x
2

恒成立.

令 h(x)=x-

,则 h′(x)=

? 1 ? ln x x
2

.

因为 x>1,所以 h′(x)>0,从而 h(x)>1. 因为 a<x-
ln x x

恒成立等价于 a<(h(x)) m in ,所以 a≤1.
x
2

令 g(x)=x+

ln x x

,则 g′(x)=

? 1 ? ln x x
2

.再令 e(x)=x +1-lnx,则 e′(x)=2x-
2

1 x

>0

在 x∈(1,+ ? )上恒成立,e(x)在 x∈(1,+ ? )上无最大值. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是(- ? ,1). 21. (本小题满分 12 分)
·9·

11 分 12 分

解: (Ⅰ)解法一:由题设 AF 2 ⊥F 1 F 2 及 F 1 (-c,0) 2 (c,0) ,F ,不妨设点 A(c,y) ,其
c a a
2 2 2

中 y>0,由于点 A 在椭圆上,有

+

y b

2 2

=1,
? ?. ? ?

? b a
2

2

+

y b

2 2

? b =1,解得 y= ,从而得到 A ? c , ? a a ?
b
2

2

1分

直线 AF 1 的方程为 y=

b

2

(x+c) ,整理得 b 2 x-2acy+b 2 c=0.
2

2分

2 ac

由题设,原点 O 到直线 AF 1 的距离为

1 3

|OF 1 |,即

c 3

=
b
4

b c ? 4a c
2 2



3分

2 2 2 2 2 将 c =a -b 代入原式并化简得 a =2b ,即 a= 2 b.

?b ? ∴e= 1 ? ? ? ?a ?

2

=

2 2

.即椭圆 C 的离心率为
? ? ? ?. ? a ?
2

2 2

.

4分

解法二:点 A 的坐标为 ? c , ?

b

1分

过点 O 作 OB⊥AF 1 ,垂足为 B,易知△ F 1 BC∽△F 1 F 2 A, 故
| BO | | OF
1

=

| F2 A | | F1 A |

.
1 3

2分

|

由椭圆定义得|AF 1 |+|AF 2 |=2a,又|BO|= 所以
1 | F2 A | 3 | F1 A | a 2
| F2 A | 2a ? | F2 A |

|OF 1 |, 3分

=

.

解得|F 2 A|=

,而|F 2 A|=

b

2

,得

b a

2 2

=

1 2

.

a

·10·

∴e= 1 ? ?

?b ? ? ?a ?

2

=

2 2

.即椭圆 C 的离心率为

2 2

.

4分

(Ⅱ)圆 x 2 +y 2 =t 2 上的任意点 M(x 0 ,y 0 )处的切线方程为 x 0 x+y 0 y=t 2 . 5 分 当 t∈(0,b)时,圆 x 2 +y 2 =t 2 上的任意点都在椭圆内,故此圆在点 A 处的切线必交椭圆于两 个不同的点 Q 1 、Q 2 ,因此点 Q 1 (x 1 ,y 1 ) 2 (x 2 ,y 2 )的坐标是方程组 ,Q
? x 0 x ? y 0 y ? t ,① ? 的解. ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2 b ,② ?
2

6分
2

(1)当 y 0 ? 0 时,由①式得 y=
2 2

t

2

? x0 x y0
2
2

?t .代入②式,得 x +2 ? ? ?
2

2

? x0 x ? ? =2b 2 , ? y0 ?

即(2x 0 +y 0 )x -4t x 0 x+2t -2b y 0 =0.
2 2 4

7分
2

于是 x 1 +x 2 =
2

4t x 0 2 x0 ? y0
2 2

2

,x 1 x 2 =

2t

4

? 2b y 0
2 2 2

2 x0 ? y0



y1 y 2 =

t

? x 0 x1 y0

·

t

2

? x0 x2 y0
2

=

1 y0
2

[t

4

? x 0 t ( x1 ? x 2 ) ? x 0 x1 x 2 ]
2 2

=

4t x 0 ? 2b y 0 1 ? 4 2 2t ? t ? x0t 2 ? x0 2 ? 2 2 2 2 y0 ? 2 x0 ? y0 2 x0 ? y0
4 2

2

? t ? 2b x 0 ?= . 2 2 ? 2 x0 ? y0 ?
4 2 2

若 QQ 1 ⊥QQ 2 ,则 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 所以,3t -2b (x 0 +y 0 )=0.
4 2
2 2

2t

4

? 2b y 0
2 2 2

2

2 x0 ? y0

+

t

4

? 2b x 0
2 2 2

2

2 x0 ? y0

=

3t

4

? 2b ( x 0 ? y 0 )
2 2 2

2 x0 ? y0
2

2

=0.

8分
6 3

在区间(0,b)内,此方程的解为 t= (2)当 y 0 =0 时,必有 x 0 ? 0,

b.

9分

同理求得在区间(0,b)内的解为 t=

6 3

b.

10 分

另一方面,当 t=

6 3

b 时,可推出 x 1 x 2 + y 1 y 2 =0,从而 QQ 1 ⊥QQ 2 .
·11·

11 分

综上所述,t=

6 3

b∈(0,b)使得所述命题成立.

12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 a n ? 1 =2a n +a n a n ? 1 ,即(a n ? 1 +a n ) (2a n -a n ? 1 )=0.
2 2

1分

又 a n >0,所以有 2a n -a n ? 1 =0,即 2a n =a n ? 1 所以数列 { a n } 是公比为 2 的等比数列, 3分

由 a 2 ? a 4 ? 2 a 3 ? 4 得 2 a 1 ? 8 a 1 ? 8 a 1 ? 4 ,解得 a 1 ? 2 。 从而,数列{a n }的通项公式为 a n =2 (n∈N ) ,即:b n =
n *

1 2
n

(n∈N ). 5 分
*

(Ⅱ)构造函数 f(x)=

1 1? x



1 (1 ? x )
2

(b i -x) (x>0) ,

则 f′(x)=

?1 (1 ? x )
2



2( x ? bi ) (1 ? x )
3

+

1 (1 ? x )
2

=

2 (b i ? x ) (1 ? x )
3



当 0<x<b i 时,f′(x)>0,x>b i 时,f′(x)<0, 所以 f(x)的最大值是 f(b i )=
1 1 ? bi

,所以 f(x)≤

1 1 ? bi

.

7分



1 1 ? bi 1



1 1? x



1 (1 ? x )
2

(b i -x) (x>0, i=1, 3…n) 取“=”的条件是 x=b i (i=1, 3…n) 2, , 2, ,

所以

1 ? b1

+

1 1 ? b2

+…+

1 1 ? bn 1

>

n (1 ? x )



1 (1 ? x )
2

(b 1 +b 2 +…+b n -nx) 9 分 ,

令 x=

b1 ? b 2 ? ? ? b n n

,则

1 ? b1

+

1 1 ? b2

+…+

1 1 ? bn

>
1?

n b1 ? b 2 ? ? ? b n n



所以

1 1 ? b1

+

1 1 ? b2

+…+

1 1 ? bn

>
n ?

n 1 2 ? 1 2
2

2


?? ? 1 2
n

11 分

·12·



1 1 ? b1

+

1 1 ? b2

+…+

1 1 ? bn

>

n

2

n ? 1 ? bn

(n≥2).

12 分

·13·


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